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Algèbre abstraite Théorie et applications

Thomas W. Judson

Section 13.2 Groupes résolubles

Une suite sous-normale d’un groupe \(G\) est une suite finie de sous-groupes
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{,} \end{equation*}
où \(H_i\) est un sous-groupe normal de \(H_{i+1}\text{.}\) Si chaque sous-groupe \(H_i\) est normal dans \(G\text{,}\) alors la suite est appelée suite normale. La longueur d’une suite sous-normale ou normale est le nombre d’inclusions propres.
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Exemple 13.2.1.

Toute suite de sous-groupes d’un groupe abélien est une suite normale. Considérons les suites de groupes suivantes :
\begin{gather*} {\mathbb Z} \supset 9{\mathbb Z} \supset 45{\mathbb Z} \supset 180{\mathbb Z} \supset \{0\},\\ {\mathbb Z}_{24} \supset \langle 2 \rangle \supset \langle 6 \rangle \supset \langle 12 \rangle \supset \{0\}\text{.} \end{gather*}
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Exemple 13.2.2.

Une suite sous-normale n’est pas nécessairement une suite normale. Considérons la suite sous-normale suivante du groupe \(D_4\) :
\begin{equation*} D_4 \supset \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \} \supset \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4) \} \supset \{ (1) \}\text{.} \end{equation*}
Le sous-groupe \(\{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4) \}\) n’est pas normal dans \(D_4\) ; par conséquent, cette suite n’est pas une suite normale.
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Une suite sous-normale (normale) \(\{ K_j \}\) est un raffinement d’une suite sous-normale (normale) \(\{ H_i \}\) si \(\{ H_i \} \subset \{ K_j \}\text{.}\) C’est-à-dire que chaque \(H_i\) est l’un des \(K_j\text{.}\)
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Exemple 13.2.3.

La suite
\begin{equation*} {\mathbb Z} \supset 3{\mathbb Z} \supset 9{\mathbb Z} \supset 45{\mathbb Z} \supset 90{\mathbb Z} \supset 180{\mathbb Z} \supset \{0\} \end{equation*}
est un raffinement de la suite
\begin{equation*} {\mathbb Z} \supset 9{\mathbb Z} \supset 45{\mathbb Z} \supset 180{\mathbb Z} \supset \{0\}\text{.} \end{equation*}
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La meilleure façon d’étudier une suite sous-normale ou normale de sous-groupes, \(\{ H_i \}\) de \(G\text{,}\) est d’étudier les groupes quotients \(H_{i+1}/H_i\text{.}\) Nous disons que deux suites sous-normales (normales) \(\{H_i \}\) et \(\{ K_j \}\) d’un groupe \(G\) sont isomorphes s’il existe une correspondance bijective entre les collections de groupes quotients \(\{H_{i+1}/H_i \}\) et \(\{ K_{j+1}/ K_j \}\text{.}\)
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Exemple 13.2.4.

Les deux suites normales
\begin{gather*} {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 3 \rangle \supset \langle 15 \rangle \supset \{ 0 \}\\ {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 4 \rangle \supset \langle 20 \rangle \supset \{ 0 \} \end{gather*}
du groupe \({\mathbb Z}_{60}\) sont isomorphes car
\begin{gather*} {\mathbb Z}_{60} / \langle 3 \rangle \cong \langle 20 \rangle / \{ 0 \} \cong {\mathbb Z}_{3}\\ \langle 3 \rangle / \langle 15 \rangle \cong \langle 4 \rangle / \langle 20 \rangle \cong {\mathbb Z}_{5}\\ \langle 15 \rangle / \{ 0 \} \cong {\mathbb Z}_{60} / \langle 4 \rangle \cong {\mathbb Z}_4\text{.} \end{gather*}
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Une suite sous-normale \(\{ H_i \}\) d’un groupe \(G\) est une suite de composition si tous les groupes quotients sont simples ; c’est-à-dire si aucun des groupes quotients de la suite ne contient de sous-groupe normal. Une suite normale \(\{ H_i \}\) de \(G\) est une suite principale si tous les groupes quotients sont simples.
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Exemple 13.2.5.

Le groupe \({\mathbb Z}_{60}\) possède une suite de composition
\begin{equation*} {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 3 \rangle \supset \langle 15 \rangle \supset \langle 30 \rangle \supset \{ 0 \} \end{equation*}
avec les groupes quotients
\begin{align*} {\mathbb Z}_{60} / \langle 3 \rangle & \cong {\mathbb Z}_{3}\\ \langle 3 \rangle / \langle 15 \rangle & \cong {\mathbb Z}_{5}\\ \langle 15 \rangle / \langle 30 \rangle & \cong {\mathbb Z}_{2}\\ \langle 30 \rangle / \{ 0 \} & \cong {\mathbb Z}_2\text{.} \end{align*}
Comme \({\mathbb Z}_{60}\) est un groupe abélien, cette suite est automatiquement une suite principale. Remarquons qu’une suite de composition n’est pas nécessairement unique. La suite
\begin{equation*} {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 2 \rangle \supset \langle 4 \rangle \supset \langle 20 \rangle \supset \{ 0 \} \end{equation*}
est également une suite de composition.
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Exemple 13.2.6.

Pour \(n \geq 5\text{,}\) la suite
\begin{equation*} S_n \supset A_n \supset \{ (1) \} \end{equation*}
est une suite de composition pour \(S_n\) car \(S_n / A_n \cong {\mathbb Z}_2\) et \(A_n\) est simple.
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Exemple 13.2.7.

Tous les groupes ne possèdent pas une suite de composition ou une suite principale. Supposons que
\begin{equation*} \{ 0 \} = H_0 \subset H_1 \subset \cdots \subset H_{n-1} \subset H_n = {\mathbb Z} \end{equation*}
est une suite sous-normale pour les entiers munis de l’addition. Alors \(H_1\) doit être de la forme \(k {\mathbb Z}\) pour un certain \(k \in {\mathbb N}\text{.}\) Dans ce cas \(H_1 / H_0 \cong k {\mathbb Z}\) est un groupe cyclique infini ayant de nombreux sous-groupes normaux propres non triviaux.
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Bien que les suites de composition ne soient pas nécessairement uniques, comme dans le cas de \({\mathbb Z}_{60}\text{,}\) il s’avère que deux suites de composition quelconques sont liées. Les groupes quotients des deux suites de composition de \({\mathbb Z}_{60}\) sont \({\mathbb Z}_2\text{,}\) \({\mathbb Z}_2\text{,}\) \({\mathbb Z}_3\) et \({\mathbb Z}_5\) ; c’est-à-dire que les deux suites de composition sont isomorphes. Le Théorème de Jordan-Hölder affirme que c’est toujours le cas.
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Démonstration.

Nous allons utiliser la récurrence mathématique sur la longueur de la suite de composition. Si la longueur d’une suite de composition est 1, alors \(G\) doit être un groupe simple. Dans ce cas, deux suites de composition quelconques sont isomorphes.
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Supposons maintenant que le théorème est vrai pour tous les groupes ayant une suite de composition de longueur \(k\text{,}\) où \(1 \leq k \lt n\text{.}\) Soient
\begin{gather*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\\ G = K_m \supset K_{m-1} \supset \cdots \supset K_1 \supset K_0 = \{ e \} \end{gather*}
deux suites de composition pour \(G\text{.}\) Nous pouvons former deux nouvelles suites sous-normales pour \(G\) car \(H_i \cap K_{m-1}\) est normal dans \(H_{i+1} \cap K_{m-1}\) et \(K_j \cap H_{n-1}\) est normal dans \(K_{j+1} \cap H_{n-1}\) :
\begin{gather*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \}\\ G = K_m \supset K_{m-1} \supset K_{m-1} \cap H_{n-1} \supset \cdots \supset K_0 \cap H_{n-1} = \{ e \}\text{.} \end{gather*}
Comme \(H_i \cap K_{m-1}\) est normal dans \(H_{i+1} \cap K_{m-1}\text{,}\) le Deuxième Théorème d’isomorphisme (Théorème 11.2.3) implique que
\begin{align*} (H_{i+1} \cap K_{m-1}) / (H_i \cap K_{m-1}) & = (H_{i+1} \cap K_{m-1}) / (H_i \cap ( H_{i+1} \cap K_{m-1} ))\\ & \cong H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})/ H_i\text{,} \end{align*}
où \(H_i\) est normal dans \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})\text{.}\) Comme \(\{ H_i \}\) est une suite de composition, \(H_{i+1} / H_i\) doit être simple ; par conséquent, \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})/ H_i\) est soit \(H_{i+1}/H_i\) soit \(H_i/H_i\text{.}\) C’est-à-dire que \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})\) doit être soit \(H_i\) soit \(H_{i+1}\text{.}\) En supprimant les inclusions non propres de la suite
\begin{equation*} H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \}\text{,} \end{equation*}
nous obtenons une suite de composition pour \(H_{n-1}\text{.}\) Notre hypothèse de récurrence dit que cette suite doit être équivalente à la suite de composition
\begin{equation*} H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{.} \end{equation*}
Donc, les suites de composition
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \} \end{equation*}
et
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \} \end{equation*}
sont équivalentes. Si \(H_{n-1} = K_{m-1}\text{,}\) alors les suites de composition \(\{H_i \}\) et \(\{ K_j \}\) sont équivalentes et nous avons terminé ; sinon, \(H_{n-1} K_{m-1}\) est un sous-groupe normal de \(G\) contenant proprement \(H_{n-1}\text{.}\) Dans ce cas, \(H_{n-1} K_{m-1} = G\) et nous pouvons à nouveau appliquer le Deuxième Théorème d’isomorphisme ; c’est-à-dire,
\begin{equation*} K_{m-1} / (K_{m-1} \cap H_{n-1}) \cong (H_{n-1} K_{m-1}) / H_{n-1} = G/H_{n-1}\text{.} \end{equation*}
Par conséquent,
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \} \end{equation*}
et
\begin{equation*} G = K_m \supset K_{m-1} \supset K_{m-1} \cap H_{n-1} \supset \cdots \supset K_0 \cap H_{n-1} = \{ e \} \end{equation*}
sont équivalentes et la démonstration du théorème est complète.
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Un groupe \(G\) est résoluble s’il possède une suite sous-normale \(\{ H_i \}\) telle que tous les groupes quotients \(H_{i+1} / H_i\) sont abéliens. Les groupes résolubles joueront un rôle fondamental lorsque nous étudierons la théorie de Galois et la résolution des équations polynomiales.
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Exemple 13.2.9.

Le groupe \(S_4\) est résoluble car
\begin{equation*} S_4 \supset A_4 \supset \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \} \supset \{ (1) \} \end{equation*}
a des groupes quotients abéliens ; cependant, pour \(n \geq 5\) la suite
\begin{equation*} S_n \supset A_n \supset \{ (1) \} \end{equation*}
est une suite de composition pour \(S_n\) avec un groupe quotient non abélien. Par conséquent, \(S_n\) n’est pas un groupe résoluble pour \(n \geq 5\text{.}\)
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