Section 5.2 Groupes diédraux
Un autre type particulier de groupe de permutations est le groupe diédral. Rappelons le groupe des symétries d’un triangle équilatéral dans le Chapitre 3. De tels groupes sont constitués des mouvements rigides d’un polygone régulier à \(n\) côtés, ou \(n\)-gone. Pour \(n = 3, 4, \ldots\text{,}\) on définit le \(n\)-ième groupe diédral comme étant le groupe des mouvements rigides d’un \(n\)-gone régulier. On notera ce groupe \(D_n\text{.}\) On peut numéroter les sommets d’un \(n\)-gone régulier par \(1, 2, \ldots,
n\) (Figure 5.2.1). Remarquons qu’il y a exactement \(n\) choix pour remplacer le premier sommet. Si l’on remplace le premier sommet par \(k\text{,}\) alors le deuxième sommet doit être remplacé soit par le sommet \(k+1\text{,}\) soit par le sommet \(k-1\) ; ainsi, il y a \(2n\) mouvements rigides possibles du \(n\)-gone. Nous résumons ces résultats dans le théorème suivant.
Théorème 5.2.3.
Le groupe \(D_n\text{,}\) \(n \geq 3\text{,}\) est constitué de tous les produits des deux éléments \(r\) et \(s\text{,}\) où \(r\) est d’ordre \(n\) et \(s\) est d’ordre \(2\text{,}\) et ces deux éléments satisfont la relation \(srs = r^{-1}\text{.}\)
Démonstration.
Les mouvements possibles d’un \(n\)-gone régulier sont soit des réflexions, soit des rotations (Figure 5.2.4). Il y a exactement \(n\) rotations possibles :
\begin{equation*}
\identity, \frac{360^{\circ} }{n}, 2 \cdot \frac{360^{\circ} }{n}, \ldots, (n-1) \cdot \frac{360^{\circ} }{n}\text{.}
\end{equation*}
On désignera la rotation \(360^{\circ} /n\) par \(r\text{.}\) La rotation \(r\) engendre toutes les autres rotations. C’est-à-dire,
\begin{equation*}
r^k = k \cdot \frac{360^{\circ} }{n}\text{.}
\end{equation*}
Notons les \(n\) réflexions \(s_1, s_2, \ldots, s_n\text{,}\) où \(s_k\) est la réflexion qui laisse le sommet \(k\) fixe. Il y a deux cas de réflexions, selon que \(n\) est pair ou impair. S’il y a un nombre pair de sommets, alors deux sommets restent fixes par une réflexion, et \(s_1 = s_{n/2 + 1}, s_2 = s_{n/2 + 2}, \ldots, s_{n/2} = s_n\text{.}\) S’il y a un nombre impair de sommets, alors un seul sommet reste fixe par une réflexion et \(s_1, s_2, \ldots,
s_n\) sont distincts (Figure 5.2.5). Dans les deux cas, l’ordre de chaque \(s_k\) est deux. Posons \(s = s_1\text{.}\) Alors \(s^2 = 1\) et \(r^n = 1\text{.}\) Puisque tout mouvement rigide \(t\) du \(n\)-gone remplace le premier sommet par le sommet \(k\text{,}\) le deuxième sommet doit être remplacé soit par \(k+1\text{,}\) soit par \(k-1\text{.}\) Si le deuxième sommet est remplacé par \(k+1\text{,}\) alors \(t = r^k\text{.}\) Si le deuxième sommet est remplacé par \(k-1\text{,}\) alors \(t = r^k s\text{.}\) Ainsi, \(r\) et \(s\) engendrent \(D_n\text{.}\) C’est-à-dire que \(D_n\) est constitué de tous les produits finis de \(r\) et \(s\text{,}\)
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Puisque nous sommes dans un groupe abstrait, nous adopterons la convention que les éléments du groupe se multiplient de gauche à droite.
\begin{equation*}
D_n = \{1, r, r^2, \ldots, r^{n-1}, s, rs, r^2 s, \ldots, r^{n-1} s\}\text{.}
\end{equation*}
Nous laisserons la démonstration que \(srs = r^{-1}\) en exercice.
Exemple 5.2.6.
Le groupe des mouvements rigides d’un carré, \(D_4\text{,}\) est constitué de huit éléments. Les sommets étant numérotés \(1\text{,}\) \(2\text{,}\) \(3\text{,}\) \(4\) (Figure 5.2.7), les rotations sont
\begin{align*}
r & = (1 \, 2 \, 3 \, 4)\\
r^2 & = (1 \, 3)(2 \, 4)\\
r^3 & = (1 \, 4 \, 3 \, 2)\\
r^4 & = (1)
\end{align*}
et les réflexions sont
\begin{align*}
s_1 & = (2 \, 4)\\
s_2 & = (1 \, 3)\text{.}
\end{align*}
L’ordre de \(D_4\) est \(8\text{.}\) Les deux éléments restants sont
\begin{align*}
r s_1 & = (1 \, 2)(3 \, 4)\\
r^3 s_1 & = (1 \, 4)(2 \, 3)\text{.}
\end{align*}
Sous-section 5.2.1 Le groupe des mouvements d’un cube
On peut étudier les groupes de mouvements rigides d’objets géométriques autres qu’un polygone régulier à \(n\) côtés pour obtenir des exemples intéressants de groupes de permutations. Considérons le groupe des mouvements rigides d’un cube. Par mouvement rigide, on entend une rotation dont l’axe de rotation passe par des faces, des arêtes ou des sommets opposés. L’une des premières questions que l’on peut se poser sur ce groupe est : « quel est son ordre ? » Un cube a \(6\) faces. Si une face particulière est orientée vers le haut, alors il y a quatre rotations possibles du cube qui préserveront cette face orientée vers le haut. Ainsi, l’ordre du groupe est \(6 \cdot 4 = 24\text{.}\) Nous venons de démontrer la proposition suivante.
Proposition 5.2.8.
Le groupe des mouvements rigides d’un cube contient \(24\) éléments.
Théorème 5.2.9.
Le groupe des mouvements rigides d’un cube est \(S_4\text{.}\)
Démonstration.
D’après la Proposition 5.2.8, nous savons déjà que le groupe des mouvements du cube a \(24\) éléments, le même nombre d’éléments que \(S_4\text{.}\) Il y a exactement quatre diagonales dans le cube. Si l’on numérote ces diagonales \(1\text{,}\) \(2\text{,}\) \(3\) et \(4\text{,}\) il faut montrer que le groupe des mouvements du cube donne toutes les permutations des diagonales (Figure 5.2.10). Si l’on peut obtenir toutes ces permutations, alors \(S_4\) et le groupe des mouvements rigides du cube doivent être identiques. Pour obtenir une transposition, on peut faire tourner le cube de \(180^{\circ}\) autour de l’axe joignant les milieux d’arêtes opposées (Figure 5.2.11). Il y a six de ces axes, donnant toutes les transpositions de \(S_4\text{.}\) Puisque tout élément de \(S_4\) est le produit d’un nombre fini de transpositions, le groupe des mouvements d’un cube doit être \(S_4\text{.}\)
