Deux groupes sont reliés de la façon la plus forte possible s’ils sont isomorphes ; cependant, une relation plus faible peut exister entre deux groupes. Par exemple, le groupe symétrique \(S_n\) et le groupe \({\mathbb Z}_2\) sont reliés par le fait que \(S_n\) peut être divisé en permutations paires et impaires qui présentent une structure de groupe analogue à celle de \({\mathbb Z}_2\text{,}\) comme le montre la table de multiplication suivante.
Soit \(G\) un groupe et \(g \in G\text{.}\) Définissons une application \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G\) par \(\phi( n ) = g^n\text{.}\) Alors \(\phi\) est un homomorphisme de groupes, puisque
\begin{equation*}
\phi( m + n ) = g^{ m + n} = g^m g^n = \phi( m ) \phi( n )\text{.}
\end{equation*}
Cet homomorphisme envoie \({\mathbb Z}\) sur le sous-groupe cyclique de \(G\) engendré par \(g\text{.}\)
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\end{equation*}
est dans \(G\text{,}\) alors le déterminant est non nul ; c’est-à-dire \(\det(A) = ad - bc \neq 0\text{.}\) De plus, pour deux éléments quelconques \(A\) et \(B\) dans \(G\text{,}\)\(\det(AB) = \det(A) \det(B)\text{.}\) En utilisant le déterminant, nous pouvons définir un homomorphisme \(\phi : GL_2( {\mathbb R }) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\) par \(A \mapsto \det(A)\text{.}\)
Rappelons que le groupe cercle \({ \mathbb T}\) est constitué de tous les nombres complexes \(z\) tels que \(|z|=1\text{.}\) Nous pouvons définir un homomorphisme \(\phi\) du groupe additif des réels \({\mathbb R}\) vers \({\mathbb T}\) par \(\phi : \theta \mapsto \cos \theta + i \sin \theta\text{.}\) En effet,
Si \(H_2\) est un sous-groupe de \(G_2\text{,}\) alors \(\phi^{-1}(H_2) = \{ g \in G _1: \phi(g) \in H_2 \}\) est un sous-groupe de \(G_1\text{.}\) De plus, si \(H_2\) est normal dans \(G_2\text{,}\) alors \(\phi^{-1}(H_2)\) est normal dans \(G_1\text{.}\)
(3) L’ensemble \(\phi(H_1)\) est non vide puisque l’élément neutre de \(G_2\) appartient à \(\phi(H_1)\text{.}\) Supposons que \(H_1\) soit un sous-groupe de \(G_1\) et soient \(x\) et \(y\) dans \(\phi(H_1)\text{.}\) Il existe des éléments \(a,
b \in H_1\) tels que \(\phi(a) = x\) et \(\phi(b)=y\text{.}\) Puisque
(4) Soit \(H_2\) un sous-groupe de \(G_2\) et définissons \(H_1\) comme étant \(\phi^{-1}(H_2)\) ; c’est-à-dire que \(H_1\) est l’ensemble de tous les \(g \in G_1\) tels que \(\phi(g) \in H_2\text{.}\) L’élément neutre appartient à \(H_1\) puisque \(\phi(e) = e'\text{.}\) Si \(a\) et \(b\) sont dans \(H_1\text{,}\) alors \(\phi(ab^{-1}) = \phi(a)[ \phi(b) ]^{-1}\) appartient à \(H_2\) puisque \(H_2\) est un sous-groupe de \(G_2\text{.}\) Par conséquent, \(ab^{-1} \in H_1\) et \(H_1\) est un sous-groupe de \(G_1\text{.}\) Si \(H_2\) est normal dans \(G_2\text{,}\) nous devons montrer que \(g^{-1} h g \in H_1\) pour \(h \in H_1\) et \(g \in G_1\text{.}\) Or
\begin{equation*}
\phi( g^{-1} h g) = [ \phi(g) ]^{-1} \phi( h ) \phi( g ) \in H_2\text{,}
\end{equation*}
puisque \(H_2\) est un sous-groupe normal de \(G_2\text{.}\) Par conséquent, \(g^{-1}hg \in H_1\text{.}\)
Soit \(\phi : G \rightarrow H\) un homomorphisme de groupes et supposons que \(e\) soit l’élément neutre de \(H\text{.}\) D’après la Proposition 11.1.4, \(\phi^{-1} ( \{ e \} )\) est un sous-groupe de \(G\text{.}\) Ce sous-groupe est appelé le noyau de \(\phi\) et sera noté \(\ker \phi\text{.}\) En fait, ce sous-groupe est un sous-groupe normal de \(G\) puisque le sous-groupe trivial est normal dans \(H\text{.}\) Nous énonçons ce résultat dans le théorème suivant, qui affirme qu’à tout homomorphisme de groupes on peut associer naturellement un sous-groupe normal.
Examinons l’homomorphisme \(\phi : GL_2( {\mathbb R }) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\) défini par \(A \mapsto \det( A )\text{.}\) Puisque \(1\) est l’élément neutre de \({\mathbb R}^\ast\text{,}\) le noyau de cet homomorphisme est l’ensemble de toutes les matrices \(2 \times 2\) de déterminant un. C’est-à-dire que \(\ker \phi = SL_2( {\mathbb R })\text{.}\)
Le noyau de l’homomorphisme de groupes \(\phi : {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb C}^\ast\) défini par \(\phi( \theta ) = \cos \theta + i \sin \theta\) est \(\{ 2 \pi n : n \in {\mathbb Z} \}\text{.}\) Remarquons que \(\ker \phi \cong {\mathbb Z}\text{.}\)
Supposons que nous voulions déterminer tous les homomorphismes possibles \(\phi\) de \({\mathbb Z}_7\) vers \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Puisque le noyau de \(\phi\) doit être un sous-groupe de \({\mathbb Z}_7\text{,}\) il n’y a que deux noyaux possibles, \(\{ 0 \}\) et \({\mathbb Z}_7\) tout entier. L’image d’un sous-groupe de \({\mathbb Z}_7\) doit être un sous-groupe de \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Donc, il n’existe pas d’homomorphisme injectif ; autrement, \({\mathbb Z}_{12}\) aurait un sous-groupe d’ordre \(7\text{,}\) ce qui est impossible. Par conséquent, le seul homomorphisme possible de \({\mathbb Z}_7\) vers \({\mathbb Z}_{12}\) est celui qui envoie tous les éléments sur zéro.
Soit \(G\) un groupe. Supposons que \(g \in G\) et que \(\phi\) soit l’homomorphisme de \({\mathbb Z}\) vers \(G\) donné par \(\phi( n ) = g^n\text{.}\) Si l’ordre de \(g\) est infini, alors le noyau de cet homomorphisme est \(\{ 0 \}\) puisque \(\phi\) envoie \({\mathbb Z}\) sur le sous-groupe cyclique de \(G\) engendré par \(g\text{.}\) En revanche, si l’ordre de \(g\) est fini, disons \(n\text{,}\) alors le noyau de \(\phi\) est \(n {\mathbb Z}\text{.}\)
