AATA Exercices

Exercices 14.5 Exercices

1.

Les exemples 14.1.1–14.1.5 de la première section décrivent chacun une action d’un groupe \(G\) sur un ensemble \(X\text{,}\) qui donnera lieu à la relation d’équivalence définie par la \(G\)-équivalence. Pour chaque exemple, calculez les classes d’équivalence de la relation d’équivalence, les classes de \(G\)-équivalence.

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Indication.

Exemple 14.1.1 : \(0\text{,}\) \({\mathbb R}^2 \setminus \{ 0 \}\text{.}\) Exemple 14.1.2 : \(X = \{ 1, 2, 3, 4 \}\text{.}\)

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2.

Calculez tous les \(X_g\) et tous les \(G_x\) pour chacun des groupes de permutations suivants.

\(X= \{1, 2, 3\}\text{,}\) \(G=S_3=\{(1), (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\)
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\(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}\) \(G = \{(1), (1 \, 2), (3 \, 4 \, 5), (3 \, 5 \, 4), (1 \, 2)(3 \, 4 \, 5), (1 \, 2)(3 \, 5 \, 4) \}\)
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Indication.

(a) \(X_{(1)} = \{1, 2, 3 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 2)} = \{3 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 3)} = \{ 2 \}\text{,}\) \(X_{(2 \, 3)} = \{1 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 2 \, 3)} = X_{(1 \, 3 \, 2)} = \emptyset\text{.}\) \(G_1 = \{ (1), (2 \, 3) \}\text{,}\) \(G_2 = \{(1), (1 \, 3) \}\text{,}\) \(G_3 = \{ (1), (1 \, 2)\}\text{.}\)

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3.

Calculez les classes de \(G\)-équivalence de \(X\) pour chacun des \(G\)-ensembles de Exercice 14.5.2. Pour chaque \(x \in X\text{,}\) vérifiez que \(|G|=|{\mathcal O}_x| \cdot |G_x|\text{.}\)

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Indication.

(a) \({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 = \{ 1, 2, 3\}\text{.}\)

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4.

Soit \(G\) le groupe additif des nombres réels. Soit l’action de \(\theta \in G\) sur le plan réel \({\mathbb R}^2\) donnée par la rotation du plan dans le sens antihoraire autour de l’origine d’un angle de \(\theta\) radians. Soit \(P\) un point du plan autre que l’origine.

Montrez que \({\mathbb R}^2\) est un \(G\)-ensemble.
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Décrivez géométriquement l’orbite contenant \(P\text{.}\)
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Trouvez le groupe \(G_P\text{.}\)
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5.

Soit \(G = A_4\) et supposons que \(G\) agit sur lui-même par conjugaison ; c’est-à-dire que \((g,h)~\mapsto~ghg^{-1}\text{.}\)

Déterminez les classes de conjugaison (orbites) de chaque élément de \(G\text{.}\)
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Déterminez tous les sous-groupes d’isotropie pour chaque élément de \(G\text{.}\)
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6.

Trouvez les classes de conjugaison et l’équation aux classes pour chacun des groupes suivants.

\(\displaystyle S_4\)
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\(\displaystyle D_5\)
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\(\displaystyle {\mathbb Z}_9\)
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\(\displaystyle Q_8\)
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Indication.

Les classes de conjugaison de \(S_4\) sont

\begin{gather*} {\mathcal O}_{(1)} = \{ (1) \},\\ {\mathcal O}_{(12)} = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (1 \, 4), (2 \, 3), (2 \, 4), (3 \, 4) \},\\ {\mathcal O}_{(1 \, 2)(3 \, 4)} = \{ (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \},\\ {\mathcal O}_{(123)} = \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 4), (1 \, 4 \, 2), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 4 \, 3), (2 \, 3 \, 4), (2 \, 4 \, 3) \},\\ {\mathcal O}_{(1234)} = \{ (1 \, 2 \, 3 \, 4), (1 \, 2 \, 4 \, 3), (1 \, 3 \, 2 \, 4), (1 \, 3 \, 4 \, 2), (1 \, 4 \, 2 \, 3), (1 \, 4 \, 3 \, 2) \}\text{.} \end{gather*}

L’équation aux classes est \(1 + 3 + 6 + 6 + 8 = 24\text{.}\)

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7.

Écrivez l’équation aux classes pour \(S_5\) et pour \(A_5\text{.}\)

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8.

Si un carré reste fixe dans le plan, de combien de façons différentes peut-on colorier les coins du carré si trois couleurs sont utilisées ?

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Indication.

\((3^4 + 3^1 + 3^2 + 3^1 + 3^2 + 3^2 + 3^3 + 3^3)/8 = 21\text{.}\)

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9.

De combien de façons peut-on colorier les sommets d’un triangle équilatéral en utilisant trois couleurs différentes ?

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10.

Trouvez le nombre de façons de construire un dé à six faces si chaque face est marquée différemment avec \(1, \ldots, 6\) points.

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11.

À une rotation près, de combien de façons peut-on colorier les faces d’un cube avec trois couleurs différentes ?

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Indication.

Le groupe des mouvements rigides du cube peut être décrit par les permutations admissibles des six faces et est isomorphe à \(S_4\text{.}\) Il y a le cycle identité, 6 permutations de la forme \((abcd)\) correspondant aux quarts de tour, 3 permutations de la forme \((ab)(cd)\) correspondant aux demi-tours, 6 permutations de la forme \((ab)(cd)(ef)\) correspondant aux rotations du cube autour des centres d’arêtes opposées, et 8 permutations de la forme \((abc)(def)\) correspondant aux rotations du cube autour de sommets opposés.

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12.

Considérons \(12\) fils droits de longueur égale dont les extrémités sont soudées ensemble pour former les arêtes d’un cube. Chaque arête peut être en fil d’argent ou en fil de cuivre. De combien de façons différentes peut-on construire le cube ?

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13.

Supposons que nous coloriions chacun des huit coins d’un cube. En utilisant trois couleurs différentes, de combien de façons peut-on colorier les coins à une rotation du cube près ?

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14.

Chacune des faces d’un tétraèdre régulier peut être peinte en rouge ou en blanc. À une rotation près, de combien de façons différentes peut-on peindre le tétraèdre ?

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15.

Supposons que les sommets d’un hexagone régulier doivent être coloriés en rouge ou en blanc. De combien de façons cela peut-il être fait à une symétrie de l’hexagone près ?

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Indication.

\((1 \cdot 2^6 + 3 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^1)/12 = 13\text{.}\)

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16.

Une molécule de benzène est composée de six atomes de carbone et six atomes d’hydrogène, reliés en une forme hexagonale comme dans Figure 14.5.1.

Combien de composés différents peuvent être formés en remplaçant un ou plusieurs atomes d’hydrogène par un atome de chlore ?
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Trouvez le nombre de composés chimiques différents pouvant être formés en remplaçant trois des six atomes d’hydrogène d’un cycle benzénique par un radical \(CH_3\text{.}\)
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Un hexagone avec des atomes d’hydrogène, H, attachés à chaque sommet. — Figure 14.5.1. Un cycle benzénique
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17.

Combien de classes d’équivalence de fonctions de commutation y a-t-il si les variables d’entrée \(x_1\text{,}\) \(x_2\) et \(x_3\) peuvent être permutées par n’importe quelle permutation de \(S_3\) ? Et si les variables d’entrée \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) \(x_3\) et \(x_4\) peuvent être permutées par n’importe quelle permutation de \(S_4\) ?

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Indication.

\((1 \cdot 2^8 + 3 \cdot 2^6 + 2 \cdot 2^4)/6 = 80\text{.}\)

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18.

Combien de classes d’équivalence de fonctions de commutation y a-t-il si les variables d’entrée \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) \(x_3\) et \(x_4\) peuvent être permutées par n’importe quelle permutation du sous-groupe de \(S_4\) engendré par la permutation \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) ?

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19.

Une cravate rayée comporte \(12\) bandes de couleur. Chaque bande peut être coloriée avec l’une des quatre couleurs possibles. Combien de cravates aux couleurs différentes peut-on obtenir ?

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20.

Un groupe agit fidèlement sur un \(G\)-ensemble \(X\) si l’identité est le seul élément de \(G\) qui laisse fixe tout élément de \(X\text{.}\) Montrez que \(G\) agit fidèlement sur \(X\) si et seulement si deux éléments distincts de \(G\) n’ont jamais la même action sur chaque élément de \(X\text{.}\)

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21.

Soit \(p\) premier. Montrez que le nombre de groupes abéliens distincts d’ordre \(p^n\) (à isomorphisme près) est égal au nombre de classes de conjugaison dans \(S_n\text{.}\)

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22.

Soit \(a \in G\text{.}\) Montrez que pour tout \(g \in G\text{,}\) \(gC(a) g^{-1} = C(gag^{-1})\text{.}\)

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Indication.

Utilisez le fait que \(x \in g C(a) g^{-1}\) si et seulement si \(g^{-1}x g \in C(a)\text{.}\)

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23.

Soit \(|G| = p^n\) un groupe non abélien pour \(p\) premier. Démontrez que \(|Z(G)| \lt p^{n - 1}\text{.}\)

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24.

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(p^n\) où \(p\) est premier et \(X\) un \(G\)-ensemble fini. Si \(X_G = \{ x \in X : gx = x \text{ pour tout }g \in G \}\) est l’ensemble des éléments de \(X\) fixés par l’action de groupe, alors démontrez que \(|X| \equiv |X_G| \pmod{ p}\text{.}\)

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25.

Si \(G\) est un groupe d’ordre \(p^n\text{,}\) où \(p\) est premier et \(n \geq 2\text{,}\) montrez que \(G\) doit avoir un sous-groupe propre d’ordre \(p\text{.}\) Si \(n \geq 3\text{,}\) est-il vrai que \(G\) aura un sous-groupe propre d’ordre \(p^2\) ?

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