1.
Soit \(z = a + b \sqrt{3}\, i\) dans \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i]\text{.}\) Si \(a^2 + 3 b^2 = 1\text{,}\) montrez que \(z\) doit être inversible. Montrez que les seuls inversibles de \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\) sont \(1\) et \(-1\text{.}\)
Exercices 18.4 Exercices
2.
Les entiers de Gauss, \({\mathbb Z}[i]\text{,}\) forment un DFU. Factorisez chacun des éléments suivants dans \({\mathbb Z}[i]\) en un produit d’irréductibles.
-
\(\displaystyle 5\)
-
\(\displaystyle 1 + 3i\)
-
\(\displaystyle 6 + 8i\)
-
\(\displaystyle 2\)
3.
Soit \(D\) un domaine intègre.
-
Montrez que \(F_D\) est un groupe abélien pour l’opération d’addition.
-
Montrez que l’opération de multiplication est bien définie dans le corps des fractions, \(F_D\text{.}\)
-
Vérifiez les propriétés associative et commutative pour la multiplication dans \(F_D\text{.}\)
4.
5.
Prouvez ou réfutez : Si \(D\) est un domaine intègre, alors tout élément premier dans \(D\) est aussi irréductible dans \(D\text{.}\)
6.
Soit \(F\) un corps de caractéristique zéro. Montrez que \(F\) contient un sous-corps isomorphe à \({\mathbb Q}\text{.}\)
7.
Soit \(F\) un corps.
-
Montrez que le corps des fractions de \(F[x]\text{,}\) noté \(F(x)\text{,}\) est isomorphe à l’ensemble de toutes les expressions rationnelles \(p(x) / q(x)\text{,}\) où \(q(x)\) n’est pas le polynôme nul.
-
Soient \(p(x_1, \ldots, x_n)\) et \(q(x_1, \ldots, x_n)\) des polynômes dans \(F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}\) Montrez que l’ensemble de toutes les expressions rationnelles \(p(x_1, \ldots, x_n) / q(x_1, \ldots, x_n)\) est isomorphe au corps des fractions de \(F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}\) Nous notons le corps des fractions de \(F[x_1, \ldots, x_n]\) par \(F(x_1, \ldots, x_n)\text{.}\)
8.
Soit \(p\) premier et notons le corps des fractions de \({\mathbb Z}_p[x]\) par \({\mathbb Z}_p(x)\text{.}\) Montrez que \({\mathbb Z}_p(x)\) est un corps infini de caractéristique \(p\text{.}\)
9.
Montrez que le corps des fractions des entiers de Gauss, \({\mathbb Z}[i]\text{,}\) est
\begin{equation*}
{\mathbb Q}(i) = \{ p + q i : p, q \in {\mathbb Q} \}\text{.}
\end{equation*}
10.
Un corps \(F\) est appelé un corps premier s’il n’a pas de sous-corps propre. Si \(E\) est un sous-corps de \(F\) et \(E\) est un corps premier, alors \(E\) est un sous-corps premier de \(F\text{.}\)
-
Montrez que tout corps contient un unique sous-corps premier.
-
Si \(F\) est un corps de caractéristique 0, montrez que le sous-corps premier de \(F\) est isomorphe au corps des rationnels, \({\mathbb Q}\text{.}\)
-
Si \(F\) est un corps de caractéristique \(p\text{,}\) montrez que le sous-corps premier de \(F\) est isomorphe à \({\mathbb Z}_p\text{.}\)
11.
Soit \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ] = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Z} \}\text{.}\)
-
Montrez que \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\) est un domaine intègre.
-
Trouvez tous les inversibles de \({\mathbb Z}[\sqrt{2}\, ]\text{.}\)
-
Déterminez le corps des fractions de \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\text{.}\)
-
Montrez que \({\mathbb Z}[ \sqrt{2} i ]\) est un domaine euclidien pour la valuation euclidienne \(\nu( a + b \sqrt{2}\, i) = a^2 + 2b^2\text{.}\)
12.
Soit \(D\) un DFU. Un élément \(d \in D\) est un plus grand commun diviseur de \(a\) et \(b\) dans \(D\) si \(d \mid a\) et \(d \mid b\) et \(d\) est divisible par tout autre élément divisant à la fois \(a\) et \(b\text{.}\)
-
Si \(D\) est un DIP et \(a\) et \(b\) sont tous deux des éléments non nuls de \(D\text{,}\) montrez qu’il existe un plus grand commun diviseur de \(a\) et \(b\) unique à des associés près. C’est-à-dire que si \(d\) et \(d'\) sont tous deux des plus grands communs diviseurs de \(a\) et \(b\text{,}\) alors \(d\) et \(d'\) sont associés. Nous notons \(\gcd( a, b)\) le plus grand commun diviseur de \(a\) et \(b\text{.}\)
-
Soit \(D\) un DIP et \(a\) et \(b\) des éléments non nuls de \(D\text{.}\) Montrez qu’il existe des éléments \(s\) et \(t\) dans \(D\) tels que \(\gcd(a, b) = as + bt\text{.}\)
13.
Soit \(D\) un domaine intègre. Définissons une relation sur \(D\) par \(a \sim b\) si \(a\) et \(b\) sont associés dans \(D\text{.}\) Montrez que \(\sim\) est une relation d’équivalence sur \(D\text{.}\)
14.
Soit \(D\) un domaine euclidien avec valuation euclidienne \(\nu\text{.}\) Si \(u\) est un inversible dans \(D\text{,}\) montrez que \(\nu(u) = \nu(1)\text{.}\)
15.
Soit \(D\) un domaine euclidien avec valuation euclidienne \(\nu\text{.}\) Si \(a\) et \(b\) sont associés dans \(D\text{,}\) montrez que \(\nu(a) = \nu(b)\text{.}\)
16.
Montrez que \({\mathbb Z}[\sqrt{5}\, i]\) n’est pas un domaine à factorisation unique.
17.
Prouvez ou réfutez : Tout sous-domaine d’un DFU est aussi un DFU.
18.
Un idéal d’un anneau commutatif \(R\) est dit de type fini s’il existe des éléments \(a_1, \ldots,
a_n\) dans \(R\) tels que tout élément \(r\) de l’idéal peut s’écrire comme \(a_1 r_1 + \cdots + a_n r_n\) pour certains \(r_1, \ldots,
r_n\) dans \(R\text{.}\) Montrez que \(R\) satisfait la condition de chaîne ascendante si et seulement si tout idéal de \(R\) est de type fini.
19.
Soit \(D\) un domaine intègre avec une chaîne descendante d’idéaux \(I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots\text{.}\) Supposons qu’il existe un \(N\) tel que \(I_k = I_N\) pour tout \(k \geq N\text{.}\) Un anneau satisfaisant cette condition est dit satisfaire la condition de chaîne descendante, ou CCD. Les anneaux satisfaisant la CCD sont appelés anneaux artiniens, d’après Emil Artin. Montrez que si \(D\) satisfait la condition de chaîne descendante, il doit satisfaire la condition de chaîne ascendante.
20.
Soit \(R\) un anneau commutatif avec identité. Nous définissons un sous-ensemble multiplicatif de \(R\) comme un sous-ensemble \(S\) tel que \(1 \in S\) et \(ab \in S\) si \(a, b \in S\text{.}\)
-
Définissons une relation \(\sim\) sur \(R \times S\) par \((a, s) \sim (a', s')\) s’il existe un \(s^\ast \in S\) tel que \(s^\ast(s' a -s a') = 0\text{.}\) Montrez que \(\sim\) est une relation d’équivalence sur \(R \times S\text{.}\)
-
Notons \(a/s\) la classe d’équivalence de \((a,s) \in R \times S\) et notons \(S^{-1}R\) l’ensemble de toutes les classes d’équivalence par rapport à \(\sim\text{.}\) Définissons les opérations d’addition et de multiplication sur \(S^{-1} R\) par\begin{align*} \frac{a}{s} + \frac{b}{t} & = \frac{at + b s}{s t}\\ \frac{a}{s} \frac{b}{t} & = \frac{a b}{s t}\text{,} \end{align*}respectivement. Montrez que ces opérations sont bien définies sur \(S^{-1}R\) et que \(S^{-1}R\) est un anneau avec identité pour ces opérations. L’anneau \(S^{-1}R\) est appelé l’ anneau des quotients de \(R\) par rapport à \(S\text{.}\)
-
Montrez que l’application \(\psi : R \rightarrow S^{-1}R\) définie par \(\psi(a) = a/1\) est un homomorphisme d’anneaux.
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Si \(R\) n’a pas de diviseurs de zéro et \(0 \notin S\text{,}\) montrez que \(\psi\) est injective.
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Montrez que \(P\) est un idéal premier de \(R\) si et seulement si \(S = R \setminus P\) est un sous-ensemble multiplicatif de \(R\text{.}\)
-
Si \(P\) est un idéal premier de \(R\) et \(S = R \setminus P\text{,}\) montrez que l’anneau des quotients \(S^{-1}R\) possède un unique idéal maximal. Tout anneau possédant un unique idéal maximal est appelé un anneau local.
