Théorème 15.1.1. Cauchy.
Soit \(G\) un groupe fini et \(p\) un nombre premier tel que \(p\) divise l’ordre de \(G\text{.}\) Alors \(G\) contient un sous-groupe d’ordre \(p\text{.}\)
Section 15.1 Les théorèmes de Sylow
Nous utiliserons ce que nous avons appris sur les actions de groupe pour démontrer les théorèmes de Sylow. Rappelons un instant ce que signifie le fait que \(G\) agit sur lui-même par conjugaison et comment les classes de conjugaison sont distribuées dans le groupe selon l’équation des classes, discutée dans Chapitre 14. Un groupe \(G\) agit sur lui-même par conjugaison via l’application \((g,x) \mapsto gxg^{-1}\text{.}\) Soient \(x_1, \ldots,
x_k\) des représentants de chacune des classes de conjugaison distinctes de \(G\) qui contiennent plus d’un élément. Alors l’équation des classes peut s’écrire
\begin{equation*}
|G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{,}
\end{equation*}
où \(Z(G) = \{g \in G : gx = xg \text{ pour tout } x \in G\}\) est le centre de \(G\) et \(C(x_i) = \{ g \in G : g x_i = x_i g \}\) est le sous-groupe centralisateur de \(x_i\text{.}\)
Nous commençons notre étude des théorèmes de Sylow en examinant les sous-groupes d’ordre \(p\text{,}\) où \(p\) est premier. Un groupe \(G\) est un \(p\)-groupe si tout élément de \(G\) a pour ordre une puissance de \(p\text{,}\) où \(p\) est un nombre premier. Un sous-groupe d’un groupe \(G\) est un \(p\)-sous-groupe s’il est un \(p\)-groupe.
Démonstration.
Nous allons utiliser la récurrence sur l’ordre de \(G\text{.}\) Si \(|G|=p\text{,}\) alors \(G\) lui-même est le sous-groupe cherché. Nous supposons maintenant que tout groupe d’ordre \(k\text{,}\) où \(p \leq k \lt n\) et \(p\) divise \(k\text{,}\) possède un élément d’ordre \(p\text{.}\) Supposons que \(|G|= n\) et \(p \mid n\) et considérons l’équation des classes de \(G\) :
\begin{equation*}
|G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{.}
\end{equation*}
Nous avons deux cas.
Cas 1.
Supposons que l’ordre de l’un des sous-groupes centralisateurs, \(C(x_i)\text{,}\) est divisible par \(p\) pour un certain \(i\text{,}\) \(i = 1, \ldots, k\text{.}\) Dans ce cas, d’après notre hypothèse de récurrence, nous avons terminé. Comme \(C(x_i)\) est un sous-groupe propre de \(G\) et \(p\) divise \(|C(x_i)|\text{,}\) \(C(x_i)\) doit contenir un élément d’ordre \(p\text{.}\) Par conséquent, \(G\) doit contenir un élément d’ordre \(p\text{.}\)
Cas 2.
Supposons que l’ordre d’aucun sous-groupe centralisateur n’est divisible par \(p\text{.}\) Alors \(p\) divise \([G:C(x_i)]\text{,}\) l’ordre de chaque classe de conjugaison dans l’équation des classes ; donc \(p\) doit diviser le centre de \(G\text{,}\) \(Z(G)\text{.}\) Comme \(Z(G)\) est abélien, il doit posséder un sous-groupe d’ordre \(p\) d’après le Théorème fondamental des groupes abéliens finis. Par conséquent, le centre de \(G\) contient un élément d’ordre \(p\text{.}\)
Corollaire 15.1.2.
Soit \(G\) un groupe fini. Alors \(G\) est un \(p\)-groupe si et seulement si \(|G| = p^n\text{.}\)
Exemple 15.1.3.
Considérons le groupe \(A_5\text{.}\) Nous savons que \(|A_5| = 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\text{.}\) D’après le Théorème de Cauchy, nous sommes assurés que \(A_5\) possède des sous-groupes d’ordres \(2\text{,}\) \(3\) et \(5\text{.}\) Les théorèmes de Sylow nous donneront encore plus d’informations sur les sous-groupes possibles de \(A_5\text{.}\)
Nous sommes maintenant prêts à énoncer et démontrer le premier des théorèmes de Sylow. La démonstration est très semblable à celle du Théorème de Cauchy.
Théorème 15.1.4. Premier théorème de Sylow.
Soit \(G\) un groupe fini et \(p\) un nombre premier tel que \(p^r\) divise \(|G|\text{.}\) Alors \(G\) contient un sous-groupe d’ordre \(p^r\text{.}\)
Démonstration.
Nous raisonnons à nouveau par récurrence sur l’ordre de \(G\text{.}\) Si \(|G| = p\text{,}\) nous avons terminé. Supposons maintenant que l’ordre de \(G\) est \(n\) avec \(n \gt p\) et que le théorème est vrai pour tous les groupes d’ordre inférieur à \(n\text{,}\) où \(p\) divise \(n\text{.}\) Nous allons à nouveau appliquer l’équation des classes :
\begin{equation*}
|G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{.}
\end{equation*}
Supposons d’abord que \(p\) ne divise pas \([G:C(x_i)]\) pour un certain \(i\text{.}\) Alors \(p^r \mid |C(x_i)|\text{,}\) car \(p^r\) divise \(|G| = |C(x_i)| \cdot [G:C(x_i)]\text{.}\) Nous pouvons maintenant appliquer l’hypothèse de récurrence à \(C(x_i)\text{.}\)
Ainsi, nous pouvons supposer que \(p\) divise \([G:C(x_i)]\) pour tout \(i\text{.}\) Comme \(p\) divise \(|G|\text{,}\) l’équation des classes dit que \(p\) doit diviser \(|Z(G)|\) ; donc, d’après le Théorème de Cauchy, \(Z(G)\) possède un élément d’ordre \(p\text{,}\) disons \(g\text{.}\) Soit \(N\) le groupe engendré par \(g\text{.}\) Il est clair que \(N\) est un sous-groupe normal de \(Z(G)\) car \(Z(G)\) est abélien ; donc \(N\) est normal dans \(G\) car tout élément de \(Z(G)\) commute avec tout élément de \(G\text{.}\) Considérons maintenant le groupe quotient \(G/N\) d’ordre \(|G|/p\text{.}\) Par l’hypothèse de récurrence, \(G/N\) contient un sous-groupe \(H\) d’ordre \(p^{r- 1}\text{.}\) L’image réciproque de \(H\) par l’homomorphisme canonique \(\phi : G \rightarrow G/N\) est un sous-groupe d’ordre \(p^r\) dans \(G\text{.}\)
Un \(p\)-sous-groupe de Sylow \(P\) d’un groupe \(G\) est un \(p\)-sous-groupe maximal de \(G\text{.}\) Pour démontrer les deux autres théorèmes de Sylow, nous devons considérer des sous-groupes conjugués par opposition aux éléments conjugués dans un groupe. Pour un groupe \(G\text{,}\) soit \({\mathcal S}\) la collection de tous les sous-groupes de \(G\text{.}\) Pour tout sous-groupe \(H\text{,}\) \({\mathcal S}\) est un \(H\)-ensemble, où \(H\) agit sur \({\mathcal S}\) par conjugaison. C’est-à-dire que nous avons une action
\begin{equation*}
H \times {\mathcal S} \rightarrow {\mathcal S}
\end{equation*}
définie par
\begin{equation*}
h \cdot K \mapsto hKh^{-1}
\end{equation*}
pour \(K\) dans \({\mathcal S}\text{.}\)
L’ensemble
\begin{equation*}
N(H) = \{ g \in G : g H g^{-1} = H\}
\end{equation*}
est un sous-groupe de \(G\) appelé le normalisateur de \(H\) dans \(G\text{.}\) Remarquons que \(H\) est un sous-groupe normal de \(N(H)\text{.}\) En fait, \(N(H)\) est le plus grand sous-groupe de \(G\) dans lequel \(H\) est normal.
Lemme 15.1.5.
Soit \(P\) un \(p\)-sous-groupe de Sylow d’un groupe fini \(G\) et soit \(x\) un élément dont l’ordre est une puissance de \(p\text{.}\) Si \(x^{-1} P x = P\text{,}\) alors \(x \in P\text{.}\)
Démonstration.
Il est clair que \(x \in N(P)\text{,}\) et le sous-groupe cyclique, \(\langle xP \rangle \subset N(P)/P\text{,}\) a pour ordre une puissance de \(p\text{.}\) D’après le Théorème de correspondance, il existe un sous-groupe \(H\) de \(N(P)\) contenant \(P\) tel que \(H/P = \langle xP \rangle\text{.}\) Comme \(|H| = |P| \cdot |\langle xP \rangle|\text{,}\) l’ordre de \(H\) doit être une puissance de \(p\text{.}\) Or, \(P\) est un \(p\)-sous-groupe de Sylow contenu dans \(H\text{.}\) Comme l’ordre de \(P\) est la plus grande puissance de \(p\) divisant \(|G|\text{,}\) \(H=P\text{.}\) Par conséquent, \(H/P\) est le sous-groupe trivial et \(xP = P\text{,}\) c’est-à-dire \(x \in P\text{.}\)
Lemme 15.1.6.
Soient \(H\) et \(K\) des sous-groupes de \(G\text{.}\) Le nombre de \(H\)-conjugués distincts de \(K\) est \([H:N(K) \cap H]\text{.}\)
Démonstration.
Nous définissons une bijection entre les classes de conjugaison de \(K\) et les classes latérales droites de \(N(K) \cap H\) par \(h^{-1}Kh \mapsto (N(K) \cap H)h\text{.}\) Pour montrer que cette application est une bijection, soient \(h_1, h_2 \in H\) et supposons que \((N(K) \cap H)h_1 = (N(K) \cap H)h_2\text{.}\) Alors \(h_2 h_1^{-1} \in N(K)\text{.}\) Par conséquent, \(K = h_2 h_1^{-1} K h_1 h_2^{-1}\) ou \(h_1^{-1} K h_1 = h_2^{-1} K h_2\text{,}\) et l’application est une injection. Il est facile de voir que cette application est surjective ; nous avons donc une application bijective entre les \(H\)-conjugués de \(K\) et les classes latérales droites de \(N(K) \cap H\) dans \(H\text{.}\)
Théorème 15.1.7. Deuxième théorème de Sylow.
Soit \(G\) un groupe fini et \(p\) un nombre premier divisant \(|G|\text{.}\) Alors tous les \(p\)-sous-groupes de Sylow de \(G\) sont conjugués. C’est-à-dire que si \(P_1\) et \(P_2\) sont deux \(p\)-sous-groupes de Sylow, il existe un \(g \in G\) tel que \(g P_1 g^{-1} = P_2\text{.}\)
Démonstration.
Soit \(P\) un \(p\)-sous-groupe de Sylow de \(G\) et supposons que \(|G|=p^r m\) avec \(|P|=p^r\text{.}\) Soit
\begin{equation*}
{\mathcal S} = \{ P = P_1, P_2, \ldots, P_k \}
\end{equation*}
l’ensemble des conjugués distincts de \(P\) dans \(G\text{.}\) D’après le Lemme 15.1.6, \(k = [G: N(P)]\text{.}\) Remarquons que
\begin{equation*}
|G|= p^r m = |N(P)| \cdot [G: N(P)]= |N(P)| \cdot k\text{.}
\end{equation*}
Comme \(p^r\) divise \(|N(P)|\text{,}\) \(p\) ne peut pas diviser \(k\text{.}\)
Pour tout autre \(p\)-sous-groupe de Sylow \(Q\text{,}\) nous devons montrer que \(Q \in {\mathcal S}\text{.}\) Considérons les classes de \(Q\)-conjugaison de chaque \(P_i\text{.}\) Il est clair que ces classes de conjugaison partitionnent \({\mathcal S}\text{.}\) La taille de la partition contenant \(P_i\) est \([Q :N(P_i) \cap Q]\) d’après le Lemme 15.1.6, et le Théorème de Lagrange nous dit que \(|Q| = [Q :N(P_i) \cap Q] |N(P_i) \cap Q|\text{.}\) Ainsi, \([Q :N(P_i) \cap Q]\) doit être un diviseur de \(|Q|= p^r\text{.}\) Par conséquent, le nombre de conjugués dans chaque classe d’équivalence de la partition est une puissance de \(p\text{.}\) Cependant, comme \(p\) ne divise pas \(k\text{,}\) l’une de ces classes d’équivalence doit ne contenir qu’un seul \(p\)-sous-groupe de Sylow, disons \(P_j\text{.}\) Dans ce cas, \(x^{-1} P_j x = P_j\) pour tout \(x \in Q\text{.}\) D’après le Lemme 15.1.5, \(P_j = Q\text{.}\)
Théorème 15.1.8. Troisième théorème de Sylow.
Soit \(G\) un groupe fini et soit \(p\) un nombre premier divisant l’ordre de \(G\text{.}\) Alors le nombre de \(p\)-sous-groupes de Sylow est congru à \(1 \pmod{p}\) et divise \(|G|\text{.}\)
Démonstration.
Soit \(P\) un \(p\)-sous-groupe de Sylow agissant sur l’ensemble des \(p\)-sous-groupes de Sylow,
\begin{equation*}
{\mathcal S} = \{ P = P_1, P_2, \ldots, P_k \}\text{,}
\end{equation*}
par conjugaison. D’après la démonstration du Deuxième théorème de Sylow, le seul \(P\)-conjugué de \(P\) est lui-même et l’ordre des autres classes de \(P\)-conjugaison est une puissance de \(p\text{.}\) Chaque classe de \(P\)-conjugaison contribue une puissance positive de \(p\) à \(|{\mathcal S}|\text{,}\) sauf la classe d’équivalence \(\{ P \}\text{.}\) Comme \(|{\mathcal S}|\) est la somme de puissances positives de \(p\) et de \(1\text{,}\) \(|{\mathcal S}| \equiv 1 \pmod{p}\text{.}\)
Supposons maintenant que \(G\) agit sur \({\mathcal S}\) par conjugaison. Comme tous les \(p\)-sous-groupes de Sylow sont conjugués, il ne peut y avoir qu’une seule orbite sous cette action. Pour \(P \in {\mathcal S}\text{,}\)
\begin{equation*}
|{\mathcal S}| = |\text{orbite de }P| = [G : N(P)]
\end{equation*}
d’après le Lemme 15.1.6. Or \([G : N(P)]\) est un diviseur de \(|G|\) ; par conséquent, le nombre de \(p\)-sous-groupes de Sylow d’un groupe fini doit diviser l’ordre du groupe.
Sous-section 15.1.1 Note historique
Peter Ludvig Mejdell Sylow est né en 1832 à Christiania, en Norvège (aujourd’hui Oslo). Après avoir fréquenté l’Université de Christiania, Sylow enseigna au lycée. En 1862, il obtint un poste temporaire à l’Université de Christiania. Bien que son poste fût relativement bref, il influença des étudiants tels que Sophus Lie (1842–1899). Sylow eut une chance d’obtenir une chaire permanente en 1869, mais ne parvint pas à l’obtenir. En 1872, il publia un article de 10 pages présentant les théorèmes qui portent maintenant son nom. Plus tard, Lie et Sylow collaborèrent à une nouvelle édition des œuvres d’Abel. En 1898, une chaire à l’Université de Christiania fut finalement créée pour Sylow grâce aux efforts de son étudiant et collègue Lie. Sylow mourut en 1918.
