Section 10.2 La simplicité du groupe alterné
Les groupes sans sous-groupe normal non trivial présentent un intérêt particulier. Ces groupes sont appelés groupes simples. Bien sûr, nous disposons déjà d’une classe entière d’exemples de groupes simples, à savoir \({\mathbb Z}_p\text{,}\) où \(p\) est premier. Ces groupes sont trivialement simples puisqu’ils n’ont pas de sous-groupe propre autre que le sous-groupe réduit à l’élément neutre. D’autres exemples de groupes simples ne se trouvent pas aussi facilement. Nous pouvons cependant montrer que le groupe alterné, \(A_n\text{,}\) est simple pour \(n \geq 5\text{.}\) La démonstration de ce résultat nécessite plusieurs lemmes.
Démonstration.
Pour montrer que les \(3\)-cycles engendrent \(A_n\text{,}\) il suffit de montrer que tout produit de deux transpositions peut s’écrire comme produit de \(3\)-cycles. Puisque \((a, b) = (b, a)\text{,}\) tout produit de deux transpositions est l’un des suivants :
\begin{align*}
(a,b)(a,b) & = \identity\\
(a,b)(c,d) & = (a,c,b)(a,c,d)\\
(a,b)(a,c) & = (a,c,b)\text{.}
\end{align*}
Lemme 10.2.2.
Soit \(N\) un sous-groupe normal de \(A_n\text{,}\) où \(n \geq 3\text{.}\) Si \(N\) contient un \(3\)-cycle, alors \(N = A_n\text{.}\)
Démonstration.
Montrons d’abord que \(A_n\) est engendré par les \(3\)-cycles de la forme particulière \((i,j,k)\text{,}\) où \(i\) et \(j\) sont fixés dans \(\{ 1, 2, \ldots,
n \}\) et \(k\) varie. Tout \(3\)-cycle est un produit de \(3\)-cycles de cette forme, puisque
\begin{align*}
(i, a, j) & = (i, j, a)^2\\
(i, a, b) & = (i, j, b) (i, j, a)^2\\
(j, a, b) & = (i, j, b)^2 (i, j, a)\\
(a, b, c) & = (i, j, a)^2 (i, j, c) (i, j, b)^2 (i, j, a)\text{.}
\end{align*}
Supposons maintenant que \(N\) est un sous-groupe normal non trivial de \(A_n\) pour \(n \geq 3\) tel que \(N\) contient un \(3\)-cycle de la forme \((i, j, a)\text{.}\) En utilisant la normalité de \(N\text{,}\) nous voyons que
\begin{equation*}
[(i, j)(a, k)](i, j, a)^2 [(i, j)(a, k)]^{-1} = (i, j, k)
\end{equation*}
est dans \(N\text{.}\) Donc \(N\) contient tous les \(3\)-cycles \((i, j, k)\) pour \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Par le Lemme 10.2.1, ces \(3\)-cycles engendrent \(A_n\) ; donc \(N = A_n\text{.}\)
Lemme 10.2.3.
Pour \(n \geq 5\text{,}\) tout sous-groupe normal non trivial \(N\) de \(A_n\) contient un \(3\)-cycle.
Démonstration.
Soit \(\sigma\) un élément arbitraire d’un sous-groupe normal \(N\text{.}\) Plusieurs structures de cycles sont possibles pour \(\sigma\text{.}\)
-
\(\sigma\) est un produit de cycles disjoints, \(\sigma = \tau(a_1, a_2, \ldots, a_r) \in N\text{,}\) où \(r \gt 3\text{.}\)
-
\(\sigma\) est un produit de cycles disjoints, \(\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)(a_4, a_5, a_6)\text{.}\)
-
\(\sigma = \tau (a_1, a_2) (a_3, a_4)\text{,}\) où \(\tau\) est un produit d’un nombre pair de transpositions disjointes.
Si \(\sigma\) est un \(3\)-cycle, nous avons terminé. Si \(N\) contient un produit de cycles disjoints \(\sigma\) et qu’au moins l’un de ces cycles est de longueur supérieure à 3, disons \(\sigma = \tau(a_1, a_2, \ldots, a_r)\text{,}\) alors
\begin{equation*}
(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1}
\end{equation*}
est dans \(N\) puisque \(N\) est normal ; donc
\begin{equation*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1}
\end{equation*}
est également dans \(N\text{.}\) Puisque
\begin{align*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} & = \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_3, a_2)\\
& = (a_1, a_2, \ldots, a_r)^{-1}\tau^{-1}(a_1, a_2, a_3) \tau(a_1, a_2, \ldots, a_r)(a_1, a_3, a_2)\\
& = (a_1, a_r, a_{r-1}, \ldots, a_2 )(a_1, a_2, a_3) (a_1, a_2, \ldots, a_r)(a_1, a_3, a_2)\\
& = (a_1, a_3, a_r)\text{,}
\end{align*}
\(N\) doit contenir un \(3\)-cycle ; donc \(N = A_n\text{.}\)
Supposons maintenant que \(N\) contient un produit disjoint de la forme
\begin{equation*}
\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)(a_4, a_5, a_6)\text{.}
\end{equation*}
Alors
\begin{equation*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_4)\sigma(a_1, a_2, a_4)^{-1} \in N
\end{equation*}
puisque
\begin{equation*}
(a_1, a_2, a_4)\sigma(a_1, a_2, a_4)^{-1} \in N\text{.}
\end{equation*}
Donc
\begin{align*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_4) \sigma(a_1, a_2, a_4)^{-1} & = [ \tau (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6) ]^{-1} (a_1, a_2, a_4) \tau (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6) (a_1, a_2, a_4)^{-1}\\
& = (a_4, a_6, a_5) (a_1, a_3, a_2) \tau^{-1}(a_1, a_2, a_4) \tau (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6) (a_1, a_4, a_2)\\
& = (a_4, a_6, a_5)(a_1, a_3, a_2) (a_1, a_2, a_4) (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6)(a_1, a_4, a_2)\\
& = (a_1, a_4, a_2, a_6, a_3)\text{.}
\end{align*}
Donc \(N\) contient un cycle disjoint de longueur supérieure à 3, et nous pouvons appliquer le cas précédent.
Supposons que \(N\) contient un produit disjoint de la forme \(\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)\text{,}\) où \(\tau\) est un produit de transpositions disjointes. Puisque \(\sigma \in N\text{,}\) \(\sigma^2 \in N\text{,}\) et
\begin{align*}
\sigma^2 & = \tau(a_1, a_2, a_3)\tau(a_1, a_2, a_3)\\
& =(a_1, a_3, a_2)\text{.}
\end{align*}
Donc \(N\) contient un \(3\)-cycle.
Le seul cas restant est un produit disjoint de la forme
\begin{equation*}
\sigma = \tau (a_1, a_2) (a_3, a_4)\text{,}
\end{equation*}
où \(\tau\) est un produit d’un nombre pair de \(2\)-cycles disjoints. Mais
\begin{equation*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1}
\end{equation*}
est dans \(N\) puisque \((a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1}\) est dans \(N\) ; et donc
\begin{align*}
\sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} & = \tau^{-1} (a_1, a_2) (a_3, a_4) (a_1, a_2, a_3) \tau (a_1, a_2)(a_3, a_4)(a_1, a_2, a_3)^{-1}\\
& = (a_1, a_3)(a_2, a_4)\text{.}
\end{align*}
Puisque \(n \geq 5\text{,}\) nous pouvons trouver \(b \in \{1, 2, \ldots,
n \}\) tel que \(b \neq a_1, a_2, a_3, a_4\text{.}\) Posons \(\mu = (a_1, a_3, b)\text{.}\) Alors
\begin{equation*}
\mu^{-1} (a_1, a_3)(a_2, a_4) \mu (a_1, a_3)(a_2, a_4) \in N
\end{equation*}
et
\begin{align*}
\mu^{-1} (a_1, a_3)(a_2, a_4) \mu (a_1, a_3)(a_2, a_4) & = (a_1, b a_3)(a_1, a_3)(a_2, a_4) (a_1, a_3, b)(a_1, a_3)(a_2, a_4)\\
& = (a_1 a_3 b )\text{.}
\end{align*}
Donc \(N\) contient un \(3\)-cycle. Cela complète la démonstration du lemme.
Théorème 10.2.4.
Démonstration.
Soit \(N\) un sous-groupe normal de \(A_n\text{.}\) Par le Lemme 10.2.3, \(N\) contient un \(3\)-cycle. Par le Lemme 10.2.2, \(N = A_n\) ; donc \(A_n\) ne contient aucun sous-groupe normal propre non trivial pour \(n \geq 5\text{.}\)
Sous-section 10.2.1 Note historique
L’un des problèmes les plus importants de la théorie des groupes a été de classifier tous les groupes simples finis. Ce problème a plus d’un siècle et n’a été résolu que dans les dernières décennies du vingtième siècle. En un sens, les groupes simples finis sont les blocs constitutifs de tous les groupes finis. Les premiers groupes simples non abéliens à avoir été découverts furent les groupes alternés. Galois fut le premier à démontrer que \(A_5\) était simple. Plus tard, des mathématiciens tels que C. Jordan et L. E. Dickson trouvèrent plusieurs familles infinies de groupes de matrices qui étaient simples. D’autres familles de groupes simples furent découvertes dans les années 1950. Au tournant du siècle, William Burnside conjectura que tout groupe simple non abélien devait être d’ordre pair. En 1963, W. Feit et J. Thompson démontrèrent la conjecture de Burnside et publièrent leurs résultats dans l’article « Solvability of Groups of Odd Order » (Résolubilité des groupes d’ordre impair), paru dans le Pacific Journal of Mathematics. Leur démonstration, dépassant les 250 pages, donna l’impulsion à un programme des années 1960 et 1970 visant à classifier tous les groupes simples finis. Daniel Gorenstein fut l’organisateur de cet effort remarquable. L’un des derniers groupes simples à avoir été découvert fut le « Monstre », découvert par R. Greiss. Le Monstre, un groupe de matrices \(196{,}833 \times 196{,}833\text{,}\) est l’un des 26 groupes simples sporadiques, ou exceptionnels. Ces groupes simples sporadiques sont des groupes qui n’appartiennent à aucune famille infinie de groupes simples. Certains des groupes sporadiques jouent un rôle important en physique.
