AATA Exercices

Exercices 16.7 Exercices

1.

Lesquels des ensembles suivants sont des anneaux pour les opérations usuelles d’addition et de multiplication ? Si l’ensemble est un anneau, est-ce aussi un corps ?

\(\displaystyle 7 {\mathbb Z}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle {\mathbb Z}_{18}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle {\mathbb Q} ( \sqrt{2}\, ) = \{a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q}\}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle {\mathbb Q} ( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} : a, b, c, d \in {\mathbb Q}\}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle {\mathbb Z}[\sqrt{3}\, ] = \{ a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Z} \}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle R = \{a + b \sqrt[3]{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle {\mathbb Z}[ i ] = \{ a + b i : a, b \in {\mathbb Z} \text{ et } i^2 = -1 \}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle {\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, ) = \{ a + b \sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9} : a, b, c \in {\mathbb Q} \}\)
🔗

🔗

🔗

Indication.

(a) \(7 {\mathbb Z}\) est un anneau mais pas un corps ; (c) \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) est un corps ; (f) \(R\) n’est pas un anneau.

🔗

2.

Soit \(R\) l’anneau des matrices \(2 \times 2\) de la forme

\begin{equation*} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\text{,} \end{equation*}

où \(a, b \in {\mathbb R}\text{.}\) Montrez que bien que \(R\) soit un anneau sans identité, on peut trouver un sous-anneau \(S\) de \(R\) avec une identité.

🔗

3.

Listez ou caractérisez toutes les unités dans chacun des anneaux suivants.

\(\displaystyle {\mathbb Z}_{10}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle {\mathbb Z}_{12}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle {\mathbb Z}_{7}\)
🔗

🔗
\({\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}\) les matrices \(2 \times 2\) à coefficients dans \({\mathbb Z}\)
🔗

🔗
\({\mathbb M}_2( {\mathbb Z}_2 )\text{,}\) les matrices \(2 \times 2\) à coefficients dans \({\mathbb Z}_2\)
🔗

🔗

🔗

Indication.

(a) \(\{1, 3, 7, 9 \}\) ; (c) \(\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}\) ; (e)

\begin{equation*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \right\}\text{.} \end{equation*}

🔗

4.

Trouvez tous les idéaux dans chacun des anneaux suivants. Lesquels de ces idéaux sont maximaux et lesquels sont premiers ?

\(\displaystyle {\mathbb Z}_{18}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle {\mathbb Z}_{25}\)
🔗

🔗
\({\mathbb M}_2( {\mathbb R} )\text{,}\) les matrices \(2 \times 2\) à coefficients dans \({\mathbb R}\)
🔗

🔗
\({\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}\) les matrices \(2 \times 2\) à coefficients dans \({\mathbb Z}\)
🔗

🔗
\(\displaystyle {\mathbb Q}\)
🔗

🔗

🔗

Indication.

(a) \(\{0 \}\text{,}\) \(\{0, 9 \}\text{,}\) \(\{0, 6, 12 \}\text{,}\) \(\{0, 3, 6, 9, 12, 15 \}\text{,}\) \(\{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 \}\) ; (c) il n’y a pas d’idéaux non triviaux.

🔗

5.

Pour chacun des anneaux \(R\) suivants avec idéal \(I\text{,}\) donnez une table d’addition et une table de multiplication pour \(R/I\text{.}\)

\(R = {\mathbb Z}\) et \(I = 6 {\mathbb Z}\)
🔗

🔗
\(R = {\mathbb Z}_{12}\) et \(I = \{ 0, 3, 6, 9 \}\)
🔗

🔗

🔗

6.

Trouvez tous les homomorphismes \(\phi : {\mathbb Z} / 6 {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z} / 15 {\mathbb Z}\text{.}\)

🔗

7.

Prouvez que \({\mathbb R}\) n’est pas isomorphe à \({\mathbb C}\text{.}\)

🔗

Indication.

Supposez qu’il existe un isomorphisme \(\phi: {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb R}\) avec \(\phi(i) = a\text{.}\)

🔗

8.

Prouvez ou réfutez : l’anneau \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\) est isomorphe à l’anneau \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}\)

🔗

Indication.

Faux. Supposez qu’il existe un isomorphisme \(\phi: {\mathbb Q}(\sqrt{2}\, ) \rightarrow {\mathbb Q}(\sqrt{3}\, )\) tel que \(\phi(\sqrt{2}\, ) = a\text{.}\)

🔗

9.

Quelle est la caractéristique du corps formé par l’ensemble de matrices

\begin{equation*} F = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{equation*}

à coefficients dans \({\mathbb Z}_2\) ?

🔗

10.

Définissez une application \(\phi : {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\) par

\begin{equation*} \phi( a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

Montrez que \(\phi\) est un isomorphisme de \({\mathbb C}\) sur son image dans \({\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\text{.}\)

🔗

11.

Prouvez que les entiers de Gauss, \({\mathbb Z}[i ]\text{,}\) sont un anneau intègre.

🔗

12.

Prouvez que \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] = \{ a + b \sqrt{3}\, i : a, b \in {\mathbb Z} \}\) est un anneau intègre.

🔗

13.

Résolvez chacun des systèmes de congruences suivants.

\begin{align*} x & \equiv 2 \pmod{5}\\ x & \equiv 6 \pmod{11} \end{align*}

🔗

🔗
\begin{align*} x & \equiv 3 \pmod{7}\\ x & \equiv 0 \pmod{8}\\ x & \equiv 5 \pmod{15} \end{align*}

🔗

🔗
\begin{align*} x & \equiv 2 \pmod{4}\\ x & \equiv 4 \pmod{7}\\ x & \equiv 7 \pmod{9}\\ x & \equiv 5 \pmod{11} \end{align*}

🔗

🔗
\begin{align*} x & \equiv 3 \pmod{5}\\ x & \equiv 0 \pmod{8}\\ x & \equiv 1 \pmod{11}\\ x & \equiv 5 \pmod{13} \end{align*}

🔗

🔗

🔗

Indication.

(a) \(x \equiv 17 \pmod{55}\) ; (c) \(x \equiv 214 \pmod{2772}\text{.}\)

🔗

14.

Utilisez la méthode de calcul parallèle décrite dans le texte pour calculer \(2234 + 4121\) en décomposant le calcul en quatre additions séparées modulo \(95\text{,}\) \(97\text{,}\) \(98\) et \(99\text{.}\)

🔗

15.

Expliquez pourquoi la méthode de calcul parallèle décrite dans le texte échoue pour \(2134 \cdot 1531\) si l’on tente de décomposer le calcul en deux calculs plus petits modulo \(98\) et \(99\text{.}\)

🔗

16.

Si \(R\) est un corps, montrez que les deux seuls idéaux de \(R\) sont \(\{ 0 \}\) et \(R\) lui-même.

🔗

Indication.

Si \(I \neq \{ 0 \}\text{,}\) montrez que \(1 \in I\text{.}\)

🔗

17.

Soit \(a\) un élément quelconque d’un anneau \(R\) avec identité. Montrez que \((-1)a = -a\text{.}\)

🔗

18.

Soit \(\phi : R \rightarrow S\) un homomorphisme d’anneaux. Démontrez chacun des énoncés suivants.

Si \(R\) est un anneau commutatif, alors \(\phi(R)\) est un anneau commutatif.
🔗

🔗
\(\phi( 0 ) = 0\text{.}\)
🔗

🔗
Soient \(1_R\) et \(1_S\) les identités de \(R\) et de \(S\text{,}\) respectivement. Si \(\phi\) est surjectif, alors \(\phi(1_R) = 1_S\text{.}\)
🔗

🔗
Si \(R\) est un corps et \(\phi(R) \neq 0\text{,}\) alors \(\phi(R)\) est un corps.
🔗

🔗

🔗

Indication.

(a) \(\phi(a) \phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b) \phi(a)\text{.}\)

🔗

19.

Prouvez que la loi associative pour la multiplication et les lois distributives sont vérifiées dans \(R/I\text{.}\)

🔗

20.

Prouvez le deuxième théorème d’isomorphisme pour les anneaux : soit \(I\) un sous-anneau d’un anneau \(R\) et \(J\) un idéal de \(R\text{.}\) Alors \(I \cap J\) est un idéal de \(I\) et

\begin{equation*} I / I \cap J \cong I + J /J\text{.} \end{equation*}

🔗

21.

Prouvez le troisième théorème d’isomorphisme pour les anneaux : soit \(R\) un anneau et \(I\) et \(J\) des idéaux de \(R\text{,}\) avec \(J \subset I\text{.}\) Alors

\begin{equation*} R/I \cong \frac{R/J}{I/J}\text{.} \end{equation*}

🔗

22.

Prouvez le théorème de correspondance : soit \(I\) un idéal d’un anneau \(R\text{.}\) Alors \(S \rightarrow S/I\) est une bijection entre l’ensemble des sous-anneaux \(S\) contenant \(I\) et l’ensemble des sous-anneaux de \(R/I\text{.}\) De plus, les idéaux de \(R\) contenant \(I\) correspondent aux idéaux de \(R/I\text{.}\)

🔗

23.

Soit \(R\) un anneau et \(S\) un sous-ensemble de \(R\text{.}\) Montrez que \(S\) est un sous-anneau de \(R\) si et seulement si chacune des conditions suivantes est satisfaite.

\(S \neq \emptyset\text{.}\)
🔗

🔗
\(rs \in S\) pour tous \(r, s \in S\text{.}\)
🔗

🔗
\(r - s \in S\) pour tous \(r, s \in S\text{.}\)
🔗

🔗

🔗

24.

Soit \(R\) un anneau muni d’une collection de sous-anneaux \(\{ R_{\alpha} \}\text{.}\) Prouvez que \(\bigcap R_{\alpha}\) est un sous-anneau de \(R\text{.}\) Donnez un exemple montrant que l’union de deux sous-anneaux n’est pas nécessairement un sous-anneau.

🔗

25.

Soit \(\{ I_{\alpha} \}_{\alpha \in A}\) une collection d’idéaux dans un anneau \(R\text{.}\) Prouvez que \(\bigcap_{\alpha \in A} I_{\alpha}\) est aussi un idéal de \(R\text{.}\) Donnez un exemple montrant que si \(I_1\) et \(I_2\) sont des idéaux de \(R\text{,}\) alors \(I_1 \cup I_2\) n’est pas nécessairement un idéal.

🔗

26.

Soit \(R\) un anneau intègre. Montrez que si les seuls idéaux de \(R\) sont \(\{ 0 \}\) et \(R\) lui-même, alors \(R\) est un corps.

🔗

Indication.

Soit \(a \in R\) avec \(a \neq 0\text{.}\) Alors l’idéal principal engendré par \(a\) est \(R\text{.}\) Donc il existe \(b \in R\) tel que \(ab =1\text{.}\)

🔗

27.

Soit \(R\) un anneau commutatif. Un élément \(a\) de \(R\) est dit nilpotent si \(a^n = 0\) pour un certain entier positif \(n\text{.}\) Montrez que l’ensemble de tous les éléments nilpotents forme un idéal de \(R\text{.}\)

🔗

28.

Un anneau \(R\) est un anneau de Boole si pour tout \(a \in R\text{,}\) \(a^2 = a\text{.}\) Montrez que tout anneau de Boole est un anneau commutatif.

🔗

Indication.

Calculez \((a+b)^2\) et \((-ab)^2\text{.}\)

🔗

29.

Soit \(R\) un anneau tel que \(a^3 =a\) pour tout \(a \in R\text{.}\) Prouvez que \(R\) est nécessairement un anneau commutatif.

🔗

30.

Soit \(R\) un anneau avec identité \(1_R\) et \(S\) un sous-anneau de \(R\) avec identité \(1_S\text{.}\) Prouvez ou réfutez que \(1_R = 1_S\text{.}\)

🔗

31.

Si l’on n’exige pas que l’identité d’un anneau soit distincte de 0, on n’obtient pas une structure mathématique très intéressante. Soit \(R\) un anneau tel que \(1 = 0\text{.}\) Prouvez que \(R = \{ 0 \}\text{.}\)

🔗

32.

Soit \(R\) un anneau. On définit le centre de \(R\) par

\begin{equation*} Z(R) = \{ a \in R : ar = ra \text{ pour tout } r \in R \}\text{.} \end{equation*}

Prouvez que \(Z(R)\) est un sous-anneau commutatif de \(R\text{.}\)

🔗

33.

Soit \(p\) un nombre premier. Prouvez que

\begin{equation*} {\mathbb Z}_{(p)} = \{ a / b : a, b \in {\mathbb Z} \text{ et } \gcd( b,p) = 1 \} \end{equation*}

est un anneau. L’anneau \({\mathbb Z}_{(p)}\) est appelé l’ anneau des entiers localisé en \(p\text{.}\)

🔗

Indication.

Soient \(a/b, c/d \in {\mathbb Z}_{(p)}\text{.}\) Alors \(a/b + c/d = (ad + bc)/bd\) et \((a/b) \cdot (c/d) = (ac)/(bd)\) sont tous deux dans \({\mathbb Z}_{(p)}\text{,}\) puisque \(\gcd(bd,p) = 1\text{.}\)

🔗

34.

Prouvez ou réfutez : tout anneau intègre fini est isomorphe à \({\mathbb Z}_p\text{.}\)

🔗

35.

Soit \(R\) un anneau avec identité.

Soit \(u\) une unité de \(R\text{.}\) Définissez une application \(i_u : R \rightarrow R\) par \(r \mapsto uru^{-1}\text{.}\) Prouvez que \(i_u\) est un automorphisme de \(R\text{.}\) Un tel automorphisme de \(R\) est appelé un automorphisme intérieur de \(R\text{.}\) Notons l’ensemble de tous les automorphismes intérieurs de \(R\) par \(\inn(R)\text{.}\)
🔗

🔗
Notons l’ensemble de tous les automorphismes de \(R\) par \(\aut(R)\text{.}\) Prouvez que \(\inn(R)\) est un sous-groupe normal de \(\aut(R)\text{.}\)
🔗

🔗
Soit \(U(R)\) le groupe des unités de \(R\text{.}\) Prouvez que l’application

\begin{equation*} \phi : U(R) \rightarrow \inn(R) \end{equation*}

définie par \(u \mapsto i_u\) est un homomorphisme. Déterminez le noyau de \(\phi\text{.}\)

🔗

🔗
Calculez \(\aut( {\mathbb Z})\text{,}\) \(\inn( {\mathbb Z})\) et \(U( {\mathbb Z})\text{.}\)
🔗

🔗

🔗

36.

Soient \(R\) et \(S\) des anneaux quelconques. Montrez que leur produit cartésien est un anneau si l’on définit l’addition et la multiplication dans \(R \times S\) par

\(\displaystyle (r, s) + (r', s') = ( r + r', s + s')\)
🔗

🔗
\(\displaystyle (r, s)(r', s') = ( rr', ss')\)
🔗

🔗

🔗

37.

Un élément \(x\) d’un anneau est appelé un idempotent si \(x^2 = x\text{.}\) Prouvez que les seuls idempotents dans un anneau intègre sont \(0\) et \(1\text{.}\) Trouvez un anneau ayant un idempotent \(x\) différent de 0 et de 1.

🔗

Indication.

Supposons que \(x^2 = x\) et \(x \neq 0\text{.}\) Puisque \(R\) est un anneau intègre, \(x = 1\text{.}\) Pour trouver un idempotent non trivial, cherchez dans \({\mathbb M}_2({\mathbb R})\text{.}\)

🔗

38.

Soit \(\gcd(a, n) = d\) et \(\gcd(b, d) \neq 1\text{.}\) Prouvez que \(ax \equiv b \pmod{n}\) n’a pas de solution.

🔗

39. Le théorème chinois des restes pour les anneaux.

Soit \(R\) un anneau et \(I\) et \(J\) des idéaux de \(R\) tels que \(I+J = R\text{.}\)

Montrez que pour tout \(r\) et \(s\) dans \(R\text{,}\) le système d’équations

\begin{align*} x & \equiv r \pmod{I}\\ x & \equiv s \pmod{J} \end{align*}

admet une solution.

🔗

🔗
De plus, prouvez que deux solutions quelconques du système sont congruentes modulo \(I \cap J\text{.}\)
🔗

🔗
Soient \(I\) et \(J\) des idéaux d’un anneau \(R\) tels que \(I + J = R\text{.}\) Montrez qu’il existe un isomorphisme d’anneaux

\begin{equation*} R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J\text{.} \end{equation*}

🔗

🔗

🔗

Précédent Top Suivant