AATA Exercices

Exercices 5.4 Exercices

1.

Écrire les permutations suivantes en notation cyclique.

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \end{equation*}

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\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{equation*}

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\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation*}

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\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \end{equation*}

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Indication.

(a) \((1 \, 2 \, 4 \, 5 \, 3)\) ; (c) \((1 \, 3)(2 \, 5)\text{.}\)

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2.

Calculer chacun des éléments suivants.

\(\displaystyle (1 \, 3 \, 4 \, 5)(2 \, 3 \, 4)\)
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\(\displaystyle (1 \, 2)(1 \, 2 \, 5 \, 3)\)
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\(\displaystyle (1 \, 4 \, 3)(2 \, 3)(2 \, 4)\)
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\(\displaystyle (1 \, 4 \, 2 \, 3)(3 \, 4)(5 \, 6)(1 \, 3 \, 2 \, 4)\)
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\(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 4)(1 \, 3)(2 \, 5)\)
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\(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 4) (1 \, 3)(2 \, 5)^2\)
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\(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 4)^{-1} (1 \, 2 \, 3)(4 \, 5) (1 \, 2 \, 5 \, 4)\)
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\(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 4)^2 (1 \, 2 \, 3)(4 \, 5)\)
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\(\displaystyle (1 \, 2 \, 3)(4 \, 5) (1 \, 2 \, 5 \, 4)^{-2}\)
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\(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 4)^{100}\)
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\(\displaystyle |(1 \, 2 \, 5 \, 4)|\)
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\(\displaystyle |(1 \, 2 \, 5 \, 4)^2|\)
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\(\displaystyle (1 \, 2)^{-1}\)
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\(\displaystyle (1 \, 2 \, 5 \, 3 \, 7)^{-1}\)
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\(\displaystyle [(1 \, 2)(3 \, 4)(1 \, 2)(4 \, 7)]^{-1}\)
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\(\displaystyle [(1 \, 2 \, 3 \, 5)(4 \, 6 \, 7)]^{-1}\)
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Indication.

(a) \((1 \, 3 \, 5)(2 \, 4)\) ; (c) \((1 \, 4)(2 \, 3)\) ; (e) \((1 \, 3 \, 2 \, 4)\) ; (g) \((1 \, 3 \, 4)(2 \, 5)\) ; (n) \((1 \, 7 \, 3 \, 5 \, 2)\text{.}\)

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3.

Exprimer les permutations suivantes comme des produits de transpositions et déterminer si elles sont paires ou impaires.

\(\displaystyle (1 \, 4 \, 3 \, 5 \, 6)\)
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\(\displaystyle (1 \, 5 \, 6)(2 \, 3 \, 4)\)
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\(\displaystyle (1 \, 4 \, 2 \, 6)(1 \, 4 \, 2)\)
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\(\displaystyle (1 \, 7 \, 2 \, 5 \, 4)(1 \, 4 \, 2 \, 3)(1 \, 5 \, 4 \, 6 \, 3 \, 2)\)
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\(\displaystyle (1 \, 4 \, 2 \, 6 \, 3 \, 7)\)
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Indication.

(a) \((1 \, 6)(1 \, 5)(1 \, 3)(1 \, 4)\) ; (c) \((1 \, 6)(1 \, 4)(1 \, 2)\text{.}\)

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4.

Trouver \((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1}\text{.}\)

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Indication.

\((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1} = (a_1, a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_2)\)

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5.

Lister tous les sous-groupes de \(S_4\text{.}\) Trouver chacun des ensembles suivants :

\(\displaystyle \{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3 \}\)
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\(\displaystyle \{ \sigma \in S_4 : \sigma(2) = 2 \}\)
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\(\{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3\) et \(\sigma(2) = 2 \}\text{.}\)
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L’un de ces ensembles est-il un sous-groupe de \(S_4\) ?

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Indication.

(a) \(\{ (1 \, 3), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 3 \, 2), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 3 \, 2 \, 4), (1 \, 3 \, 4 \, 2) \}\) n’est pas un sous-groupe.

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6.

Trouver tous les sous-groupes de \(A_4\text{.}\) Quel est l’ordre de chaque sous-groupe ?

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7.

Trouver tous les ordres possibles des éléments de \(S_7\) et \(A_7\text{.}\)

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8.

Montrer que \(A_{10}\) contient un élément d’ordre \(15\text{.}\)

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Indication.

\((1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5)(6 \, 7 \, 8)\text{.}\)

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9.

\(A_8\) contient-il un élément d’ordre \(26\) ?

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10.

Trouver un élément d’ordre maximal dans \(S_n\) pour \(n = 3, \ldots, 10\text{.}\)

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11.

Quelles sont les structures cycliques possibles des éléments de \(A_5\) ? Et de \(A_6\) ?

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Indication.

Les permutations de la forme

\begin{equation*} (1), (a_1, a_2)(a_3, a_4), (a_1, a_2, a_3), (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \end{equation*}

sont possibles pour \(A_5\text{.}\)

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12.

Soit \(\sigma \in S_n\) d’ordre \(n\text{.}\) Montrer que pour tous entiers \(i\) et \(j\text{,}\) \(\sigma^i = \sigma^j\) si et seulement si \(i \equiv j \pmod{n}\text{.}\)

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13.

Soit \(\sigma = \sigma_1 \cdots \sigma_m \in S_n\) le produit de cycles disjoints. Démontrer que l’ordre de \(\sigma\) est le plus petit commun multiple des longueurs des cycles \(\sigma_1, \ldots, \sigma_m\text{.}\)

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14.

En utilisant la notation cyclique, lister les éléments de \(D_5\text{.}\) Que sont \(r\) et \(s\) ? Écrire chaque élément comme un produit de \(r\) et \(s\text{.}\)

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15.

Si les diagonales d’un cube sont numérotées comme dans la Figure 5.2.10, à quel mouvement du cube correspond la permutation \((12)(34)\) ? Et les autres permutations des diagonales ?

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16.

Trouver le groupe des mouvements rigides d’un tétraèdre. Montrer que c’est le même groupe que \(A_4\text{.}\)

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17.

Démontrer que \(S_n\) est non abélien pour \(n \geq 3\text{.}\)

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Indication.

Calculer \((1 \, 2 \, 3)(1 \, 2)\) et \((1 \, 2)(1 \, 2 \, 3)\text{.}\)

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18.

Montrer que \(A_n\) est non abélien pour \(n \geq 4\text{.}\)

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19.

Démontrer que \(D_n\) est non abélien pour \(n \geq 3\text{.}\)

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20.

Soit \(\sigma \in S_n\) un cycle. Démontrer que \(\sigma\) peut s’écrire comme le produit d’au plus \(n-1\) transpositions.

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21.

Soit \(\sigma \in S_n\text{.}\) Si \(\sigma\) n’est pas un cycle, démontrer que \(\sigma\) peut s’écrire comme le produit d’au plus \(n - 2\) transpositions.

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22.

Si \(\sigma\) peut s’exprimer comme un nombre impair de transpositions, montrer que tout autre produit de transpositions égal à \(\sigma\) doit également être impair.

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23.

Si \(\sigma\) est un cycle de longueur impaire, démontrer que \(\sigma^2\) est également un cycle.

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24.

Montrer qu’un \(3\)-cycle est une permutation paire.

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25.

Démontrer que dans \(A_n\) avec \(n \geq 3\text{,}\) toute permutation est un produit de cycles de longueur \(3\text{.}\)

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Indication.

Considérer les cas \((a,b)(b,c)\) et \((a,b)(c,d)\text{.}\)

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26.

Démontrer que tout élément de \(S_n\) peut s’écrire comme un produit fini des permutations suivantes.

\(\displaystyle (1 \, 2), (1 \, 3), \ldots, (1 \, n)\)
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\(\displaystyle (1 \, 2), (2 \, 3), \ldots, (n- 1,n)\)
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\(\displaystyle (1 \, 2), (1 \, 2 \ldots n )\)
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27.

Soit \(G\) un groupe et définissons une application \(\lambda_g : G \rightarrow G\) par \(\lambda_g(a) = g a\text{.}\) Démontrer que \(\lambda_g\) est une permutation de \(G\text{.}\)

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28.

Démontrer qu’il existe \(n!\) permutations d’un ensemble contenant \(n\) éléments.

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29.

Rappelons que le centre d’un groupe \(G\) est

\begin{equation*} Z(G) = \{ g \in G : gx = xg \text{ pour tout } x \in G \}\text{.} \end{equation*}

Trouver le centre de \(D_8\text{.}\) Et le centre de \(D_{10}\) ? Quel est le centre de \(D_n\) ?

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Indication.

Montrer que le centre de \(D_n\) est constitué de l’identité si \(n\) est impair, et de l’identité et d’une rotation de \(180^\circ\) si \(n\) est pair.

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30.

Soit \(\tau = (a_1, a_2, \ldots, a_k)\) un cycle de longueur \(k\text{.}\)

Démontrer que si \(\sigma\) est une permutation quelconque, alors

\begin{equation*} \sigma \tau \sigma^{-1 } = ( \sigma(a_1), \sigma(a_2), \ldots, \sigma(a_k)) \end{equation*}

est un cycle de longueur \(k\text{.}\)

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Soit \(\mu\) un cycle de longueur \(k\text{.}\) Démontrer qu’il existe une permutation \(\sigma\) telle que \(\sigma \tau \sigma^{-1 } = \mu\text{.}\)
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Indication.

Pour (a), montrer que \(\sigma \tau \sigma^{-1 }(\sigma(a_i)) = \sigma(a_{i + 1})\text{.}\)

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31.

Pour \(\alpha\) et \(\beta\) dans \(S_n\text{,}\) définissons \(\alpha \sim \beta\) s’il existe un \(\sigma \in S_n\) tel que \(\sigma \alpha \sigma^{-1} = \beta\text{.}\) Montrer que \(\sim\) est une relation d’équivalence sur \(S_n\text{.}\)

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32.

Soit \(\sigma \in S_X\text{.}\) Si \(\sigma^n(x) = y\) pour un certain \(n \in \mathbb Z\text{,}\) on dira que \(x \sim y\text{.}\)

Montrer que \(\sim\) est une relation d’équivalence sur \(X\text{.}\)
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Définir l’orbite de \(x \in X\) sous \(\sigma \in S_X\) comme l’ensemble

\begin{equation*} {\mathcal O}_{x, \sigma} = \{ y : x \sim y \}\text{.} \end{equation*}

Calculer les orbites de chaque élément de \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) sous chacun des éléments suivants de \(S_5\) :

\begin{align*} \alpha & = (1 \, 2 \, 5 \, 4)\\ \beta & = (1 \, 2 \, 3)(4 \, 5)\\ \gamma & = (1 \, 3)(2 \, 5)\text{.} \end{align*}

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Si \({\mathcal O}_{x, \sigma} \cap {\mathcal O}_{y, \sigma} \neq \emptyset\text{,}\) démontrer que \({\mathcal O}_{x, \sigma} = {\mathcal O}_{y, \sigma}\text{.}\) Les orbites sous une permutation \(\sigma\) sont les classes d’équivalence correspondant à la relation d’équivalence \(\sim\text{.}\)
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Un sous-groupe \(H\) de \(S_X\) est transitif si pour tout \(x, y \in X\text{,}\) il existe un \(\sigma \in H\) tel que \(\sigma(x) = y\text{.}\) Démontrer que \(\langle \sigma \rangle\) est transitif si et seulement si \({\mathcal O}_{x, \sigma} = X\) pour un certain \(x \in X\text{.}\)
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33.

Soit \(\alpha \in S_n\) avec \(n \geq 3\text{.}\) Si \(\alpha \beta = \beta \alpha\) pour tout \(\beta \in S_n\text{,}\) démontrer que \(\alpha\) doit être la permutation identité ; ainsi, le centre de \(S_n\) est le sous-groupe trivial.

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34.

Si \(\alpha\) est paire, démontrer que \(\alpha^{-1}\) est également paire. Un résultat analogue vaut-il si \(\alpha\) est impaire ?

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35.

Si \(\sigma \in A_n\) et \(\tau \in S_n\text{,}\) montrer que \(\tau^{-1} \sigma \tau \in A_n\text{.}\)

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36.

Montrer que \(\alpha^{-1} \beta^{-1} \alpha \beta\) est paire pour \(\alpha, \beta \in S_n\text{.}\)

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37.

Soient \(r\) et \(s\) les éléments de \(D_n\) décrits dans le Théorème 5.2.3

Montrer que \(srs = r^{-1}\text{.}\)
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Montrer que \(r^k s = s r^{-k}\) dans \(D_n\text{.}\)
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Démontrer que l’ordre de \(r^k \in D_n\) est \(n / \gcd(k,n)\text{.}\)
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