Exemple 10.1.1.
Soit \(G\) un groupe abélien. Tout sous-groupe \(H\) de \(G\) est un sous-groupe normal. Puisque \(gh = hg\) pour tout \(g \in G\) et \(h \in H\text{,}\) on aura toujours \(gH = Hg\text{.}\)
Section 10.1 Groupes quotients et sous-groupes normaux
Sous-section 10.1.1 Sous-groupes normaux
Un sous-groupe \(H\) d’un groupe \(G\) est normal dans \(G\) si \(gH = Hg\) pour tout \(g \in G\text{.}\) Autrement dit, un sous-groupe normal d’un groupe \(G\) est un sous-groupe pour lequel les classes à droite et les classes à gauche coïncident exactement.
Exemple 10.1.2.
Soit \(H\) le sous-groupe de \(S_3\) constitué des éléments \((1)\) et \((12)\text{.}\) Puisque
\begin{equation*}
(123) H = \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3) \} \quad \text{et} \quad H (1 \, 2 \, 3) = \{ (1 \, 2 \, 3), (2 \, 3) \}\text{,}
\end{equation*}
\(H\) ne peut pas être un sous-groupe normal de \(S_3\text{.}\) Cependant, le sous-groupe \(N\text{,}\) constitué des permutations \((1)\text{,}\) \((1 \, 2 \, 3)\) et \((1 \, 3 \, 2)\text{,}\) est normal puisque les classes de \(N\) sont
\begin{gather*}
N = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\\
(1 \, 2) N = N (1 \, 2) = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\text{.}
\end{gather*}
Le théorème suivant est fondamental pour notre compréhension des sous-groupes normaux.
Théorème 10.1.3.
Soit \(G\) un groupe et \(N\) un sous-groupe de \(G\text{.}\) Alors les assertions suivantes sont équivalentes.
Démonstration.
(1) \(\Rightarrow\) (2). Puisque \(N\) est normal dans \(G\text{,}\) \(gN = Ng\) pour tout \(g \in G\text{.}\) Donc, pour un \(g \in G\) et un \(n \in N\) donnés, il existe un \(n'\) dans \(N\) tel que \(g n = n' g\text{.}\) Par conséquent, \(gng^{-1} = n' \in N\text{,}\) soit \(gNg^{-1} \subset N\text{.}\)
(2) \(\Rightarrow\) (3). Soit \(g \in G\text{.}\) Puisque \(gNg^{-1} \subset N\text{,}\) il suffit de montrer que \(N \subset gNg^{-1}\text{.}\) Pour \(n \in N\text{,}\) \(g^{-1}ng=g^{-1}n(g^{-1})^{-1} \in N\text{.}\) Donc \(g^{-1}ng = n'\) pour un certain \(n' \in N\text{.}\) Par conséquent, \(n = g n' g^{-1}\) est dans \(g N g^{-1}\text{.}\)
(3) \(\Rightarrow\) (1). Supposons que \(gNg^{-1} = N\) pour tout \(g \in G\text{.}\) Alors pour tout \(n \in N\) il existe un \(n' \in N\) tel que \(gng^{-1} = n'\text{.}\) Par conséquent, \(gn = n' g\text{,}\) soit \(gN \subset Ng\text{.}\) De même, \(Ng \subset gN\text{.}\)
Sous-section 10.1.2 Groupes quotients
Si \(N\) est un sous-groupe normal d’un groupe \(G\text{,}\) alors les classes de \(N\) dans \(G\) forment un groupe \(G/N\) pour l’opération \((aN) (bN) = abN\text{.}\) Ce groupe est appelé le groupe quotient ou groupe facteur de \(G\) par \(N\text{.}\) Notre première tâche est de montrer que \(G/N\) est bien un groupe.
Théorème 10.1.4.
Soit \(N\) un sous-groupe normal d’un groupe \(G\text{.}\) Les classes de \(N\) dans \(G\) forment un groupe \(G/N\) d’ordre \([G:N]\text{.}\)
Démonstration.
L’opération de groupe sur \(G/N\) est \((a N ) (b N)= a b N\text{.}\) Il faut montrer que cette opération est bien définie ; c’est-à-dire que la multiplication des classes doit être indépendante du choix des représentants. Soient \(aN = bN\) et \(cN = dN\text{.}\) Nous devons montrer que
\begin{equation*}
(aN) (cN) = acN = bd N = (b N)(d N)\text{.}
\end{equation*}
Alors \(a = b n_1\) et \(c = d n_2\) pour certains \(n_1\) et \(n_2\) dans \(N\text{.}\) Donc,
\begin{align*}
acN & = b n_1 d n_2 N\\
& = b n_1 d N\\
& = b n_1 N d\\
& = b N d\\
& = b d N\text{.}
\end{align*}
Le reste du théorème est aisé : \(eN = N\) est l’élément neutre et \(g^{-1} N\) est l’inverse de \(gN\text{.}\) L’ordre de \(G/N\) est, bien sûr, le nombre de classes de \(N\) dans \(G\text{.}\)
Il est très important de se rappeler que les éléments d’un groupe quotient sont des ensembles d’éléments du groupe initial.
Exemple 10.1.5.
Considérons le sous-groupe normal de \(S_3\text{,}\) \(N = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\text{.}\) Les classes de \(N\) dans \(S_3\) sont \(N\) et \((12) N\text{.}\) Le groupe quotient \(S_3 / N\) admet la table de multiplication suivante.
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cc}
& N & (1 \, 2) N \\ \hline
N & N & (1 \, 2) N \\
(1 \, 2) N & (1 \, 2) N & N
\end{array}
\end{equation*}
Ce groupe est isomorphe à \({\mathbb Z}_2\text{.}\) Au premier abord, multiplier des classes semble à la fois compliqué et étrange ; cependant, remarquons que \(S_3 / N\) est un groupe plus petit. Le groupe quotient révèle une certaine quantité d’informations sur \(S_3\text{.}\) En fait, \(N = A_3\text{,}\) le groupe des permutations paires, et \((1 \, 2) N = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\) est l’ensemble des permutations impaires. L’information capturée dans \(G/N\) est la parité ; c’est-à-dire que le produit de deux permutations paires ou de deux permutations impaires est une permutation paire, tandis que le produit d’une permutation impaire par une permutation paire est une permutation impaire.
Exemple 10.1.6.
Considérons le sous-groupe normal \(3 {\mathbb Z}\) de \({\mathbb Z}\text{.}\) Les classes de \(3 {\mathbb Z}\) dans \({\mathbb Z}\) sont
\begin{align*}
0 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -3, 0, 3, 6, \ldots \}\\
1 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -2, 1, 4, 7, \ldots \}\\
2 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -1, 2, 5, 8, \ldots \}\text{.}
\end{align*}
Le groupe \({\mathbb Z}/ 3 {\mathbb Z}\) est donné par la table de Cayley ci-dessous.
\begin{equation*}
\begin{array}{c|ccc}
+ & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} \\\hline
0 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} \\
1 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} \\
2 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z}
\end{array}
\end{equation*}
En général, le sous-groupe \(n {\mathbb Z}\) de \({\mathbb Z}\) est normal. Les classes de \({\mathbb Z } / n {\mathbb Z}\) sont
\begin{gather*}
n {\mathbb Z}\\
1 + n {\mathbb Z}\\
2 + n {\mathbb Z}\\
\vdots\\
(n-1) + n {\mathbb Z}\text{.}
\end{gather*}
La somme des classes \(k + n{\mathbb Z}\) et \(l + n{\mathbb Z}\) est \(k+l + n{\mathbb Z}\text{.}\) Remarquons que nous avons écrit nos classes de façon additive, car l’opération de groupe est l’addition des entiers.
Exemple 10.1.7.
Considérons le groupe diédral \(D_n\text{,}\) engendré par les deux éléments \(r\) et \(s\text{,}\) satisfaisant les relations
\begin{align*}
r^n & = \identity\\
s^2 & = \identity\\
srs & = r^{-1}\text{.}
\end{align*}
L’élément \(r\) engendre en fait le sous-groupe cyclique des rotations, \(R_n\text{,}\) de \(D_n\text{.}\) Puisque \(srs^{-1} = srs = r^{-1} \in R_n\text{,}\) le groupe des rotations est un sous-groupe normal de \(D_n\) ; donc \(D_n / R_n\) est un groupe. Puisque ce groupe contient exactement deux éléments, il doit être isomorphe à \({\mathbb Z}_2\text{.}\)
