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\)
Exercices 17.6 Exercices supplémentaires : résolution des équations cubiques et quartiques
1.
Complétez le carré pour résoudre l’équation du second degré générale
\begin{equation*}
ax^2 + bx + c = 0
\end{equation*}
et obtenez
\begin{equation*}
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}
\end{equation*}
Le discriminant de l’équation du second degré \(\Delta = b^2 - 4ac\) détermine la nature des solutions de l’équation. Si \(\Delta \gt 0\text{,}\) l’équation a deux solutions réelles distinctes. Si \(\Delta = 0\text{,}\) l’équation a une racine réelle double. Si \(\Delta \lt 0\text{,}\) il y a deux solutions imaginaires distinctes.
2.
Montrez que toute équation cubique de la forme
\begin{equation*}
x^3 + bx^2 + cx + d = 0
\end{equation*}
peut être réduite à la forme \(y^3 + py + q = 0\) par la substitution \(x = y - b/3\text{.}\)
3.
Prouvez que les racines cubiques de 1 sont données par
\begin{align*}
\omega & = \frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}\\
\omega^2 & = \frac{-1- i \sqrt{3}}{2}\\
\omega^3 & = 1\text{.}
\end{align*}
4.
Effectuez la substitution
\begin{equation*}
y = z - \frac{p}{3 z}
\end{equation*}
pour \(y\) dans l’équation \(y^3 + py + q = 0\) et obtenez deux solutions \(A\) et \(B\) pour \(z^3\text{.}\)
5. Montrez que le produit des solutions obtenues en (4) est
\(-p^3/27\text{,}\) et déduisez-en que
\(\sqrt[3]{A B} = -p/3\text{.}\)
6.
Prouvez que les solutions possibles pour \(z\) en (4) sont données par
\begin{equation*}
\sqrt[3]{A}, \quad \omega \sqrt[3]{A}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{A}, \quad \sqrt[3]{B}, \quad \omega \sqrt[3]{B}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{B}
\end{equation*}
et utilisez ce résultat pour montrer que les trois solutions possibles pour \(y\) sont
\begin{equation*}
\omega^i \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} } + \omega^{2i} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} }\text{,}
\end{equation*}
où \(i = 0, 1, 2\text{.}\)
7.
Le discriminant de l’équation cubique est
\begin{equation*}
\Delta = \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}\text{.}
\end{equation*}
Montrez que \(y^3 + py + q=0\)
a trois racines réelles, dont au moins deux sont égales, si
\(\Delta = 0\text{.}\)
a une racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées si
\(\Delta \gt 0\text{.}\)
a trois racines réelles distinctes si
\(\Delta \lt 0\text{.}\)
8.
Résolvez les équations cubiques suivantes.
\(\displaystyle x^3 - 4x^2 + 11 x + 30 = 0\)
\(\displaystyle x^3 - 3x +5 = 0\)
\(\displaystyle x^3 - 3x +2 = 0\)
\(\displaystyle x^3 + x + 3 = 0\)
9.
Montrez que l’équation quartique générale
\begin{equation*}
x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\end{equation*}
peut être réduite à
\begin{equation*}
y^4 + py^2 + qy + r = 0
\end{equation*}
par la substitution \(x = y - a/4\text{.}\)
10.
Montrez que
\begin{equation*}
\left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (z - p)y^2 - qy + \left( \frac{1}{4} z^2 - r \right)\text{.}
\end{equation*}
11.
Montrez que le membre droit de
Exercice 17.6.10 peut se mettre sous la forme
\((my + k)^2\) si et seulement si
\begin{equation*}
q^2 - 4(z - p)\left( \frac{1}{4} z^2 - r \right) = 0\text{.}
\end{equation*}
12.
\begin{equation*}
z^3 - pz^2 - 4rz + (4pr - q^2) = 0\text{.}
\end{equation*}
En résolvant l’équation cubique résolvante, mettez l’équation trouvée dans
Exercice 17.6.10 sous la forme
\begin{equation*}
\left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (my + k)^2
\end{equation*}
pour obtenir la solution de l’équation quartique.
13.
Utilisez cette méthode pour résoudre les équations quartiques suivantes.
\(\displaystyle x^4 - x^2 - 3x + 2 = 0\)
\(\displaystyle x^4 + x^3 - 7 x^2 - x + 6 = 0\)
\(\displaystyle x^4 -2 x^2 + 4 x -3 = 0\)
\(\displaystyle x^4 - 4 x^3 + 3x^2 - 5x +2 = 0\)
