Algèbre abstraite Théorie et applications

Calculez chacun des éléments suivants.

Calculez \([\gf(p^m): \gf(p^n)]\text{,}\) où \(n \mid m\text{.}\)

Quel est le treillis des sous-corps de \(\gf(p^{30})\) ?

Soit \(\alpha\) un zéro de \(x^3 + x^2 + 1\) sur \({\mathbb Z}_2\text{.}\) Construisez un corps fini d’ordre \(8\text{.}\) Montrez que \(x^3 + x^2 + 1\) se décompose dans \({\mathbb Z}_2(\alpha)\text{.}\)

Construisez un corps fini d’ordre \(27\text{.}\)

Prouvez ou réfutez : \({\mathbb Q}^\ast\) est cyclique.

Prouvez ou réfutez : \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle \cong {\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x^2 + 1 \rangle\text{.}\)

Déterminez le nombre de codes cycliques de longueur \(n\) pour \(n = 6, 7, 8, 10\text{.}\)

Prouvez que l’idéal \(\langle t + 1 \rangle\) dans \(R_n\) est le code dans \({\mathbb Z}_2^n\) constitué de tous les mots de parité paire.

Prouvez ou réfutez : Il existe un corps fini qui est algébriquement clos.

Soit \(p\) un nombre premier. Prouvez que le corps des fractions rationnelles \({\mathbb Z}_p(x)\) est un corps infini de caractéristique \(p\text{.}\)

Soit \(D\) un domaine intègre de caractéristique \(p\text{.}\) Prouvez que \((a - b)^{p^n} = a^{p^n} - b^{p^n}\) pour tous \(a, b \in D\text{.}\)

Montrez que tout élément d’un corps fini peut s’écrire comme somme de deux carrés.

Soient \(E\) et \(F\) des sous-corps d’un corps fini \(K\text{.}\) Si \(E\) est isomorphe à \(F\text{,}\) montrez que \(E = F\text{.}\)

Soient \(F \subset E \subset K\) des corps. Si \(K\) est une extension séparable de \(F\text{,}\) montrez que \(K\) est aussi une extension séparable de \(E\text{.}\)

Soit \(E\) une extension d’un corps fini \(F\text{,}\) où \(F\) a \(q\) éléments. Soit \(\alpha \in E\) algébrique sur \(F\) de degré \(n\text{.}\) Prouvez que \(F( \alpha )\) a \(q^n\) éléments.

Montrez que toute extension finie d’un corps fini \(F\) est simple ; c’est-à-dire, si \(E\) est une extension finie d’un corps fini \(F\text{,}\) prouvez qu’il existe un \(\alpha \in E\) tel que \(E = F( \alpha )\text{.}\)

Montrez que pour tout \(n\) il existe un polynôme irréductible de degré \(n\) dans \({\mathbb Z}_p[x]\text{.}\)

Prouvez que l’application de Frobenius \(\Phi : \gf(p^n) \rightarrow \gf(p^n)\) définie par \(\Phi : \alpha \mapsto \alpha^p\) est un automorphisme d’ordre \(n\text{.}\)

Montrez que tout élément de \(\gf(p^n)\) peut s’écrire sous la forme \(a^p\) pour un unique \(a \in \gf(p^n)\text{.}\)

Soient \(E\) et \(F\) des sous-corps de \(\gf(p^n)\text{.}\) Si \(|E| = p^r\) et \(|F| = p^s\text{,}\) quel est l’ordre de \(E \cap F\) ?

Soit \(p\) un nombre premier. Prouvez que \((p-1)! \equiv -1 \pmod{p}\text{.}\)

Si \(g(t)\) est le polynôme générateur minimal d’un code cyclique \(C\) dans \(R_n\text{,}\) prouvez que le terme constant de \(g(x)\) est \(1\text{.}\)

Il est souvent concevable qu’une rafale d’erreurs puisse se produire lors de la transmission, comme dans le cas d’une surtension électrique. Une telle brève rafale d’interférences peut altérer plusieurs bits consécutifs dans un mot de code. Les codes cycliques permettent la détection de telles rafales d’erreurs. Soit \(C\) un code cyclique \((n,k)\text{.}\) Prouvez que toute rafale d’erreurs d’au plus \(n-k\) chiffres peut être détectée.

Prouvez que les anneaux \(R_n\) et \({\mathbb Z}_2^n\) sont isomorphes en tant qu’espaces vectoriels.

Soit \(C\) un code dans \(R_n\) engendré par \(g(t)\text{.}\) Si \(\langle f(t) \rangle\) est un autre code dans \(R_n\text{,}\) montrez que \(\langle g(t) \rangle \subset \langle f(t) \rangle\) si et seulement si \(f(x)\) divise \(g(x)\) dans \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)