Si \(F\) est un corps, montrer que \(F[x]\) est un espace vectoriel sur \(F\text{,}\) où les vecteurs dans \(F[x]\) sont des polynômes. L’addition vectorielle est l’addition de polynômes, et la multiplication scalaire est définie par \(\alpha p(x)\) pour \(\alpha \in F\text{.}\)
Soit \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) le corps engendré par les éléments de la forme \(a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}\text{,}\) où \(a,
b, c, d\) sont dans \({\mathbb Q}\text{.}\) Démontrer que \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) est un espace vectoriel de dimension \(4\) sur \({\mathbb Q}\text{.}\) Trouver une base de \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\text{.}\)
Démontrer que l’ensemble \(P_n\) de tous les polynômes de degré inférieur à \(n\) forme un sous-espace de l’espace vectoriel \(F[x]\text{.}\) Trouver une base de \(P_n\) et calculer la dimension de \(P_n\text{.}\)
Soit \(F\) un corps et notons l’ensemble des \(n\)-uplets de \(F\) par \(F^n\text{.}\) Étant donnés des vecteurs \(u = (u_1, \ldots,
u_n)\) et \(v = (v_1, \ldots,
v_n)\) dans \(F^n\) et \(\alpha\) dans \(F\text{,}\) définir l’addition vectorielle par
Lesquels des ensembles suivants sont des sous-espaces de \({\mathbb R}^3\) ? Si l’ensemble est effectivement un sous-espace, trouver une base de ce sous-espace et calculer sa dimension.
Soit \(W\) le sous-ensemble des fonctions continues sur \([0, 1]\) tel que \(f(0) = 0\text{.}\) Démontrer que \(W\) est un sous-espace de \(C[0, 1]\text{.}\)
Soit \(V\) un espace vectoriel sur \(F\text{.}\) Démontrer que \(-(\alpha v) = (-\alpha)v = \alpha(-v)\) pour tout \(\alpha \in F\) et tout \(v \in V\text{.}\)
Si \(S = \{v_1, \ldots,
v_k \}\) est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants de \(V\) avec \(k \lt n\text{,}\) alors il existe des vecteurs \(v_{k + 1}, \ldots, v_n\) tels que
Si un espace vectoriel \(V\) est engendré par \(n\) vecteurs, montrer que tout ensemble de \(m\) vecteurs dans \(V\) est nécessairement linéairement dépendant pour \(m \gt n\text{.}\)
Soient \(V\) et \(W\) des espaces vectoriels sur un corps \(F\text{,}\) de dimensions \(m\) et \(n\) respectivement. Si \(T: V \rightarrow W\) est une application satisfaisant
\begin{align*}
T( u+ v ) & = T(u ) + T(v)\\
T( \alpha v ) & = \alpha T(v)
\end{align*}
pour tout \(\alpha \in F\) et tous \(u, v \in V\text{,}\) alors \(T\) est appelée une transformation linéaire de \(V\) dans \(W\text{.}\)
Démontrer que le noyau de \(T\text{,}\)\(\ker(T) = \{ v \in V : T(v) = {\mathbf 0} \}\text{,}\) est un sous-espace de \(V\text{.}\) Le noyau de \(T\) est parfois appelé l’ espace nul de \(T\text{.}\)
Démontrer que l’image ou l’espace image de \(T\text{,}\)\(R(V) = \{ w \in W : T(v) = w \text{ pour un certain } v \in V \}\text{,}\) est un sous-espace de \(W\text{.}\)
Soit \(\{ v_1, \ldots,
v_k \}\) une base du noyau de \(T\text{.}\) On peut étendre cette base en une base \(\{ v_1, \ldots,
v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_m\}\) de \(V\text{.}\) Pourquoi ? Démontrer que \(\{ T(v_{k + 1}), \ldots, T(v_m) \}\) est une base de l’image de \(T\text{.}\) Conclure que l’image de \(T\) est de dimension \(m - k\text{.}\)
(c) L’affirmation que \(T(u) = T(v)\) est équivalente à \(T(u-v) = T(u) - T(v) = 0\text{,}\) ce qui est vrai si et seulement si \(u-v = 0\) ou \(u = v\text{.}\)
Soient \(V\) et \(W\) des espaces vectoriels de dimension finie \(n\) sur un corps \(F\text{.}\) Supposons que \(T: V \rightarrow W\) est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Si \(\{ v_1, \ldots, v_n \}\) est une base de \(V\text{,}\) montrer que \(\{ T(v_1), \ldots, T(v_n) \}\) est une base de \(W\text{.}\) Conclure que tout espace vectoriel sur un corps \(F\) de dimension \(n\) est isomorphe à \(F^n\text{.}\)
Soient \(U\) et \(V\) des sous-espaces d’un espace vectoriel \(W\text{.}\) La somme de \(U\) et \(V\text{,}\) notée \(U + V\text{,}\) est définie comme l’ensemble de tous les vecteurs de la forme \(u + v\text{,}\) où \(u \in U\) et \(v \in V\text{.}\)
Démontrer que \(U + V\) et \(U \cap V\) sont des sous-espaces de \(W\text{.}\)
Si \(U + V = W\) et \(U \cap V = {\mathbf 0}\text{,}\) alors \(W\) est dit être la somme directe. Dans ce cas, on écrit \(W = U \oplus V\text{.}\) Montrer que tout élément \(w \in W\) peut s’écrire de manière unique comme \(w = u + v\text{,}\) où \(u \in U\) et \(v \in V\text{.}\)
Soit \(U\) un sous-espace de dimension \(k\) d’un espace vectoriel \(W\) de dimension \(n\text{.}\) Démontrer qu’il existe un sous-espace \(V\) de dimension \(n-k\) tel que \(W = U \oplus V\text{.}\) Le sous-espace \(V\) est-il unique ?
Soient \(V\) et \(W\) des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps \(F\text{.}\)
Montrer que l’ensemble de toutes les transformations linéaires de \(V\) dans \(W\text{,}\) noté \(\Hom(V, W)\text{,}\) est un espace vectoriel sur \(F\text{,}\) où l’on définit l’addition vectorielle comme suit :
Soit \(V\) un \(F\)-espace vectoriel. Définir l’espace dual de \(V\) comme \(V^* = \Hom(V, F)\text{.}\) Les éléments de l’espace dual de \(V\) sont appelés formes linéaires. Soit \(v_1, \ldots,
v_n\) une base ordonnée de \(V\text{.}\) Si \(v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n\) est un vecteur quelconque dans \(V\text{,}\) définir une forme linéaire \(\phi_i : V \rightarrow F\) par \(\phi_i (v) = \alpha_i\text{.}\) Montrer que les \(\phi_i\) forment une base de \(V^*\text{.}\) Cette base est appelée la base duale de \(v_1, \ldots, v_n\) (ou simplement la base duale si le contexte rend le sens clair).
Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps \(F\) et soit \(V^{* *}\) l’espace dual de \(V^*\text{.}\) Montrer que chaque élément \(v \in V\) donne naissance à un élément \(\lambda_v\) dans \(V^{**}\) et que l’application \(v \mapsto \lambda_v\) est un isomorphisme de \(V\) avec \(V^{**}\text{.}\)
