Lemme 12.2.2.
Une isométrie \(f\) qui fixe l’origine dans \({\mathbb R}^2\) est une transformation linéaire. En particulier, \(f\) est donnée par un élément de \(O(2)\text{.}\)
Section 12.2 Symétrie
Une isométrie ou mouvement rigide dans \({\mathbb R}^n\) est une fonction \(f\) de \({\mathbb R}^n\) dans \({\mathbb R}^n\) qui préserve la distance. Cela signifie que \(f\) doit satisfaire
\begin{equation*}
\| f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}) \| =\|{\mathbf x} - {\mathbf y} \|
\end{equation*}
pour tous \({\mathbf x}, {\mathbf y} \in {\mathbb R}^n\text{.}\) Il n’est pas difficile de montrer que \(f\) doit être une application injective. Par le Théorème 12.1.8, tout élément de \(O(n)\) est une isométrie sur \({\mathbb R}^n\) ; cependant, \(O(n)\) ne contient pas toutes les isométries possibles sur \({\mathbb R}^n\text{.}\) La translation par un vecteur \({\mathbf x}\text{,}\) \(T_{\mathbf y}({\mathbf x}) = {\mathbf x} + {\mathbf y}\) est également une isométrie (Figure 12.1.11) ; cependant, \(T\) ne peut pas appartenir à \(O(n)\) car ce n’est pas une application linéaire.
Nous nous intéressons principalement aux isométries dans \({\mathbb R}^2\text{.}\) En fait, les seules isométries dans \({\mathbb R}^2\) sont les rotations et les réflexions par rapport à l’origine, les translations, et les combinaisons des deux. Par exemple, une réflexion avec glissement est une translation suivie d’une réflexion (Figure 12.2.1). Dans \({\mathbb R}^n\text{,}\) toutes les isométries sont données de la même manière. La démonstration se généralise très facilement.
Démonstration.
Soit \(f\) une isométrie dans \({\mathbb R}^2\) fixant l’origine. Montrons d’abord que \(f\) préserve les produits scalaires. Puisque \(f(0) = 0\text{,}\) \(\| f({\mathbf x})\| = \| {\mathbf x} \|\) ; donc,
\begin{align*}
\| {\mathbf x} \|^2 - 2 \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf y}) \rangle + \| {\mathbf y} \|^2 & = \| f({\mathbf x}) \|^2 - 2 \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf y}) \rangle + \| f({\mathbf y}) \|^2\\
& = \langle f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}), f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}) \rangle\\
& = \| f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}) \|^2\\
& = \| {\mathbf x} - {\mathbf y} \|^2\\
& = \langle {\mathbf x} - {\mathbf y}, {\mathbf x} - {\mathbf y} \rangle\\
& = \| {\mathbf x} \|^2 - 2 \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle + \| {\mathbf y} \|^2\text{.}
\end{align*}
Par conséquent,
\begin{equation*}
\langle f({\mathbf x}), f({\mathbf y}) \rangle = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.}
\end{equation*}
Posons maintenant \({\mathbf e}_1\) et \({\mathbf e_2}\) égaux à \((1, 0)^\transpose\) et \((0, 1)^\transpose\text{,}\) respectivement. Si
\begin{equation*}
{\mathbf x} = (x_1, x_2) = x_1 {\mathbf e}_1 + x_2 {\mathbf e}_2\text{,}
\end{equation*}
alors
\begin{equation*}
f({\mathbf x}) = \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf e}_1) \rangle f({\mathbf e}_1) + \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf e}_2) \rangle f({\mathbf e}_2) = x_1 f({\mathbf e}_1)+x_2 f({\mathbf e}_2)\text{.}
\end{equation*}
La linéarité de \(f\) s’ensuit aisément.
Pour toute isométrie arbitraire \(f\text{,}\) \(T_{\mathbf x} f\) fixera l’origine pour un certain vecteur \({\mathbf x}\) dans \({\mathbb R}^2\) ; donc \(T_{\mathbf x} f({\mathbf y}) = A {\mathbf y}\) pour une certaine matrice \(A \in O(2)\text{.}\) Par conséquent, \(f({\mathbf y}) = A {\mathbf y} + {\mathbf x}\text{.}\) Étant données les isométries
\begin{align*}
f({\mathbf y}) & = A {\mathbf y} + {\mathbf x}_1\\
g({\mathbf y}) & = B {\mathbf y} + {\mathbf x}_2\text{,}
\end{align*}
leur composition est
\begin{equation*}
f(g({\mathbf y})) = f(B {\mathbf y} + {\mathbf x}_2) = AB {\mathbf y} + A{\mathbf x}_2 + {\mathbf x}_1\text{.}
\end{equation*}
Ce dernier calcul nous permet d’identifier le groupe des isométries de \({\mathbb R}^2\) avec \(E(2)\text{.}\)
Théorème 12.2.3.
Un groupe de symétrie dans \({\mathbb R}^n\) est un sous-groupe du groupe des isométries de \({\mathbb R}^n\) qui fixe un ensemble de points \(X \subset {\mathbb R}^n\text{.}\) Il est important de réaliser que le groupe de symétrie de \(X\) dépend à la fois de \({\mathbb R}^n\) et de \(X\text{.}\) Par exemple, le groupe de symétrie de l’origine dans \({\mathbb R}^1\) est \({\mathbb Z}_2\text{,}\) mais le groupe de symétrie de l’origine dans \({\mathbb R}^2\) est \(O(2)\text{.}\)
Théorème 12.2.4.
Les seuls groupes de symétrie finis dans \({\mathbb R}^2\) sont \({\mathbb Z}_n\) et \(D_n\text{.}\)
Démonstration.
Il suffit de trouver tous les sous-groupes finis \(G\) de \(E(2)\text{.}\) Tout groupe de symétrie fini \(G\) dans \({\mathbb R}^2\) doit fixer l’origine et être un sous-groupe fini de \(O(2)\text{,}\) puisque les translations et les réflexions avec glissement sont d’ordre infini. Par l’Exemple 12.1.10, les éléments de \(O(2)\) sont soit des rotations de la forme
\begin{equation*}
R_{\theta}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\end{equation*}
soit des réflexions de la forme
\begin{equation*}
T_{\phi}
=
\begin{pmatrix}
\cos \phi & - \sin \phi \\
\sin \phi & \cos \phi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \phi & \sin \phi \\
\sin \phi & - \cos \phi
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Remarquons que \(\det(R_{\theta})=1\text{,}\) \(\det(T_{\phi})=-1\) et \(T_{\phi}^2=I\text{.}\) Nous pouvons diviser la démonstration en deux cas. Dans le premier cas, tous les éléments de \(G\) ont un déterminant égal à un. Dans le deuxième cas, il existe au moins un élément dans \(G\) de déterminant \(-1\text{.}\)
Cas 1.
Le déterminant de tout élément de \(G\) est un. Dans ce cas, tout élément de \(G\) doit être une rotation. Puisque \(G\) est fini, il existe un angle minimal, disons \(\theta_0\text{,}\) tel que l’élément correspondant \(R_{\theta_0}\) est la plus petite rotation dans le sens positif. Nous affirmons que \(R_{\theta_0}\) engendre \(G\text{.}\) Sinon, pour un certain entier positif \(n\text{,}\) il existerait un angle \(\theta_1\) entre \(n \theta_0\) et \((n+1) \theta_0\text{.}\) Dans ce cas, \((n+1) \theta_0 - \theta_1\) correspondrait à une rotation plus petite que \(\theta_0\text{,}\) ce qui contredit la minimalité de \(\theta_0\text{.}\)
Cas 2.
Le groupe \(G\) contient une réflexion \(T\text{.}\) Le noyau de l’homomorphisme \(\phi : G \rightarrow \{-1, 1\}\) défini par \(A \mapsto \det(A)\) est constitué des éléments dont le déterminant est 1. Par conséquent, \(|G/ \ker \phi|=2\text{.}\) Nous savons que le noyau est cyclique d’après le premier cas et est un sous-groupe de \(G\) d’ordre, disons, \(n\text{.}\) Donc \(|G| = 2n\text{.}\) Les éléments de \(G\) sont
\begin{equation*}
R_{\theta}, \ldots, R_{\theta}^{n-1}, TR_{\theta}, \ldots, TR_{\theta}^{n-1}\text{.}
\end{equation*}
Ces éléments satisfont la relation
\begin{equation*}
TR_{\theta}T = R_{\theta}^{-1}\text{.}
\end{equation*}
Par conséquent, \(G\) doit être isomorphe à \(D_n\) dans ce cas.
Sous-section 12.2.1 Les groupes de frises et de rosaces
Supposons que nous souhaitions étudier les motifs de papier peint dans le plan ou les cristaux en trois dimensions. Les motifs de papier peint sont simplement des motifs qui se répètent dans le plan (Figure 12.2.5). Les analogues des motifs de papier peint dans \({\mathbb R}^3\) sont les cristaux, que l’on peut considérer comme des motifs de molécules qui se répètent en trois dimensions (Figure 12.2.6). L’équivalent mathématique d’un motif de papier peint ou d’un cristal est appelé un réseau.
Examinons de plus près les motifs de papier peint dans le plan. Supposons que \({\mathbf x}\) et \({\mathbf y}\) soient des vecteurs linéairement indépendants dans \({\mathbb R}^2\) ; c’est-à-dire qu’aucun des deux vecteurs ne peut être un multiple scalaire de l’autre. Un réseau de \({\mathbf x}\) et \({\mathbf y}\) est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires \(m {\mathbf x} + n {\mathbf y}\text{,}\) où \(m\) et \(n\) sont des entiers. Les vecteurs \({\mathbf x}\) et \({\mathbf y}\) sont appelés une base du réseau.
Remarquons qu’un réseau peut avoir plusieurs bases. Par exemple, les vecteurs \((1,1)^\transpose\) et \((2,0)^\transpose\) engendrent le même réseau que les vecteurs \((-1, 1)^\transpose\) et \((-1, -1)^\transpose\) (Figure 12.2.7). Cependant, tout réseau est complètement déterminé par une base. Étant donné deux bases pour le même réseau, disons \(\{ {\mathbf x}_1, {\mathbf x}_2 \}\) et \(\{ {\mathbf y}_1, {\mathbf y}_2 \}\text{,}\) nous pouvons écrire
\begin{align*}
{\mathbf y}_1 & = \alpha_1 {\mathbf x}_1 + \alpha_2 {\mathbf x}_2\\
{\mathbf y}_2 & = \beta_1 {\mathbf x}_1 + \beta_2 {\mathbf x}_2\text{,}
\end{align*}
où \(\alpha_1\text{,}\) \(\alpha_2\text{,}\) \(\beta_1\) et \(\beta_2\) sont des entiers. La matrice correspondant à cette transformation est
\begin{equation*}
U
=
\begin{pmatrix}
\alpha_1 & \alpha_2 \\
\beta_1 & \beta_2
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Si nous souhaitons exprimer \({\mathbf x}_1\) et \({\mathbf x}_2\) en termes de \({\mathbf y}_1\) et \({\mathbf y}_2\text{,}\) il suffit de calculer \(U^{-1}\) ; c’est-à-dire,
\begin{equation*}
U^{-1}
\begin{pmatrix}
{\mathbf y}_1 \\ {\mathbf y}_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{\mathbf x}_1 \\ {\mathbf x}_2
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Puisque \(U\) a des coefficients entiers, \(U^{-1}\) doit également avoir des coefficients entiers ; donc les déterminants de \(U\) et de \(U^{-1}\) doivent être des entiers. Puisque \(U U^{-1} = I\text{,}\)
\begin{equation*}
\det(U U^{-1}) =\det(U) \det( U^{-1}) = 1 ;
\end{equation*}
par conséquent, \(\det(U) = \pm 1\text{.}\) Une matrice de déterminant \(\pm 1\) et à coefficients entiers est dite unimodulaire. Par exemple, la matrice
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
5 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation*}
est unimodulaire. Il est clair qu’il existe une longueur minimale pour les vecteurs d’un réseau.
Nous pouvons classifier les réseaux en étudiant leurs groupes de symétrie. Le groupe de symétrie d’un réseau est le sous-groupe de \(E(2)\) qui envoie le réseau sur lui-même. Nous considérons deux réseaux dans \({\mathbb R}^2\) comme équivalents s’ils ont le même groupe de symétrie. De même, la classification des cristaux dans \({\mathbb R}^3\) s’effectue en associant un groupe de symétrie, appelé groupe d’espace, à chaque type de cristal. Deux réseaux sont considérés comme différents si leurs groupes d’espace ne sont pas les mêmes. La question naturelle qui se pose maintenant est de savoir combien de groupes d’espace il existe.
Un groupe d’espace est composé de deux parties : un sous-groupe de translations et un groupe ponctuel. Le sous-groupe de translations est un sous-groupe abélien infini du groupe d’espace constitué des symétries par translation du cristal ; le groupe ponctuel est un groupe fini constitué des rotations et des réflexions du cristal autour d’un point. Plus précisément, un groupe d’espace est un sous-groupe \(G \subset E(2)\) dont les translations sont un ensemble de la forme \(\{ (I, t) : t \in L \}\text{,}\) où \(L\) est un réseau. Les groupes d’espace sont, bien sûr, infinis. En utilisant des arguments géométriques, nous pouvons démontrer le théorème suivant (voir [5] ou [6]).
Théorème 12.2.8.
Tout groupe de translations dans \({\mathbb R}^2\) est isomorphe à \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\)
Le groupe ponctuel de \(G\) est \(G_0 = \{A : (A,b) \in G \text{ pour un certain } b \}\text{.}\) En particulier, \(G_0\) doit être un sous-groupe de \(O(2)\text{.}\) Supposons que \({\mathbf x}\) soit un vecteur d’un réseau \(L\) de groupe d’espace \(G\text{,}\) de sous-groupe de translations \(H\) et de groupe ponctuel \(G_0\text{.}\) Pour tout élément \((A, {\mathbf y})\) de \(G\text{,}\)
\begin{align*}
(A, {\mathbf y}) (I, {\mathbf x}) (A, {\mathbf y})^{-1} & = (A,A {\mathbf x} + {\mathbf y}) (A^{-1},-A^{-1} {\mathbf y})\\
& = (A A^{-1},-A A^{-1} {\mathbf y} + A {\mathbf x} + {\mathbf y})\\
& = (I, A {\mathbf x}) ;
\end{align*}
donc \((I, A {\mathbf x})\) est dans le sous-groupe de translations de \(G\text{.}\) Plus précisément, \(A {\mathbf x}\) doit appartenir au réseau \(L\text{.}\) Il est important de noter que \(G_0\) n’est généralement pas un sous-groupe du groupe d’espace \(G\) ; cependant, si \(T\) est le sous-groupe de translations de \(G\text{,}\) alors \(G/T \cong G_0\text{.}\) La démonstration du théorème suivant peut être trouvée dans [2], [5] ou [6].
Théorème 12.2.9.
Le groupe ponctuel des groupes de papier peint est isomorphe à \({\mathbb Z}_n\) ou \(D_n\text{,}\) où \(n = 1, 2, 3, 4, 6\text{.}\)
Pour répondre à la question de savoir comment les groupes ponctuels et les groupes de translations peuvent être combinés, nous devons examiner les différents types de réseaux. Les réseaux peuvent être classifiés par la structure d’une cellule élémentaire du réseau. Les formes de cellules possibles sont le parallélogramme, le rectangle, le carré, le losange et l’hexagone (Figure 12.2.10). Les groupes de papier peint peuvent maintenant être classifiés selon les types de réflexions qui apparaissent dans chaque groupe : ce sont des réflexions ordinaires, des réflexions avec glissement, les deux à la fois, ou aucune.
| Notation et | Réflexions ou | ||
| Groupes d’espace | Groupe ponctuel | Type de réseau | réflexions avec glissement ? |
| p1 | \({\mathbb Z}_1\) | parallélogramme | aucune |
| p2 | \({\mathbb Z}_2\) | parallélogramme | aucune |
| p3 | \({\mathbb Z}_3\) | hexagonal | aucune |
| p4 | \({\mathbb Z}_4\) | carré | aucune |
| p6 | \({\mathbb Z}_6\) | hexagonal | aucune |
| pm | \(D_1\) | rectangulaire | réflexions |
| pg | \(D_1\) | rectangulaire | réflexions avec glissement |
| cm | \(D_1\) | rhombique | les deux |
| pmm | \(D_2\) | rectangulaire | réflexions |
| pmg | \(D_2\) | rectangulaire | réflexions avec glissement |
| pgg | \(D_2\) | rectangulaire | les deux |
| c2mm | \(D_2\) | rhombique | les deux |
| p3m1, p31m | \(D_3\) | hexagonal | les deux |
| p4m, p4g | \(D_4\) | carré | les deux |
| p6m | \(D_6\) | hexagonal | les deux |
Théorème 12.2.12.
Il existe exactement 17 groupes de papier peint.
Les 17 groupes de papier peint sont listés dans le Table 12.2.11. Les groupes p3m1 et p31m peuvent être distingués selon que tous leurs centres de symétrie d’ordre trois se trouvent ou non sur les axes de réflexion : ceux de p3m1 doivent l’être, tandis que ceux de p31m peuvent ne pas l’être. De même, les centres de symétrie d’ordre quatre de p4m doivent se trouver sur les axes de réflexion, tandis que ceux de p4g n’ont pas cette obligation (Figure 12.2.13). La démonstration complète de ce théorème peut être trouvée dans plusieurs des références à la fin de ce chapitre, notamment dans [5], [6], [10] et [11].
Sous-section 12.2.2 Note historique
Les groupes de symétrie ont fasciné les mathématiciens depuis longtemps. Léonard de Vinci fut probablement la première personne à connaître tous les groupes ponctuels. Au Congrès international des mathématiciens de 1900, David Hilbert prononça un discours désormais célèbre exposant 23 problèmes destinés à guider les mathématiques au vingtième siècle. Le dix-huitième problème de Hilbert demandait si les groupes cristallographiques en \(n\) dimensions étaient toujours finis. En 1910, L. Bieberbach démontra que les groupes cristallographiques sont finis en toute dimension. Déterminer combien de tels groupes existent en chaque dimension est une autre affaire. Dans \({\mathbb R}^3\text{,}\) il y a 230 groupes d’espace distincts ; dans \({\mathbb R}^4\) il y en a 4894 ; dans \({\mathbb R}^5\) il y en a 222097. Personne n’a encore réussi à calculer le nombre de groupes d’espace pour \({\mathbb R}^6\) et au-delà (
oeis.org/A006227). Il est intéressant de noter que les groupes cristallographiques ont été trouvés mathématiquement pour \({\mathbb R}^3\) avant que les 230 différents types de cristaux ne soient effectivement découverts dans la nature.
