Avant d’étudier les groupes de matrices, nous devons rappeler quelques notions fondamentales d’algèbre linéaire. L’une des idées les plus fondamentales de l’algèbre linéaire est celle de transformation linéaire. Une transformation linéaire ou application linéaire \(T : {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}^m\) est une application qui préserve l’addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire ; c’est-à-dire que pour des vecteurs \({\mathbf x}\) et \({\mathbf y}\) dans \({\mathbb R}^n\) et un scalaire \(\alpha \in {\mathbb R}\text{,}\)
Une matrice \(m \times n\) à coefficients dans \({\mathbb R}\) représente une transformation linéaire de \({\mathbb R}^n\) dans \({\mathbb R}^m\text{.}\) Si nous écrivons les vecteurs \({\mathbf x} = (x_1, \ldots,
x_n)^\transpose\) et \({\mathbf y} = (y_1, \ldots,
y_n)^\transpose\) de \({\mathbb R}^n\) comme matrices colonnes, alors une matrice \(m \times n\)
Réciproquement, si \(T : {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}^m\) est une application linéaire, nous pouvons associer une matrice \(A\) à \(T\) en considérant ce que \(T\) fait aux vecteurs
les axiomes que \(T\) doit satisfaire pour être une transformation linéaire se vérifient aisément. Les vecteurs colonnes \(T {\mathbf e}_1 = (2, -4)^\transpose\) et \(T {\mathbf e}_2 = (5,3)^\transpose\) nous indiquent que \(T\) est donnée par la matrice
Puisque nous nous intéressons aux groupes de matrices, nous devons savoir quelles matrices possèdent des inverses multiplicatifs. Rappelons qu’une matrice \(n \times n\)\(A\) est inversible si et seulement s’il existe une autre matrice \(A^{-1}\) telle que \(A A^{-1} = A^{-1} A = I\text{,}\) où
est la matrice identité \(n \times n\text{.}\) D’après l’algèbre linéaire, \(A\) est inversible si et seulement si le déterminant de \(A\) est non nul. Une matrice inversible est parfois dite non singulière.
D’autres propriétés des déterminants s’avéreront également utiles au cours de ce chapitre. Soient \(A\) et \(B\) des matrices \(n \times n\text{.}\) D’après l’algèbre linéaire, nous avons les propriétés suivantes des déterminants.
Le déterminant est un homomorphisme dans le groupe multiplicatif des réels ; c’est-à-dire \(\det( A B) = (\det A )(\det B)\text{.}\)
Soit \(T\) la transformation linéaire associée à une matrice \(n \times n\)\(A\text{.}\) Alors \(T\) multiplie les volumes par un facteur \(|\det A|\text{.}\) Dans le cas de \({\mathbb R}^2\text{,}\) cela signifie que \(T\) multiplie les aires par \(|\det A|\text{.}\)
Les applications linéaires, les matrices et les déterminants sont traités dans tout manuel élémentaire d’algèbre linéaire ; cependant, si vous n’avez pas suivi de cours d’algèbre linéaire, il est relativement simple de vérifier directement ces propriétés pour les matrices \(2 \times 2\text{,}\) le cas qui nous préoccupe le plus.
Sous-section12.1.2Les groupes linéaires général et spécial
L’ensemble de toutes les matrices \(n \times n\) inversibles forme un groupe appelé le groupe linéaire général. Nous noterons ce groupe \(GL_n({\mathbb R})\text{.}\) Le groupe linéaire général possède plusieurs sous-groupes importants. Les propriétés multiplicatives du déterminant impliquent que l’ensemble des matrices de déterminant égal à un est un sous-groupe du groupe linéaire général. Autrement dit, supposons que \(\det(A) =1\) et \(\det(B) = 1\text{.}\) Alors \(\det(AB) = \det(A) \det (B) = 1\) et \(\det(A^{-1}) = 1 / \det A = 1\text{.}\) Ce sous-groupe est appelé le groupe linéaire spécial et est noté \(SL_n({\mathbb R})\text{.}\)
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\text{,}
\end{equation*}
le déterminant de \(A\) est \(ad-bc\text{.}\) Le groupe \(GL_2({\mathbb R})\) est constitué des matrices pour lesquelles \(ad-bc \neq 0\text{.}\) L’inverse de \(A\) est
\begin{equation*}
A^{-1} =
\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Si \(A\) est dans \(SL_2({\mathbb R})\text{,}\) alors
\begin{equation*}
A^{-1} =
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Géométriquement, \(SL_2({\mathbb R})\) est le groupe qui préserve les aires des parallélogrammes. Soit
un élément de \(SL_2({\mathbb R})\text{.}\) Dans la Figure 12.1.4, le carré unité correspondant aux vecteurs \({\mathbf x} = (1,0)^\transpose\) et \({\mathbf y} = (0,1)^\transpose\) est envoyé par \(A\) sur le parallélogramme de côtés \((1,0)^\transpose\) et \((1, 1)^\transpose\) ; c’est-à-dire que \(A {\mathbf x} = (1,0)^\transpose\) et \(A {\mathbf y} = (1, 1)^\transpose\text{.}\) Remarquons que ces deux parallélogrammes ont la même aire.
Un autre sous-groupe de \(GL_n({\mathbb R})\) est le groupe orthogonal. Une matrice \(A\) est orthogonale si \(A^{-1} = A^\transpose\text{.}\) Le groupe orthogonal est l’ensemble de toutes les matrices orthogonales. Nous notons \(O(n)\) le groupe orthogonal \(n \times n\text{.}\) Nous laissons comme exercice la démonstration que \(O(n)\) est un sous-groupe de \(GL_n( {\mathbb R})\text{.}\)
Il existe une façon plus géométrique de voir le groupe \(O(n)\text{.}\) Les matrices orthogonales sont exactement les matrices qui préservent la longueur des vecteurs. Nous pouvons définir la longueur d’un vecteur à l’aide du produit scalaire euclidien, ou produit scalaire, de deux vecteurs. Le produit scalaire euclidien de deux vecteurs \({\mathbf x}=(x_1, \ldots,
x_n)^\transpose\) et \({\mathbf y}=(y_1, \ldots, y_n)^\transpose\) est
À la notion de longueur d’un vecteur est associée l’idée de distance entre deux vecteurs. Nous définissons la distance entre deux vecteurs \({\mathbf x}\) et \({\mathbf y}\) par \(\| {\mathbf x}-{\mathbf y} \|\text{.}\) Nous laissons comme exercice la démonstration de la proposition suivante sur les propriétés des produits scalaires euclidiens.
Puisque \(\det(A A^\transpose) = \det(I) = 1\) et \(\det(A) = \det( A^\transpose )\text{,}\) le déterminant de toute matrice orthogonale est soit \(1\) soit \(-1\text{.}\) Considérons les vecteurs colonnes
de la matrice orthogonale \(A= (a_{ij})\text{.}\) Puisque \(AA^\transpose = I\text{,}\)\(\langle {\mathbf a}_r, {\mathbf a}_s \rangle = \delta_{rs}\text{,}\) où
\begin{equation*}
\delta_{rs}
=
\begin{cases}
1 & r = s \\
0 & r \neq s
\end{cases}
\end{equation*}
est le delta de Kronecker. Ainsi, les vecteurs colonnes d’une matrice orthogonale ont tous longueur 1 ; et le produit scalaire euclidien de deux vecteurs colonnes distincts est nul. Tout ensemble de vecteurs satisfaisant ces propriétés est appelé un ensemble orthonormal. Réciproquement, étant donné une matrice \(n \times n\)\(A\) dont les colonnes forment un ensemble orthonormal, il s’ensuit que \(A^{-1} = A^\transpose\text{.}\)
Nous disons qu’une matrice \(A\) est préservatrice de distance, préservatrice de longueur, ou préservatrice de produit scalaire lorsque \(\| A{\mathbf x}- A{\mathbf y} \| =\| {\mathbf x}- {\mathbf y} \|\text{,}\)\(\| A{\mathbf x} \| =\| {\mathbf x} \|\text{,}\) ou \(\langle A{\mathbf x}, A{\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf x},{\mathbf y} \rangle\text{,}\) respectivement. Le théorème suivant, qui caractérise le groupe orthogonal, affirme que ces notions sont équivalentes.
\((3) \Rightarrow (2)\text{.}\) D’abord, \(\langle A{\mathbf x}, A {\mathbf y} \rangle = (A{\mathbf x})^\transpose A{\mathbf y} = {\mathbf x}^\transpose A^\transpose A {\mathbf y} = {\mathbf x}^\transpose {\mathbf y}.\) Si \(M\) est une matrice \(n \times n\) quelconque, alors \(\mathbf e_i^\transpose M \mathbf e_j^\transpose = M_{ij}\text{,}\) où \(M_{ij}\) est le coefficient de ligne \(i\) et colonne \(j\) de la matrice \(M\text{.}\) En remarquant que \({\mathbf x}^\transpose A^\transpose A {\mathbf y} = {\mathbf x}^\transpose {\mathbf y}\text{,}\) posons \(\mathbf x = \mathbf e_i\) et \(\mathbf y = \mathbf e_j\text{.}\) Alors
Ainsi, le coefficient \(ij\) de \(A^\transpose A\) est \(1\) lorsque \(i = j\) et \(0\) sinon. En d’autres termes, \(A^\transpose A = I\) et \(A^{-1} = A^\transpose\text{.}\)
Examinons de plus près le groupe orthogonal sur \({\mathbb R}^2\text{.}\) Un élément \(A \in O(2)\) est déterminé par son action sur \({\mathbf e}_1 = (1, 0)^\transpose\) et \({\mathbf e}_2 = (0, 1)^\transpose\text{.}\) Si \(A{\mathbf e}_1 = (a,b)^\transpose\text{,}\) alors \(a^2 + b^2 = 1\text{,}\) puisque la longueur d’un vecteur doit être préservée lors de la multiplication par \(A\text{.}\) Puisque la multiplication par un élément de \(O(2)\) préserve la longueur et l’orthogonalité, \(A{\mathbf e}_2 = \pm(-b, a)^\transpose\text{.}\) Si nous choisissons \(A{\mathbf e}_2 = (-b, a)^\transpose\text{,}\) alors
\begin{equation*}
A
=
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix},
\end{equation*}
où \(0 \leq \theta \lt 2 \pi\text{.}\) La matrice \(A\) fait tourner un vecteur de \(\mathbb R^2\) dans le sens antihoraire autour de l’origine d’un angle \(\theta\) (Figure 12.1.9).
et \(B = AC\) (voir la Figure 12.1.9). Ainsi, une réflexion par rapport à une droite \(\ell\) est simplement une réflexion par rapport à l’axe horizontal suivie d’une rotation.
Deux autres groupes de matrices ou liés aux matrices que nous considérerons sont le groupe orthogonal spécial et le groupe des mouvements euclidiens. Le groupe orthogonal spécial, \(SO(n)\text{,}\) est simplement l’intersection de \(O(n)\) et \(SL_n({\mathbb R})\) ; c’est-à-dire les éléments de \(O(n)\) de déterminant égal à un. Le groupe euclidien, \(E(n)\text{,}\) peut s’écrire comme l’ensemble des paires ordonnées \((A, {\mathbf x})\text{,}\) où \(A\) est dans \(O(n)\) et \({\mathbf x}\) est dans \({\mathbb R}^n\text{.}\) Nous définissons la multiplication par
L’élément neutre du groupe est \((I,{\mathbf 0})\) ; l’inverse de \((A, {\mathbf x})\) est \((A^{-1}, -A^{-1} {\mathbf x})\text{.}\) Dans l’Exercice 12.4.6, on vous demande de vérifier que \(E(n)\) est bien un groupe pour cette opération.
