Chapitre 21 Corps
Il est naturel de se demander si un corps \(F\) est ou non contenu dans un corps plus grand. Nous pensons aux nombres rationnels, qui résident à l’intérieur des nombres réels, lesquels à leur tour vivent à l’intérieur des nombres complexes. Nous pouvons aussi étudier les corps situés entre \({\mathbb Q}\) et \({\mathbb R}\) et nous interroger sur la nature de ces corps.
Plus précisément, si l’on nous donne un corps \(F\) et un polynôme \(p(x) \in F[x]\text{,}\) nous pouvons nous demander si l’on peut trouver un corps \(E\) contenant \(F\) tel que \(p(x)\) se factorise en facteurs linéaires sur \(E[x]\text{.}\) Par exemple, si nous considérons le polynôme
\begin{equation*}
p(x) = x^4 -5 x^2 + 6
\end{equation*}
dans \({\mathbb Q}[x]\text{,}\) alors \(p(x)\) se factorise comme \((x^2 - 2)(x^2 - 3)\text{.}\) Cependant, chacun de ces facteurs est irréductible dans \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Si nous souhaitons trouver un zéro de \(p(x)\text{,}\) nous devons aller dans un corps plus grand. Certes le corps des nombres réels convient, puisque
\begin{equation*}
p(x) = (x - \sqrt{2} ) (x + \sqrt{2} )( x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})\text{.}
\end{equation*}
Il est possible de trouver un corps plus petit dans lequel \(p(x)\) a un zéro, à savoir
\begin{equation*}
{\mathbb Q }( \sqrt{2} ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}
\end{equation*}
Nous souhaitons pouvoir calculer et étudier de tels corps pour des polynômes arbitraires sur un corps \(F\text{.}\)
