1.
Supposons que \(G\) est un groupe fini avec un élément \(g\) d’ordre \(5\) et un élément \(h\) d’ordre \(7\text{.}\) Pourquoi doit-on avoir \(|G| \geq 35\) ?
Exercices 6.5 Exercices
2.
Supposons que \(G\) est un groupe fini avec \(60\) éléments. Quels sont les ordres possibles des sous-groupes de \(G\) ?
3.
Prouver ou réfuter : Tout sous-groupe des entiers est d’indice fini.
4.
Prouver ou réfuter : Tout sous-groupe des entiers est d’ordre fini.
5.
Lister les classes latérales gauches et droites des sous-groupes dans chacun des cas suivants.
Indication.
(a) \(\langle 8 \rangle\text{,}\) \(1 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(2 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(3 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(4 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(5 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(6 + \langle 8 \rangle\text{,}\) et \(7 + \langle 8 \rangle\) ; (c) \(3 {\mathbb Z}\text{,}\) \(1 + 3 {\mathbb Z}\) et \(2 + 3 {\mathbb Z}\text{.}\)
6.
Décrire les classes latérales gauches de \(SL_2( {\mathbb R} )\) dans \(GL_2( {\mathbb R})\text{.}\) Quel est l’indice de \(SL_2( {\mathbb R} )\) dans \(GL_2( {\mathbb R})\) ?
7.
8.
Utiliser le petit théorème de Fermat pour montrer que si \(p = 4n + 3\) est premier, il n’existe pas de solution à l’équation \(x^2 \equiv -1 \pmod{p}\text{.}\)
9.
Montrer que les entiers sont d’indice infini dans le groupe additif des nombres rationnels.
10.
Montrer que le groupe additif des nombres réels est d’indice infini dans le groupe additif des nombres complexes.
11.
Soit \(H\) un sous-groupe d’un groupe \(G\) et supposons que \(g_1, g_2 \in G\text{.}\) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes.
-
\(\displaystyle g_1 H = g_2 H\)
-
\(\displaystyle H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\)
-
\(\displaystyle g_1 H \subset g_2 H\)
-
\(\displaystyle g_2 \in g_1 H\)
-
\(\displaystyle g_1^{-1} g_2 \in H\)
12.
Si \(ghg^{-1} \in H\) pour tout \(g \in G\) et tout \(h \in H\text{,}\) montrer que les classes latérales droites sont identiques aux classes latérales gauches. C’est-à-dire, montrer que \(gH = Hg\) pour tout \(g \in G\text{.}\)
13.
Qu’est-ce qui échoue dans la preuve du Théorème 6.1.8 si \(\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\) est définie par \(\phi( gH ) = Hg\) ?
14.
15.
La structure cyclique d’une permutation \(\sigma\) est définie comme la liste non ordonnée des tailles des cycles dans la décomposition cyclique de \(\sigma\text{.}\) Par exemple, la permutation \(\sigma = (1 \, 2)(3 \, 4 \, 5)(7 \, 8)(9)\) a pour structure cyclique \((2,3,2,1)\text{,}\) ce qui peut aussi s’écrire \((1, 2, 2, 3)\text{.}\)
Montrer que deux permutations quelconques \(\alpha, \beta \in S_n\) ont la même structure cyclique si et seulement s’il existe une permutation \(\gamma\) telle que \(\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}\text{.}\) Si \(\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}\) pour un certain \(\gamma \in S_n\text{,}\) alors \(\alpha\) et \(\beta\) sont conjuguées.
16.
Si \(|G| = 2n\text{,}\) prouver que le nombre d’éléments d’ordre \(2\) est impair. Utiliser ce résultat pour montrer que \(G\) doit contenir un sous-groupe d’ordre 2.
17.
Supposons que \([G : H] = 2\text{.}\) Si \(a\) et \(b\) ne sont pas dans \(H\text{,}\) montrer que \(ab \in H\text{.}\)
18.
19.
Soient \(H\) et \(K\) des sous-groupes d’un groupe \(G\text{.}\) Prouver que \(gH \cap gK\) est une classe latérale de \(H \cap K\) dans \(G\text{.}\)
20.
Soient \(H\) et \(K\) des sous-groupes d’un groupe \(G\text{.}\) Définir une relation \(\sim\) sur \(G\) par \(a \sim b\) s’il existe un \(h \in H\) et un \(k \in K\) tels que \(hak = b\text{.}\) Montrer que cette relation est une relation d’équivalence. Les classes d’équivalence correspondantes sont appelées classes doubles. Calculer les classes doubles de \(H = \{ (1),(1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\) dans \(A_4\text{.}\)
21.
Soit \(G\) un groupe cyclique d’ordre \(n\text{.}\) Montrer qu’il y a exactement \(\phi(n)\) générateurs pour \(G\text{.}\)
22.
Soit \(n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}\text{,}\) où \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) sont des nombres premiers distincts. Prouver que
\begin{equation*}
\phi(n) = n \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{p_2} \right)\cdots \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right)\text{.}
\end{equation*}
Indication.
23.
Montrer que
\begin{equation*}
n = \sum_{d \mid n} \phi(d)
\end{equation*}
pour tout entier positif \(n\text{.}\)
