Chapitre 23 Théorie de Galois
Un problème classique de l’algèbre est de trouver les solutions d’une équation polynomiale. La solution de l’équation du second degré était connue dans l’Antiquité. Les mathématiciens italiens trouvèrent des solutions générales aux équations cubiques et quartiques générales au seizième siècle ; cependant, les tentatives de résolution du polynôme général de degré cinq, ou quintique, furent repoussées pendant les trois siècles suivants. Certes, des équations telles que \(x^5 - 1 = 0\) ou \(x^6 - x^3 - 6 = 0\) pouvaient être résolues, mais aucune solution analogue à la formule quadratique ne fut trouvée pour la quintique générale,
\begin{equation*}
a x^5 + b x^4 +c x^3 + d x^2 + e x + f = 0\text{.}
\end{equation*}
Finalement, au début du dix-neuvième siècle, Ruffini et Abel trouvèrent tous deux des quintiques qui ne pouvaient être résolues par aucune formule. C’est Galois, cependant, qui fournit l’explication complète en montrant quels polynômes pouvaient et ne pouvaient pas être résolus par des formules. Il découvrit le lien entre les groupes et les extensions de corps. La théorie de Galois illustre l’étroite interdépendance de la théorie des groupes et de la théorie des corps, et a eu des implications considérables bien au-delà de son but originel.
Dans ce chapitre, nous allons prouver le théorème fondamental de la théorie de Galois. Ce résultat sera utilisé pour établir l’insolubilité de la quintique et pour prouver le théorème fondamental de l’algèbre.
