1.
Quels sont les ordres de tous les \(p\)-sous-groupes de Sylow lorsque \(G\) est d’ordre \(18\text{,}\) \(24\text{,}\) \(54\text{,}\) \(72\) et \(80\) ?
Exercices 15.4 Exercices
2.
Indication.
3.
4.
Soit \(H\) un \(p\)-sous-groupe de Sylow de \(G\text{.}\) Démontrer que \(H\) est le seul \(p\)-sous-groupe de Sylow de \(G\) contenu dans \(N(H)\text{.}\)
5.
Démontrer qu’aucun groupe d’ordre \(96\) n’est simple.
Indication.
Comme \(|G| = 96 = 2^5 \cdot 3\text{,}\) \(G\) possède soit un soit trois \(2\)-sous-groupes de Sylow d’après le Troisième théorème de Sylow. S’il n’y a qu’un seul sous-groupe, nous avons terminé. S’il y a trois \(2\)-sous-groupes de Sylow, soient \(H\) et \(K\) deux d’entre eux. Par conséquent, \(|H \cap K| \geq 16\) ; sinon, \(HK\) aurait \((32 \cdot 32)/8 = 128\) éléments, ce qui est impossible. Ainsi, \(H \cap K\) est normal dans \(H\) et dans \(K\) car il est d’indice \(2\) dans les deux groupes.
6.
Démontrer qu’aucun groupe d’ordre \(160\) n’est simple.
7.
Si \(H\) est un sous-groupe normal d’un groupe fini \(G\) et \(|H| = p^k\) pour un certain premier \(p\text{,}\) montrer que \(H\) est contenu dans tout \(p\)-sous-groupe de Sylow de \(G\text{.}\)
8.
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(p^2 q^2\text{,}\) où \(p\) et \(q\) sont des premiers distincts tels que \(q \nmid p^2 - 1\) et \(p \nmid q^2 - 1\text{.}\) Démontrer que \(G\) est nécessairement abélien. Trouver une paire de nombres premiers pour laquelle ceci est vrai.
9.
10.
Soit \(H\) un sous-groupe d’un groupe \(G\text{.}\) Démontrer ou réfuter que le normalisateur de \(H\) est normal dans \(G\text{.}\)
11.
Soit \(G\) un groupe fini dont l’ordre est divisible par un premier \(p\text{.}\) Démontrer que s’il n’y a qu’un seul \(p\)-sous-groupe de Sylow dans \(G\text{,}\) il doit être un sous-groupe normal de \(G\text{.}\)
12.
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(p^r\text{,}\) \(p\) premier. Démontrer que \(G\) contient un sous-groupe normal d’ordre \(p^{r-1}\text{.}\)
13.
Supposons que \(G\) est un groupe fini d’ordre \(p^n k\text{,}\) où \(k \lt p\text{.}\) Montrer que \(G\) doit contenir un sous-groupe normal propre non trivial.
14.
Soit \(H\) un sous-groupe d’un groupe fini \(G\text{.}\) Démontrer que \(g N(H) g^{-1} = N(gHg^{-1})\) pour tout \(g \in G\text{.}\)
15.
Démontrer qu’un groupe d’ordre \(108\) doit avoir un sous-groupe normal propre non trivial.
16.
Classifier tous les groupes d’ordre \(175\) à isomorphisme près.
17.
Montrer que tout groupe d’ordre \(255\) est cyclique.
Indication.
Si \(G\) est abélien, alors \(G\) est cyclique, car \(|G| = 3 \cdot 5 \cdot 17\text{.}\) Voir maintenant Exemple 15.2.6.
18.
Soit \(G\) d’ordre \(p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}\) et supposons que \(G\) possède \(n\) \(p\)-sous-groupes de Sylow \(P_1, \ldots, P_n\) où \(|P_i| = p_i^{e_i}\text{.}\) Démontrer que \(G\) est isomorphe à \(P_1 \times \cdots \times P_n\text{.}\)
19.
Soit \(P\) un \(p\)-sous-groupe de Sylow normal de \(G\text{.}\) Démontrer que tout automorphisme intérieur de \(G\) fixe \(P\text{.}\)
20.
Quel est le plus petit ordre possible d’un groupe \(G\) tel que \(G\) est non abélien et \(|G|\) est impair ? Pouvez-vous trouver un tel groupe ?
21. Lemme de Frattini.
Si \(H\) est un sous-groupe normal d’un groupe fini \(G\) et \(P\) est un \(p\)-sous-groupe de Sylow de \(H\text{,}\) pour chaque \(g \in G\) montrer qu’il existe un \(h\) dans \(H\) tel que \(gPg^{-1} = hPh^{-1}\text{.}\) Montrer également que si \(N\) est le normalisateur de \(P\text{,}\) alors \(G= HN\text{.}\)
22.
Montrer que si l’ordre de \(G\) est \(p^nq\text{,}\) où \(p\) et \(q\) sont des premiers et \(p\gt q\text{,}\) alors \(G\) contient un sous-groupe normal propre non trivial.
23.
Démontrer que le nombre de conjugués distincts d’un sous-groupe \(H\) d’un groupe fini \(G\) est \([G : N(H) ]\text{.}\)
24.
25. Autre démonstration des théorèmes de Sylow.
-
Supposons que \(p\) est premier et \(p\) ne divise pas \(m\text{.}\) Montrer que\begin{equation*} p \nmid \binom{p^k m}{p^k}\text{.} \end{equation*}
-
Soit \({\mathcal S}\) l’ensemble de tous les sous-ensembles à \(p^k\) éléments de \(G\text{.}\) Montrer que \(p\) ne divise pas \(|{\mathcal S}|\text{.}\)
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Définir une action de \(G\) sur \({\mathcal S}\) par multiplication à gauche, \(aT = \{ at : t \in T \}\) pour \(a \in G\) et \(T \in {\mathcal S}\text{.}\) Démontrer qu’il s’agit d’une action de groupe.
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Soit \(\{ T_1, \ldots, T_u \}\) une orbite telle que \(p \nmid u\) et \(H = \{ g \in G : gT_1 = T_1 \}\text{.}\) Démontrer que \(H\) est un sous-groupe de \(G\) et montrer que \(|G| = u |H|\text{.}\)
26.
Soit \(G\) un groupe. Démontrer que \(G' = \langle a b a^{-1} b^{-1} : a, b \in G \rangle\) est un sous-groupe normal de \(G\) et \(G/G'\) est abélien. Trouver un exemple montrant que \(\{ a b a^{-1} b^{-1} : a, b \in G \}\) n’est pas nécessairement un groupe.
