Chapitre 5 Groupes de permutations
Les groupes de permutations sont au cœur de l’étude des symétries géométriques et de la théorie de Galois, qui est l’étude de la résolution des équations polynomiales. Ils fournissent également de nombreux exemples de groupes non abéliens.
Rappelons un instant les symétries du triangle équilatéral \(\bigtriangleup ABC\) du Chapitre 3. Les symétries consistent en réalité en des permutations des trois sommets, où une permutation de l’ensemble \(S = \{ A, B, C \}\) est une application bijective \(\pi :S \rightarrow S\text{.}\) Les trois sommets admettent les six permutations suivantes.
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
A & B & C
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
C & A & B
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
B & C & A
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
A & C & B
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
C & B & A
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
B & A & C
\end{pmatrix}
\end{align*}
Nous avons utilisé le tableau
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
B & C & A
\end{pmatrix}
\end{equation*}
pour désigner la permutation qui envoie \(A\) sur \(B\text{,}\) \(B\) sur \(C\text{,}\) et \(C\) sur \(A\text{.}\) C’est-à-dire,
\begin{align*}
A & \mapsto B\\
B & \mapsto C\\
C & \mapsto A\text{.}
\end{align*}
Les symétries d’un triangle forment un groupe. Dans ce chapitre, nous étudierons des groupes de ce type.
