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Algèbre abstraite Théorie et applications

Thomas W. Judson

Section 6.1 Classes latérales

Soit \(G\) un groupe et \(H\) un sous-groupe de \(G\text{.}\) Définissons une classe latérale gauche de \(H\) avec le représentant \(g \in G\) comme l’ensemble
\begin{equation*} gH = \{ gh : h \in H \}\text{.} \end{equation*}
Les classes latérales droites peuvent être définies de manière analogue par
\begin{equation*} Hg = \{ hg : h \in H \}\text{.} \end{equation*}
Si les classes latérales gauches et droites coïncident ou s’il est clair d’après le contexte à quel type de classe latérale nous faisons référence, nous utiliserons le mot classe latérale sans préciser gauche ou droite.
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Exemple 6.1.1.

Soit \(H\) le sous-groupe de \({\mathbb Z}_6\) constitué des éléments \(0\) et \(3\text{.}\) Les classes latérales sont
\begin{gather*} 0 + H = 3 + H = \{ 0, 3 \}\\ 1 + H = 4 + H = \{ 1, 4 \}\\ 2 + H = 5 + H = \{ 2, 5 \}\text{.} \end{gather*}
Nous écrirons toujours les classes latérales des sous-groupes de \({\mathbb Z}\) et \({\mathbb Z}_n\) avec la notation additive que nous avons utilisée pour les classes latérales ici. Dans un groupe commutatif, les classes latérales gauches et droites sont toujours identiques.
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Exemple 6.1.2.

Soit \(H\) le sous-groupe de \(S_3\) défini par les permutations \(\{(1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\text{.}\) Les classes latérales gauches de \(H\) sont
\begin{gather*} (1)H = (1 \, 2 \, 3)H = (1 \, 3 \, 2)H = \{(1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\\ (1 \, 2)H = (1 \, 3)H = (2 \, 3)H = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\text{.} \end{gather*}
Les classes latérales droites de \(H\) sont exactement les mêmes que les classes latérales gauches :
\begin{gather*} H(1) = H(1 \, 2 \, 3) = H(1 \, 3 \, 2) = \{(1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\\ H(1 \, 2) = H(1 \, 3) = H(2 \, 3) = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\text{.} \end{gather*}
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Il n’est pas toujours vrai qu’une classe latérale gauche soit la même qu’une classe latérale droite. Soit \(K\) le sous-groupe de \(S_3\) défini par les permutations \(\{(1), (1 \, 2)\}\text{.}\) Alors les classes latérales gauches de \(K\) sont
\begin{gather*} (1)K = (1 \, 2)K = \{(1), (1 \, 2)\}\\ (1 \, 3)K = (1 \, 2 \, 3)K = \{(1 \, 3), (1 \, 2 \, 3)\}\\ (2 \, 3)K = (1 \, 3 \, 2)K = \{(2 \, 3), (1 \, 3 \, 2)\}; \end{gather*}
cependant, les classes latérales droites de \(K\) sont
\begin{gather*} K(1) = K(1 \, 2) = \{(1), (1 \, 2)\}\\ K(1 \, 3) = K(1 \, 3 \, 2) = \{(1 \, 3), (1 \, 3 \, 2)\}\\ K(2 \, 3) = K(1 \, 2 \, 3) = \{(2 \, 3), (1 \, 2 \, 3)\}\text{.} \end{gather*}
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Le lemme suivant est très utile lorsqu’on traite des classes latérales. (Nous laissons sa preuve en exercice.)
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Dans tous nos exemples, les classes latérales d’un sous-groupe \(H\) partitionnent le groupe \(G\) tout entier. Le théorème suivant affirme que cela sera toujours le cas.
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Démonstration.

Soient \(g_1 H\) et \(g_2 H\) deux classes latérales de \(H\) dans \(G\text{.}\) Nous devons montrer que soit \(g_1 H \cap g_2 H = \emptyset\) soit \(g_1 H = g_2 H\text{.}\) Supposons que \(g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset\) et que \(a \in g_1 H \cap g_2 H\text{.}\) Alors par définition d’une classe latérale gauche, \(a = g_1 h_1 = g_2 h_2\) pour certains éléments \(h_1\) et \(h_2\) dans \(H\text{.}\) Donc \(g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}\) ou \(g_1 \in g_2 H\text{.}\) Par le Lemme 6.1.3, \(g_1 H = g_2 H\text{.}\)
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Remarque 6.1.5.

Il n’y a rien de particulier dans ce théorème concernant les classes latérales gauches. Les classes latérales droites partitionnent également \(G\) ; la preuve de ce fait est exactement la même que la preuve pour les classes latérales gauches, sauf que toutes les multiplications de groupe se font de l’autre côté de \(H\text{.}\)
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Soit \(G\) un groupe et \(H\) un sous-groupe de \(G\text{.}\) Définissons l’indice de \(H\) dans \(G\) comme le nombre de classes latérales gauches de \(H\) dans \(G\text{.}\) Nous noterons l’indice par \([G:H]\text{.}\)
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Exemple 6.1.6.

Soit \(G= {\mathbb Z}_6\) et \(H = \{ 0, 3 \}\text{.}\) Alors \([G:H] = 3\text{.}\)
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Exemple 6.1.7.

Supposons que \(G= S_3\text{,}\) \(H = \{ (1),(1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\text{,}\) et \(K= \{ (1), (1 \, 2) \}\text{.}\) Alors \([G:H] = 2\) et \([G:K] = 3\text{.}\)
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Démonstration.

Notons \({\mathcal L}_H\) et \({\mathcal R}_H\) respectivement l’ensemble des classes latérales gauches et des classes latérales droites de \(H\) dans \(G\text{.}\) Si nous pouvons définir une application bijective \(\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\text{,}\) alors le théorème sera démontré. Si \(gH \in {\mathcal L}_H\text{,}\) posons \(\phi( gH ) = Hg^{-1}\text{.}\) Par le Lemme 6.1.3, l’application \(\phi\) est bien définie ; c’est-à-dire que si \(g_1 H = g_2 H\text{,}\) alors \(H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\text{.}\) Pour montrer que \(\phi\) est injective, supposons que
\begin{equation*} H g_1^{-1} = \phi( g_1 H ) = \phi( g_2 H ) = H g_2^{-1}\text{.} \end{equation*}
De nouveau par le Lemme 6.1.3, \(g_1 H = g_2 H\text{.}\) L’application \(\phi\) est surjective puisque \(\phi(g^{-1} H ) = H g\text{.}\)
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