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Algèbre abstraite Théorie et applications

Thomas W. Judson

Section 16.2 Anneaux intègres et corps

Rappelons brièvement quelques définitions. Si \(R\) est un anneau commutatif et \(r\) est un élément non nul de \(R\text{,}\) alors \(r\) est appelé un diviseur de zéro s’il existe un élément non nul \(s \in R\) tel que \(rs = 0\text{.}\) Un anneau commutatif avec identité est dit intègre s’il n’a pas de diviseur de zéro. Si un élément \(a\) d’un anneau \(R\) avec identité possède un inverse multiplicatif, on dit que \(a\) est une unité. Si tout élément non nul d’un anneau \(R\) est une unité, alors \(R\) est appelé un anneau à division. Un anneau à division commutatif est appelé un corps.
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Exemple 16.2.1.

Si \(i^2 = -1\text{,}\) alors l’ensemble \({\mathbb Z}[ i ] = \{ m + ni : m, n \in {\mathbb Z} \}\) forme un anneau connu sous le nom d’ entiers de Gauss. On vérifie aisément que les entiers de Gauss sont un sous-anneau des nombres complexes puisqu’ils sont stables par addition et multiplication. Soit \(\alpha = a + bi\) une unité dans \({\mathbb Z}[ i ]\text{.}\) Alors \(\overline{\alpha} = a - bi\) est aussi une unité car si \(\alpha \beta = 1\text{,}\) alors \(\overline{\alpha} \overline{\beta} = 1\text{.}\) Si \(\beta = c + di\text{,}\) alors
\begin{equation*} 1 = \alpha \beta \overline{\alpha} \overline{\beta} = (a^2 + b^2 )(c^2 + d^2)\text{.} \end{equation*}
Donc, \(a^2 + b^2\) doit être égal à \(1\) ou à \(-1\) ; autrement dit, \(a + bi = \pm 1\) ou \(a + bi = \pm i\text{.}\) Par conséquent, les unités de cet anneau sont \(\pm 1\) et \(\pm i\) ; ainsi, les entiers de Gauss ne forment pas un corps. Nous laisserons en exercice la démonstration que les entiers de Gauss sont un anneau intègre.
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Exemple 16.2.2.

L’ensemble de matrices
\begin{equation*} F = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{equation*}
à coefficients dans \({\mathbb Z}_2\) forme un corps.
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Exemple 16.2.3.

L’ensemble \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\) est un corps. L’inverse d’un élément \(a + b \sqrt{2}\) dans \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )\) est
\begin{equation*} \frac{a}{a^2 - 2 b^2} +\frac{- b}{ a^2 - 2 b^2} \sqrt{2}\text{.} \end{equation*}
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Nous disposons de la caractérisation alternative suivante des anneaux intègres.
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Démonstration.

Soit \(D\) un anneau intègre. Alors \(D\) n’a pas de diviseur de zéro. Supposons \(ab = ac\) avec \(a \neq 0\text{.}\) Alors \(a(b - c) =0\text{.}\) Donc \(b - c = 0\) et \(b = c\text{.}\)
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Réciproquement, supposons que la simplification soit possible dans \(D\text{.}\) C’est-à-dire, supposons que \(ab = ac\) implique \(b=c\text{.}\) Soit \(ab = 0\text{.}\) Si \(a \neq 0\text{,}\) alors \(ab = a 0\text{,}\) d’où \(b=0\text{.}\) Donc \(a\) ne peut pas être un diviseur de zéro.
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Le théorème surprenant suivant est dû à Wedderburn.
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Démonstration.

Soit \(D\) un anneau intègre fini et \(D^\ast\) l’ensemble des éléments non nuls de \(D\text{.}\) Il faut montrer que tout élément de \(D^*\) a un inverse. Pour chaque \(a \in D^\ast\text{,}\) on peut définir une application \(\lambda_a : D^\ast \rightarrow D^\ast\) par \(\lambda_a(d) = ad\text{.}\) Cette application a bien un sens car si \(a \neq 0\) et \(d \neq 0\text{,}\) alors \(ad \neq 0\text{.}\) L’application \(\lambda_a\) est injective, car pour \(d_1, d_2 \in D^*\text{,}\)
\begin{equation*} ad_1 = \lambda_a(d_1) = \lambda_a(d_2) = ad_2 \end{equation*}
implique \(d_1 = d_2\) par simplification à gauche. Puisque \(D^\ast\) est un ensemble fini, l’application \(\lambda_a\) est également surjective ; donc, pour un certain \(d \in D^\ast\text{,}\) \(\lambda_a(d) = ad = 1\text{.}\) Donc \(a\) a un inverse à gauche. Puisque \(D\) est commutatif, \(d\) est aussi un inverse à droite de \(a\text{.}\) Par conséquent, \(D\) est un corps.
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Pour tout entier non négatif \(n\) et tout élément \(r\) d’un anneau \(R\text{,}\) on écrit \(r + \cdots + r\) (\(n\) fois) sous la forme \(nr\text{.}\) On définit la caractéristique d’un anneau \(R\) comme le plus petit entier positif \(n\) tel que \(nr = 0\) pour tout \(r \in R\text{.}\) Si un tel entier n’existe pas, la caractéristique de \(R\) est définie comme étant \(0\text{.}\) Nous noterons la caractéristique de \(R\) par \(\chr R\text{.}\)
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Exemple 16.2.6.

Pour tout nombre premier \(p\text{,}\) \({\mathbb Z}_p\) est un corps de caractéristique \(p\text{.}\) D’après la Proposition 3.1.4, tout élément non nul de \({\mathbb Z}_p\) a un inverse ; donc \({\mathbb Z}_p\) est un corps. Si \(a\) est un élément non nul quelconque du corps, alors \(pa =0\text{,}\) car l’ordre de tout élément non nul du groupe abélien \({\mathbb Z}_p\) est \(p\text{.}\)
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Démonstration.

Si \(1\) est d’ordre \(n\text{,}\) alors \(n\) est le plus petit entier positif tel que \(n 1 = 0\text{.}\) Ainsi, pour tout \(r \in R\text{,}\)
\begin{equation*} nr = n(1r) = (n 1) r = 0r = 0\text{.} \end{equation*}
D’autre part, si aucun entier positif \(n\) ne vérifie \(n1 = 0\text{,}\) alors la caractéristique de \(R\) est zéro.
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Démonstration.

Soit \(D\) un anneau intègre et supposons que la caractéristique de \(D\) soit \(n\) avec \(n \neq 0\text{.}\) Si \(n\) n’est pas premier, alors \(n = ab\text{,}\) où \(1 \lt a \lt n\) et \(1 \lt b \lt n\text{.}\) D’après le Lemme 16.2.7, il suffit de considérer le cas \(n 1 = 0\text{.}\) Puisque \(0 = n 1 = (ab)1 = (a1)(b1)\) et qu’il n’y a pas de diviseur de zéro dans \(D\text{,}\) soit \(a1 =0\text{,}\) soit \(b1=0\text{.}\) Donc la caractéristique de \(D\) doit être inférieure à \(n\text{,}\) ce qui est une contradiction. Donc \(n\) doit être premier.
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