1.
Prouver ou réfuter chacun des énoncés suivants.
-
Tous les générateurs de \({\mathbb Z}_{60}\) sont premiers.
-
\(U(8)\) est cyclique.
-
\({\mathbb Q}\) est cyclique.
-
Un groupe avec un nombre fini de sous-groupes est fini.
Exercices 4.5 Exercices
2.
Trouver l’ordre de chacun des éléments suivants.
-
\(\displaystyle 5 \in {\mathbb Z}_{12}\)
-
\(\displaystyle \sqrt{3} \in {\mathbb R}\)
-
\(\displaystyle \sqrt{3} \in {\mathbb R}^\ast\)
-
\(\displaystyle -i \in {\mathbb C}^\ast\)
-
\(\displaystyle 72 \in {\mathbb Z}_{240}\)
-
\(\displaystyle 312 \in {\mathbb Z}_{471}\)
3.
Lister tous les éléments de chacun des sous-groupes suivants.
-
Tous les sous-groupes de \({\mathbb Z}_{12}\)
-
Tous les sous-groupes de \({\mathbb Z}_{60}\)
-
Tous les sous-groupes de \({\mathbb Z}_{13}\)
-
Tous les sous-groupes de \({\mathbb Z}_{48}\)
-
Le sous-groupe engendré par 3 dans \(U(20)\)
-
Le sous-groupe engendré par 5 dans \(U(18)\)
Indication.
(a) \(7 {\mathbb Z} = \{ \ldots, -7, 0, 7, 14, \ldots \}\) ; (b) \(\{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \}\) ; (c) \(\{ 0 \}\text{,}\) \(\{ 0, 6 \}\text{,}\) \(\{ 0, 4, 8 \}\text{,}\) \(\{ 0, 3, 6, 9 \}\text{,}\) \(\{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \}\) ; (g) \(\{ 1, 3, 7, 9 \}\) ; (j) \(\{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\)
4.
Trouver les sous-groupes de \(GL_2( {\mathbb R })\) engendrés par chacune des matrices suivantes.
-
\(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
-
\(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1/3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\)
-
\(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
-
\(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
-
\(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
-
\(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} \sqrt{3}/ 2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}\)
Indication.
(a)
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
(c)
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}, \\
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & -1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
5.
Trouver l’ordre de tout élément dans \({\mathbb Z}_{18}\text{.}\)
6.
Trouver l’ordre de tout élément dans le groupe de symétrie du carré, \(D_4\text{.}\)
7.
Quels sont tous les sous-groupes cycliques du groupe des quaternions, \(Q_8\) ?
8.
Lister tous les sous-groupes cycliques de \(U(30)\text{.}\)
9.
Lister tous les générateurs de chaque sous-groupe d’ordre 8 dans \({\mathbb Z}_{32}\text{.}\)
10.
Trouver tous les éléments d’ordre fini dans chacun des groupes suivants. Ici le symbole « \(\ast\) » indique l’ensemble privé de zéro.
-
\(\displaystyle {\mathbb Z}\)
-
\(\displaystyle {\mathbb Q}^\ast\)
-
\(\displaystyle {\mathbb R}^\ast\)
11.
12.
Trouver un groupe cyclique avec exactement un seul générateur. Peut-on trouver des groupes cycliques avec exactement deux générateurs ? Quatre générateurs ? Et avec \(n\) générateurs ?
13.
Pour \(n \leq 20\text{,}\) quels groupes \(U(n)\) sont cycliques ? Formuler une conjecture sur ce qui est vrai en général. Pouvez-vous prouver votre conjecture ?
14.
Soient
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\qquad \text{et} \qquad
B =
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
des éléments de \(GL_2( {\mathbb R} )\text{.}\) Montrer que \(A\) et \(B\) ont des ordres finis mais que \(AB\) n’en a pas.
15.
Calculer chacune des expressions suivantes.
-
\(\displaystyle (3-2i)+ (5i-6)\)
-
\(\displaystyle (4-5i)-\overline{(4i -4)}\)
-
\(\displaystyle (5-4i)(7+2i)\)
-
\(\displaystyle (9-i) \overline{(9-i)}\)
-
\(\displaystyle i^{45}\)
-
\(\displaystyle (1+i)+\overline{(1+i)}\)
16.
Convertir les nombres complexes suivants sous la forme \(a + bi\text{.}\)
-
\(\displaystyle 2 \cis(\pi / 6 )\)
-
\(\displaystyle 5 \cis(9\pi/4)\)
-
\(\displaystyle 3 \cis(\pi)\)
-
\(\displaystyle \cis(7\pi/4) /2\)
17.
Convertir les nombres complexes suivants en représentation polaire.
-
\(\displaystyle 1-i\)
-
\(\displaystyle -5\)
-
\(\displaystyle 2+2i\)
-
\(\displaystyle \sqrt{3} + i\)
-
\(\displaystyle -3i\)
-
\(\displaystyle 2i + 2 \sqrt{3}\)
18.
Calculer chacune des expressions suivantes.
-
\(\displaystyle (1+i)^{-1}\)
-
\(\displaystyle (1 - i)^{6}\)
-
\(\displaystyle (\sqrt{3} + i)^{5}\)
-
\(\displaystyle (-i)^{10}\)
-
\(\displaystyle ((1-i)/2)^{4}\)
-
\(\displaystyle (-\sqrt{2} - \sqrt{2}\, i)^{12}\)
-
\(\displaystyle (-2 + 2i)^{-5}\)
19.
Prouver chacun des énoncés suivants.
-
\(\displaystyle |z| = | \overline{z}|\)
-
\(\displaystyle z \overline{z} = |z|^2\)
-
\(\displaystyle z^{-1} = \overline{z} / |z|^2\)
-
\(\displaystyle |z +w| \leq |z| + |w|\)
-
\(\displaystyle |z - w| \geq | |z| - |w||\)
-
\(\displaystyle |z w| = |z| |w|\)
20.
Lister et représenter graphiquement les racines 6-ièmes de l’unité. Quels sont les générateurs de ce groupe ? Quelles sont les racines primitives 6-ièmes de l’unité ?
21.
Lister et représenter graphiquement les racines 5-ièmes de l’unité. Quels sont les générateurs de ce groupe ? Quelles sont les racines primitives 5-ièmes de l’unité ?
22.
Calculer chacune des expressions suivantes.
-
\(\displaystyle 292^{3171} \pmod{ 582}\)
-
\(\displaystyle 2557^{ 341} \pmod{ 5681}\)
-
\(\displaystyle 2071^{ 9521} \pmod{ 4724}\)
-
\(\displaystyle 971^{ 321} \pmod{ 765}\)
23.
Soient \(a, b \in G\text{.}\) Prouver les énoncés suivants.
24.
Soient \(p\) et \(q\) deux nombres premiers distincts. Combien de générateurs \({\mathbb Z}_{pq}\) possède-t-il ?
25.
Soient \(p\) un nombre premier et \(r\) un entier positif. Combien de générateurs \({\mathbb Z}_{p^r}\) possède-t-il ?
26.
27.
Si \(g\) et \(h\) ont respectivement les ordres \(15\) et \(16\) dans un groupe \(G\text{,}\) quel est l’ordre de \(\langle g \rangle \cap \langle h \rangle \) ?
28.
Soit \(a\) un élément d’un groupe \(G\text{.}\) Quel est un générateur du sous-groupe \(\langle a^m \rangle \cap \langle a^n \rangle\) ?
29.
30.
Supposons que \(G\) est un groupe et soient \(a\text{,}\) \(b \in G\text{.}\) Prouver que si \(|a| = m\) et \(|b| = n\) avec \(\gcd(m,n) = 1\text{,}\) alors \(\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{ e \}\text{.}\)
31.
Soit \(G\) un groupe abélien. Montrer que les éléments d’ordre fini dans \(G\) forment un sous-groupe. Ce sous-groupe est appelé le sous-groupe de torsion de \(G\text{.}\)
32.
Soit \(G\) un groupe cyclique fini d’ordre \(n\) engendré par \(x\text{.}\) Montrer que si \(y = x^k\) où \(\gcd(k,n) = 1\text{,}\) alors \(y\) est nécessairement un générateur de \(G\text{.}\)
33.
Si \(G\) est un groupe abélien contenant une paire de sous-groupes cycliques d’ordre \(2\text{,}\) montrer que \(G\) doit contenir un sous-groupe d’ordre \(4\text{.}\) Ce sous-groupe doit-il être cyclique ?
34.
Soit \(G\) un groupe abélien d’ordre \(pq\) où \(\gcd(p,q) = 1\text{.}\) Si \(G\) contient des éléments \(a\) et \(b\) d’ordres respectifs \(p\) et \(q\text{,}\) montrer que \(G\) est cyclique.
35.
Prouver que les sous-groupes de \(\mathbb Z\) sont exactement \(n{\mathbb Z}\) pour \(n = 0, 1, 2, \ldots\text{.}\)
36.
Prouver que les générateurs de \({\mathbb Z}_n\) sont les entiers \(r\) tels que \(1 \leq r \lt n\) et \(\gcd(r,n) = 1\text{.}\)
37.
Prouver que si \(G\) n’a pas de sous-groupe propre non trivial, alors \(G\) est un groupe cyclique.
38.
Prouver que l’ordre d’un élément dans un groupe cyclique \(G\) doit diviser l’ordre du groupe.
39.
Prouver que si \(G\) est un groupe cyclique d’ordre \(m\) et \(d \mid m\text{,}\) alors \(G\) doit avoir un sous-groupe d’ordre \(d\text{.}\)
40.
41.
Si \(z = r( \cos \theta + i \sin \theta)\) et \(w = s(\cos \phi + i \sin \phi)\) sont deux nombres complexes non nuls, montrer que
\begin{equation*}
zw = rs[ \cos( \theta + \phi) + i \sin( \theta + \phi)]\text{.}
\end{equation*}
42.
Prouver que le groupe cercle est un sous-groupe de \({\mathbb C}^*\text{.}\)
43.
Prouver que les racines \(n\)-ièmes de l’unité forment un sous-groupe cyclique de \({\mathbb T}\) d’ordre \(n\text{.}\)
44.
Soit \(\alpha \in \mathbb T\text{.}\) Prouver que \(\alpha^m =1\) et \(\alpha^n = 1\) si et seulement si \(\alpha^d = 1\) pour \(d = \gcd(m,n)\text{.}\)
45.
Soit \(z \in {\mathbb C}^\ast\text{.}\) Si \(|z| \neq 1\text{,}\) prouver que l’ordre de \(z\) est infini.
46.
Soit \(z =\cos \theta + i \sin \theta\) dans \({\mathbb T}\) où \(\theta \in {\mathbb Q}\text{.}\) Prouver que l’ordre de \(z\) est infini.
