Nous considérerons d’abord l’existence de \(q(x)\) et \(r(x)\text{.}\) Si \(f(x)\) est le polynôme nul, alors
\begin{equation*}
0 = 0 \cdot g(x) + 0 ;
\end{equation*}
ainsi, \(q\) et \(r\) doivent également être le polynôme nul. Supposons maintenant que \(f(x)\) n’est pas le polynôme nul et que \(\deg f(x) = n\) et \(\deg g(x) = m\text{.}\) Si \(m \gt n\text{,}\) on peut poser \(q(x) = 0\) et \(r(x) = f(x)\text{.}\) On peut donc supposer que \(m \leq n\) et procéder par récurrence sur \(n\text{.}\) Si
\begin{align*}
f(x) & = a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0\\
g(x) & = b_m x^m + b_{m-1} x^{m - 1} + \cdots + b_1 x + b_0
\end{align*}
le polynôme
\begin{equation*}
f'(x) = f(x) - \frac{a_n}{b_m} x^{n - m} g(x)
\end{equation*}
est de degré strictement inférieur à \(n\) ou est le polynôme nul. Par hypothèse de récurrence, il existe des polynômes \(q'(x)\) et \(r(x)\) tels que
\begin{equation*}
f'(x) = q'(x) g(x) + r(x)\text{,}
\end{equation*}
où \(r(x) = 0\) ou le degré de \(r(x)\) est inférieur au degré de \(g(x)\text{.}\) Posons maintenant
\begin{equation*}
q(x) = q'(x) + \frac{a_n}{b_m} x^{n - m}\text{.}
\end{equation*}
Alors
\begin{equation*}
f(x) = g(x) q(x) + r(x)\text{,}
\end{equation*}
avec \(r(x)\) le polynôme nul ou \(\deg r(x) \lt \deg g(x)\text{.}\)
Pour montrer que \(q(x)\) et \(r(x)\) sont uniques, supposons qu’il existe deux autres polynômes \(q_1(x)\) et \(r_1(x)\) tels que \(f(x) = g(x) q_1(x) + r_1(x)\) avec \(\deg r_1(x) \lt \deg g(x)\) ou \(r_1(x) = 0\text{,}\) de sorte que
\begin{equation*}
f(x) = g(x) q(x) + r(x) = g(x) q_1(x) + r_1(x)\text{,}
\end{equation*}
et
\begin{equation*}
g(x) [q(x) - q_1(x) ] = r_1(x) - r(x)\text{.}
\end{equation*}
Si \(q(x) - q_1(x)\) n’est pas le polynôme nul, alors
\begin{equation*}
\deg( g(x) [q(x) - q_1(x) ] )= \deg( r_1(x) - r(x) ) \geq \deg g(x)\text{.}
\end{equation*}
Cependant, les degrés de \(r(x)\) et de \(r_1(x)\) sont tous deux strictement inférieurs au degré de \(g(x)\) ; donc \(r(x) = r_1(x)\) et \(q(x) = q_1(x)\text{.}\)
