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\)
Exercices 12.4 Exercices
1.
Démontrer l’identité
\begin{equation*}
\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \frac{1}{2} \left[ \|{\mathbf x} + {\mathbf y}\|^2 - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\text{.}
\end{equation*}
Indication .
\begin{align*}
\frac{1}{2} \left[ \|{\mathbf x} + {\mathbf y}\|^2 + \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right] & = \frac{1}{2} \left[ \langle x + y, x + y \rangle - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\\
& = \frac{1}{2} \left[ \| {\mathbf x}\|^2 + 2 \langle x, y \rangle + \| {\mathbf y}\|^2 - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\\
& = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.}
\end{align*}
2. Montrer que
\(O(n)\) est un groupe.
3.
Montrer que les matrices suivantes sont orthogonales. Certaines de ces matrices appartiennent-elles à \(SO(n)\) ?
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\
1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 / \sqrt{5} & 2 / \sqrt{5} \\
- 2 /\sqrt{5} & 1/ \sqrt{5}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
4/5 & 0 & 3 /5 \\
-3 /5 & 0 & 4 /5 \\
0 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1/3 & 2/3 & - 2/3 \\
- 2/3 & 2/3 & 1/3 \\
2/3 & 1/3 & 2/3
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Indication .
(a) est dans
\(SO(2)\) ; (c) n’est pas dans
\(O(3)\text{.}\)
4. 5.
Soient \({\mathbf x}\text{,}\) \({\mathbf y}\) et \({\mathbf w}\) des vecteurs de \({\mathbb R}^n\) et \(\alpha \in {\mathbb R}\text{.}\) Démontrer chacune des propriétés suivantes des produits scalaires.
\(\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf y}, {\mathbf x} \rangle\text{.}\)
\(\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} + {\mathbf w} \rangle = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle + \langle {\mathbf x}, {\mathbf w} \rangle\text{.}\)
\(\langle \alpha {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf x}, \alpha {\mathbf y} \rangle = \alpha \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.}\)
\(\langle {\mathbf x}, {\mathbf x} \rangle \geq 0\) avec égalité si et seulement si
\({\mathbf x} = 0\text{.}\)
Si
\(\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = 0\) pour tout
\({\mathbf x}\) dans
\({\mathbb R}^n\text{,}\) alors
\({\mathbf y} = 0\text{.}\)
Indication .
(a)
\(\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf y}, {\mathbf x} \rangle\text{.}\)
6.
Vérifier que
\begin{equation*}
E(n) = \{(A, {\mathbf x}) : A \in O(n) \text{ et } {\mathbf x} \in {\mathbb R}^n \}
\end{equation*}
est un groupe.
7. Montrer que
\(\{ (2,1), (1,1) \}\) et
\(\{ ( 12, 5), ( 7, 3) \}\) sont des bases du même réseau.
Indication .
Utiliser la matrice unimodulaire
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
5 & 2 \\
2 & 1
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
8. Soit
\(G\) un sous-groupe de
\(E(2)\) et supposons que
\(T\) est le sous-groupe de translations de
\(G\text{.}\) Montrer que le groupe ponctuel de
\(G\) est isomorphe à
\(G/T\text{.}\)
9. Soit
\(A \in SL_2({\mathbb R})\) et supposons que les vecteurs
\({\mathbf x}\) et
\({\mathbf y}\) forment deux côtés d’un parallélogramme dans
\({\mathbb R}^2\text{.}\) Montrer que l’aire de ce parallélogramme est égale à l’aire du parallélogramme de côtés
\(A{\mathbf x}\) et
\(A{\mathbf y}\text{.}\)
10. Montrer que
\(SO(n)\) est un sous-groupe normal de
\(O(n)\text{.}\)
Indication .
Montrer que le noyau de l’application
\(\det : O(n) \rightarrow {\mathbb R}^*\) est
\(SO(n)\text{.}\)
11. Montrer que toute isométrie
\(f\) dans
\({\mathbb R}^n\) est une application injective.
12. Démontrer ou réfuter : un élément de
\(E(2)\) de la forme
\((A, {\mathbf x})\text{,}\) où
\({\mathbf x} \neq 0\text{,}\) est d’ordre infini.
13. Démontrer ou réfuter : Il existe un sous-groupe abélien infini de
\(O(n)\text{.}\)
14. Soit
\({\mathbf x} = (x_1, x_2)\) un point du cercle unité dans
\({\mathbb R}^2\) ; c’est-à-dire
\(x_1^2 + x_2^2 = 1\text{.}\) Si
\(A \in O(2)\text{,}\) montrer que
\(A {\mathbf x}\) est aussi un point du cercle unité.
15.
Soit \(G\) un groupe avec un sous-groupe \(H\) (pas nécessairement normal) et un sous-groupe normal \(N\text{.}\) Alors \(G\) est un produit semi-direct de \(N\) par \(H\) si
\(H \cap N = \{ \identity \}\) ;
Montrer que chacun des énoncés suivants est vrai.
\(S_3\) est le produit semi-direct de
\(A_3\) par
\(H = \{(1), (1 \,2) \}\text{.}\)
Le groupe des quaternions,
\(Q_8\text{,}\) ne peut pas s’écrire comme un produit semi-direct.
\(E(2)\) est le produit semi-direct de
\(O(2)\) par
\(H\text{,}\) où
\(H\) est constitué de toutes les translations dans
\({\mathbb R}^2\text{.}\)
16. Déterminer lequel des 17 groupes de papier peint préserve la symétrie du motif de la
Figure 12.2.5 .
17. Déterminer lequel des 17 groupes de papier peint préserve la symétrie du motif de la
Figure 12.4.1 .
Figure 12.4.1. Réseau pour l’Exercice 12.4.17
18. Trouver le groupe de rotation d’un dodécaèdre.
19. Pour chacun des 17 groupes de papier peint, dessiner un motif de papier peint ayant ce groupe comme groupe de symétrie.
