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Algèbre abstraite Théorie et applications

Thomas W. Judson

Section 23.1 Automorphismes de corps

Notre première tâche est d’établir un lien entre la théorie des groupes et la théorie des corps en étudiant les automorphismes de corps.
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Démonstration.

Si \(\sigma\) et \(\tau\) sont des automorphismes de \(F\text{,}\) alors \(\sigma \tau\) et \(\sigma^{-1}\) le sont aussi. L’identité est certainement un automorphisme ; ainsi, l’ensemble de tous les automorphismes d’un corps \(F\) est bien un groupe.
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Démonstration.

Il suffit de montrer que l’ensemble des automorphismes de \(E\) qui fixent \(F\) élément par élément est un sous-groupe du groupe de tous les automorphismes de \(E\text{.}\) Soient \(\sigma\) et \(\tau\) deux automorphismes de \(E\) tels que \(\sigma( \alpha ) = \alpha\) et \(\tau( \alpha ) = \alpha\) pour tout \(\alpha \in F\text{.}\) Alors \(\sigma \tau( \alpha ) = \sigma( \alpha) = \alpha\) et \(\sigma^{-1}( \alpha ) = \alpha\text{.}\) Puisque l’identité fixe tout élément de \(E\text{,}\) l’ensemble des automorphismes de \(E\) qui laissent fixes les éléments de \(F\) est un sous-groupe du groupe entier des automorphismes de \(E\text{.}\)
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Soit \(E\) une extension de corps de \(F\text{.}\) Nous noterons le groupe complet des automorphismes de \(E\) par \(\aut(E)\text{.}\) Nous définissons le groupe de Galois de \(E\) sur \(F\) comme le groupe des automorphismes de \(E\) qui fixent \(F\) élément par élément ; c’est-à-dire,
\begin{equation*} G(E/F) = \{ \sigma \in \aut(E) : \sigma(\alpha) = \alpha \text{ pour tout } \alpha \in F \}\text{.} \end{equation*}
Si \(f(x)\) est un polynôme de \(F[x]\) et \(E\) est le corps de décomposition de \(f(x)\) sur \(F\text{,}\) alors nous définissons le groupe de Galois de \(f(x)\) comme étant \(G(E/F)\text{.}\)
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Exemple 23.1.3.

La conjugaison complexe, définie par \(\sigma : a + bi \mapsto a - bi\text{,}\) est un automorphisme des nombres complexes. Puisque
\begin{equation*} \sigma(a) = \sigma(a + 0i) = a - 0i = a\text{,} \end{equation*}
l’automorphisme défini par la conjugaison complexe doit être dans \(G( {\mathbb C} / {\mathbb R} )\text{.}\)
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Exemple 23.1.4.

Considérons les corps \({\mathbb Q} \subset {\mathbb Q}(\sqrt{5}\, ) \subset {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\text{.}\) Alors pour \(a, b \in {\mathbb Q}( \sqrt{5}\, )\text{,}\)
\begin{equation*} \sigma( a + b \sqrt{3}\, ) = a - b \sqrt{3} \end{equation*}
est un automorphisme de \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) laissant \({\mathbb Q}( \sqrt{5}\, )\) fixe. De même,
\begin{equation*} \tau( a + b \sqrt{5}\, ) = a - b \sqrt{5} \end{equation*}
est un automorphisme de \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) laissant \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\) fixe. L’automorphisme \(\mu = \sigma \tau\) déplace à la fois \(\sqrt{3}\) et \(\sqrt{5}\text{.}\) Il deviendra bientôt clair que \(\{ \identity, \sigma, \tau, \mu \}\) est le groupe de Galois de \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) sur \({\mathbb Q}\text{.}\) Le tableau suivant montre que ce groupe est isomorphe à \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)
\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} & \identity & \sigma & \tau & \mu \\ \hline \identity & \identity & \sigma & \tau & \mu \\ \sigma & \sigma & \identity & \mu & \tau \\ \tau & \tau & \mu & \identity & \sigma \\ \mu & \mu & \tau & \sigma & \identity \end{array} \end{equation*}
Nous pouvons aussi considérer le corps \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) comme espace vectoriel sur \({\mathbb Q}\) de base \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15}\, \}\text{.}\) Ce n’est pas une coïncidence que \(|G( {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) /{\mathbb Q})| = [{\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, ):{\mathbb Q})] = 4\text{.}\)
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Démonstration.

Soit
\begin{equation*} f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \end{equation*}
et supposons que \(\alpha \in E\) est un zéro de \(f(x)\text{.}\) Alors pour \(\sigma \in G(E/F)\text{,}\)
\begin{align*} 0 & = \sigma( 0 )\\ & = \sigma( f( \alpha ))\\ & = \sigma(a_0 + a_1\alpha + a_2 \alpha^2 + \cdots + a_n \alpha^n)\\ & = a_0 + a_1 \sigma(\alpha) + a_2 [\sigma(\alpha)]^2 + \cdots + a_n [\sigma(\alpha)]^n; \end{align*}
donc \(\sigma( \alpha )\) est aussi un zéro de \(f(x)\text{.}\)
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Soit \(E\) une extension algébrique d’un corps \(F\text{.}\) Deux éléments \(\alpha, \beta \in E\) sont conjugués sur \(F\) s’ils ont le même polynôme minimal. Par exemple, dans le corps \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )\text{,}\) les éléments \(\sqrt{2}\) et \(-\sqrt{2}\) sont conjugués sur \({\mathbb Q}\) puisqu’ils sont tous deux racines du polynôme irréductible \(x^2 - 2\text{.}\)
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Une réciproque de la dernière proposition existe. La preuve découle directement du Lemme 21.2.4.
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Démonstration.

Nous allons utiliser la récurrence mathématique sur \([E:F]\text{.}\) Si \([E:F] = 1\text{,}\) alors \(E = F\) et il n’y a rien à montrer. Si \([E:F] \gt 1\text{,}\) soit \(f(x) = p(x)q(x)\text{,}\) où \(p(x)\) est irréductible de degré \(d\text{.}\) On peut supposer que \(d \gt 1\) ; sinon, \(f(x)\) se décompose sur \(F\) et \([E:F] = 1\text{.}\) Soit \(\alpha\) une racine de \(p(x)\text{.}\) Si \(\phi: F(\alpha) \to E\) est un homomorphisme injectif quelconque, alors \(\phi( \alpha) = \beta\) est une racine de \(p(x)\text{,}\) et \(\phi: F(\alpha) \to F(\beta)\) est un automorphisme de corps. Puisque \(f(x)\) n’a pas de racines répétées, \(p(x)\) a exactement \(d\) racines \(\beta \in E\text{.}\) Par la Proposition 23.1.5, il y a exactement \(d\) isomorphismes \(\phi: F(\alpha) \to F(\beta_i)\) qui fixent \(F\text{,}\) un pour chaque racine \(\beta_1, \ldots, \beta_d\) de \(p(x)\) (voir la Figure 23.1.8).
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\begin{equation*} \begin{CD} E @>\psi>> E \\ @VVV @VVV\\ F(\alpha) @>\phi>> F(\beta) \\ @VVV @VVV\\ F @>\text{identité}>> F \end{CD} \end{equation*}
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Figure 23.1.8. Diagramme commutatif pour le Théorème 23.1.7
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Puisque \(E\) est un corps de décomposition de \(f(x)\) sur \(F\text{,}\) c’est aussi un corps de décomposition sur \(F(\alpha)\text{.}\) De même, \(E\) est un corps de décomposition de \(f(x)\) sur \(F(\beta)\text{.}\) Puisque \([E: F(\alpha)] = [E:F]/d\text{,}\) la récurrence montre que chacun des \(d\) isomorphismes \(\phi\) admet exactement \([E:F]/d\) prolongements, \(\psi : E \to E\text{,}\) et nous avons construit \([E:F]\) isomorphismes qui fixent \(F\text{.}\) Enfin, supposons que \(\sigma\) soit un automorphisme quelconque fixant \(F\text{.}\) Alors \(\sigma\) restreint à \(F(\alpha)\) est \(\phi\) pour un certain \(\phi: F(\alpha) \to F(\beta)\text{.}\)
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Démonstration.

Soit \(p\) la caractéristique de \(E\) et \(F\text{,}\) et supposons que les ordres de \(E\) et \(F\) sont respectivement \(p^m\) et \(p^n\text{.}\) Alors \(nk = m\text{.}\) On peut aussi supposer que \(E\) est le corps de décomposition de \(x^{p^m} - x\) sur un sous-corps d’ordre \(p\text{.}\) Donc \(E\) doit aussi être le corps de décomposition de \(x^{p^m} - x\) sur \(F\text{.}\) En appliquant le Théorème 23.1.7, on trouve que \(|G(E/F)| = k\text{.}\)
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Pour prouver que \(G(E/F)\) est cyclique, nous devons trouver un générateur pour \(G(E/F)\text{.}\) Soit \(\sigma : E \rightarrow E\) défini par \(\sigma(\alpha) = \alpha^{p^n}\text{.}\) Nous affirmons que \(\sigma\) est l’élément de \(G(E/F)\) que nous cherchons. Nous devons d’abord montrer que \(\sigma\) est dans \(\aut(E)\text{.}\) Si \(\alpha\) et \(\beta\) sont dans \(E\text{,}\)
\begin{equation*} \sigma(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta) \end{equation*}
par le Lemme 22.1.3. De plus, il est facile de montrer que \(\sigma(\alpha \beta) = \sigma( \alpha ) \sigma( \beta )\text{.}\) Puisque \(\sigma\) est un homomorphisme non nul de corps, il doit être injectif. Il doit aussi être surjectif, puisque \(E\) est un corps fini. Nous savons que \(\sigma\) doit être dans \(G(E/F)\text{,}\) puisque \(F\) est le corps de décomposition de \(x^{p^n} - x\) sur le corps de base d’ordre \(p\text{.}\) Cela signifie que \(\sigma\) laisse fixe tout élément de \(F\text{.}\) Enfin, nous devons montrer que l’ordre de \(\sigma\) est \(k\text{.}\) Par le Théorème 23.1.7, nous savons que
\begin{equation*} \sigma^k( \alpha ) = \alpha^{p^{nk}} = \alpha^{p^m} = \alpha \end{equation*}
est l’identité de \(G( E/F)\text{.}\) Cependant, \(\sigma^r\) ne peut pas être l’identité pour \(1 \leq r \lt k\) ; sinon, \(x^{p^{nr}} - x\) aurait \(p^m\) racines, ce qui est impossible.
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Exemple 23.1.10.

Nous pouvons maintenant confirmer que le groupe de Galois de \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) sur \({\mathbb Q}\) dans l’Exemple 23.1.4 est bien isomorphe à \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Certes le groupe \(H = \{ \identity, \sigma, \tau, \mu \}\) est un sous-groupe de \(G({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/{\mathbb Q})\) ; cependant, \(H\) doit être tout entier \(G({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/{\mathbb Q})\text{,}\) puisque
\begin{equation*} |H| = [{\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ):{\mathbb Q}] = |G({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/{\mathbb Q})| = 4\text{.} \end{equation*}
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Exemple 23.1.11.

Calculons le groupe de Galois de
\begin{equation*} f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \end{equation*}
sur \({\mathbb Q}\text{.}\) Nous savons que \(f(x)\) est irréductible par l’Exercice 17.5.20 dans Chapitre 17. De plus, puisque \((x -1)f(x) = x^5 - 1\text{,}\) nous pouvons utiliser le théorème de Moivre pour déterminer que les racines de \(f(x)\) sont \(\omega^i\text{,}\) pour \(i = 1, \ldots, 4\) avec
\begin{equation*} \omega = \cos(2 \pi / 5 ) + i \sin(2 \pi / 5 )\text{.} \end{equation*}
Ainsi, le corps de décomposition de \(f(x)\) doit être \({\mathbb Q}(\omega)\text{.}\) On peut définir des automorphismes \(\sigma_i\) de \({\mathbb Q}(\omega )\) par \(\sigma_i( \omega ) = \omega^i\) pour \(i = 1, \ldots, 4\text{.}\) Il est facile de vérifier que ce sont bien des automorphismes distincts de \(G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q} )\text{.}\) Puisque
\begin{equation*} [{\mathbb Q}( \omega) : {\mathbb Q}] = | G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q})| = 4\text{,} \end{equation*}
les \(\sigma_i\) doivent constituer tout \(G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q} )\text{.}\) Donc \(G({\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q})\cong {\mathbb Z}_4\) puisque \(\omega\) est un générateur du groupe de Galois.
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Sous-section 23.1.1 Extensions séparables

Beaucoup des résultats que nous venons de prouver dépendent du fait qu’un polynôme \(f(x)\) dans \(F[x]\) n’a pas de racines répétées dans son corps de décomposition. Il est évident que nous devons savoir exactement quand un polynôme se factorise en facteurs linéaires distincts dans son corps de décomposition. Soit \(E\) le corps de décomposition d’un polynôme \(f(x)\) dans \(F[x]\text{.}\) Supposons que \(f(x)\) se factorise sur \(E\) comme
\begin{equation*} f(x) = (x - \alpha_1)^{n_1} (x - \alpha_2)^{n_2} \cdots (x - \alpha_r)^{n_r} = \prod_{i = 1}^{r} (x - \alpha_i)^{n_i}\text{.} \end{equation*}
Nous définissons la multiplicité d’une racine \(\alpha_i\) de \(f(x)\) comme étant \(n_i\text{.}\) Une racine de multiplicité 1 est appelée une racine simple. Rappelons qu’un polynôme \(f(x) \in F[x]\) de degré \(n\) est séparable s’il a \(n\) racines distinctes dans son corps de décomposition \(E\text{.}\) De manière équivalente, \(f(x)\) est séparable s’il se factorise en facteurs linéaires distincts sur \(E[x]\text{.}\) Une extension \(E\) de \(F\) est une extension séparable de \(F\) si tout élément de \(E\) est racine d’un polynôme séparable de \(F[x]\text{.}\) Rappelons aussi que \(f(x)\) est séparable si et seulement si \(\gcd( f(x), f'(x)) = 1\) (Lemme 22.1.5).
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Démonstration.

Supposons d’abord que \(\chr F = 0\text{.}\) Puisque \(\deg f'(x) \lt \deg f(x)\) et \(f(x)\) est irréductible, la seule façon d’avoir \(\gcd( f(x), f'(x)) \neq 1\) est que \(f'(x)\) soit le polynôme nul ; mais cela est impossible dans un corps de caractéristique zéro. Si \(\chr F = p\text{,}\) alors \(f'(x)\) peut être le polynôme nul si chaque coefficient de \(f'(x)\) est un multiple de \(p\text{.}\) Cela ne peut se produire que si nous avons un polynôme de la forme \(f(x) = a_0 + a_1 x^p + a_2 x^{2p} + \cdots + a_n x^{np}\text{.}\)
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Certes, les extensions d’un corps \(F\) de la forme \(F(\alpha)\) sont parmi les plus faciles à étudier et à comprendre. Étant donné une extension de corps \(E\) de \(F\text{,}\) la question évidente à poser est de savoir quand il est possible de trouver un élément \(\alpha \in E\) tel que \(E = F( \alpha )\text{.}\) Dans ce cas, \(\alpha\) est appelé un élément primitif. Nous savons déjà que des éléments primitifs existent pour certaines extensions. Par exemple,
\begin{equation*} {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, ) \end{equation*}
et
\begin{equation*} {\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i ) = {\mathbb Q}( \sqrt[6]{5}\, i )\text{.} \end{equation*}
Le Corollaire 22.1.12 nous dit qu’il existe un élément primitif pour toute extension finie d’un corps fini. Le théorème suivant nous dit que nous pouvons souvent trouver un élément primitif.
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Démonstration.

Nous savons déjà qu’il n’y a pas de problème si \(F\) est un corps fini. Supposons que \(E\) soit une extension finie d’un corps infini. Nous allons prouver le résultat pour \(F(\alpha, \beta)\text{.}\) Le cas général s’ensuit facilement par récurrence mathématique. Soient \(f(x)\) et \(g(x)\) les polynômes minimaux respectifs de \(\alpha\) et \(\beta\text{.}\) Soit \(K\) le corps dans lequel \(f(x)\) et \(g(x)\) se décomposent tous les deux. Supposons que \(f(x)\) ait pour zéros \(\alpha = \alpha_1, \ldots, \alpha_n\) dans \(K\) et que \(g(x)\) ait pour zéros \(\beta = \beta_1, \ldots, \beta_m\) dans \(K\text{.}\) Tous ces zéros ont multiplicité \(1\text{,}\) puisque \(E\) est séparable sur \(F\text{.}\) Puisque \(F\) est infini, nous pouvons trouver un \(a\) dans \(F\) tel que
\begin{equation*} a \neq \frac{\alpha_i - \alpha}{\beta - \beta_j} \end{equation*}
pour tous \(i\) et \(j\) avec \(j \neq 1\text{.}\) Donc \(a( \beta - \beta_j ) \neq \alpha_i - \alpha\text{.}\) Posons \(\gamma = \alpha + a \beta\text{.}\) Alors
\begin{equation*} \gamma = \alpha + a \beta \neq \alpha_i + a \beta_j ; \end{equation*}
donc \(\gamma - a \beta_j \neq \alpha_i\) pour tous \(i, j\) avec \(j \neq 1\text{.}\) Définissons \(h(x) \in F( \gamma )[x]\) par \(h(x) = f( \gamma - ax)\text{.}\) Alors \(h( \beta ) = f( \alpha ) = 0\text{.}\) Cependant, \(h( \beta_j ) \neq 0\) pour \(j \neq 1\text{.}\) Donc \(h(x)\) et \(g(x)\) ont un seul facteur commun dans \(F( \gamma )[x]\) ; c’est-à-dire que le polynôme minimal de \(\beta\) sur \(F( \gamma )\) doit être linéaire, puisque \(\beta\) est le seul zéro commun à \(g(x)\) et \(h(x)\text{.}\) Donc \(\beta \in F( \gamma )\) et \(\alpha = \gamma - a \beta\) est dans \(F( \gamma )\text{.}\) Ainsi \(F( \alpha, \beta ) = F( \gamma )\text{.}\)
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