Section 1.1 Brève remarque sur les démonstrations
Les mathématiques abstraites diffèrent des autres sciences. Dans les sciences expérimentales telles que la chimie et la physique, les scientifiques réalisent des expériences pour découvrir de nouveaux principes et vérifier des théories. Bien que les mathématiques soient souvent motivées par l’expérimentation physique ou par des simulations informatiques, elles sont rendues rigoureuses par l’utilisation d’arguments logiques. En étudiant les mathématiques abstraites, nous adoptons ce qu’on appelle une approche axiomatique ; c’est-à-dire que nous prenons une collection d’objets \(\mathcal S\) et supposons certaines règles concernant leur structure. Ces règles sont appelées axiomes. En utilisant les axiomes de \(\mathcal S\text{,}\) nous souhaitons déduire d’autres informations sur \(\mathcal S\) à l’aide d’arguments logiques. Nous exigeons que nos axiomes soient cohérents ; c’est-à-dire qu’ils ne doivent pas se contredire mutuellement. Nous exigeons également qu’il n’y ait pas trop d’axiomes. Si un système d’axiomes est trop restrictif, il y aura peu d’exemples de la structure mathématique.
Un énoncé en logique ou en mathématiques est une assertion qui est soit vraie soit fausse. Considérons les exemples suivants :
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\(3 + 56 - 13 + 8/2 \text{.}\)
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Tous les chats sont noirs.
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\(2 + 3 = 5\text{.}\)
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Si \(ax^2 + bx + c = 0\) et \(a \neq 0\text{,}\) alors\begin{equation*} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.} \end{equation*}
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\(x^3 - 4x^2 + 5 x - 6\text{.}\)
Tous les exemples sauf le premier et le dernier sont des énoncés, et doivent être soit vrais soit faux.
Une démonstration mathématique n’est rien d’autre qu’un argument convaincant concernant l’exactitude d’un énoncé. Un tel argument doit contenir suffisamment de détails pour convaincre l’auditoire ; par exemple, on peut voir que l’énoncé « \(2x = 6\) exactement lorsque \(x = 4\) » est faux en calculant \(2 \cdot 4\) et en remarquant que \(6 \neq 8\text{,}\) un argument qui satisferait n’importe qui. Bien entendu, les auditoires peuvent varier considérablement : les démonstrations peuvent s’adresser à un autre étudiant, à un professeur, ou au lecteur d’un manuel. Si plus de détails que nécessaire sont présentés dans la démonstration, l’explication sera soit verbeuse soit mal rédigée. Si trop de détails sont omis, la démonstration risque de ne pas être convaincante. Il est encore une fois important de garder l’auditoire à l’esprit. Les lycéens ont besoin de beaucoup plus de détails que les étudiants en master. Une bonne règle empirique pour un argument dans un cours d’introduction à l’algèbre abstraite est qu’il devrait être rédigé de façon à convaincre ses pairs, que ces pairs soient d’autres étudiants ou d’autres lecteurs du texte.
Examinons différents types d’énoncés. Un énoncé peut être aussi simple que « \(10/5 = 2\) ; » cependant, les mathématiciens s’intéressent généralement à des énoncés plus complexes tels que « Si \(p\text{,}\) alors \(q\text{,}\) » où \(p\) et \(q\) sont tous deux des énoncés. Si certains énoncés sont connus ou supposés vrais, nous souhaitons savoir ce que nous pouvons dire sur d’autres énoncés. Ici \(p\) est appelé l’hypothèse et \(q\) est appelé la conclusion. Considérons l’énoncé suivant : si \(ax^2 + bx + c = 0\) et \(a \neq 0\text{,}\) alors
\begin{equation*}
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}
\end{equation*}
L’hypothèse est \(ax^2 + bx + c = 0\) et \(a \neq 0\) ; la conclusion est
\begin{equation*}
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}
\end{equation*}
Remarquons que l’énoncé ne dit rien sur la véracité ou non de l’hypothèse. Cependant, si cet énoncé entier est vrai et que nous pouvons montrer que \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\) est vrai, alors la conclusion doit être vraie. Une démonstration de cet énoncé pourrait simplement être une série d’équations :
\begin{align*}
ax^2 + bx + c & = 0\\
x^2 + \frac{b}{a}x & = - \frac{c}{a}\\
x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 & = \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}\\
\left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 & = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\\
x + \frac{b}{2a} & = \frac{ \pm \sqrt{ b^2 -4ac}}{2a}\\
x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}
\end{align*}
Si nous pouvons démontrer qu’un énoncé est vrai, alors cet énoncé est appelé une proposition. Une proposition d’importance majeure est appelée un théorème. Parfois, au lieu de démontrer un théorème ou une proposition d’un seul coup, nous décomposons la démonstration en modules ; c’est-à-dire que nous démontrons plusieurs propositions auxiliaires, qui sont appelées lemmes, et nous utilisons les résultats de ces propositions pour démontrer le résultat principal. Si nous pouvons démontrer une proposition ou un théorème, nous serons souvent en mesure, avec très peu d’effort, de déduire d’autres propositions connexes appelées corollaires.
Sous-section 1.1.1 Quelques mises en garde et suggestions
Il existe plusieurs stratégies différentes pour démontrer des propositions. En plus d’utiliser différentes méthodes de démonstration, les étudiants font souvent des erreurs courantes lorsqu’ils apprennent pour la première fois à démontrer des théorèmes. Pour aider les étudiants qui étudient les mathématiques abstraites pour la première fois, nous listons ici certaines des difficultés qu’ils peuvent rencontrer et certaines des stratégies de démonstration à leur disposition. Il est conseillé de revenir régulièrement à cette liste pour s’en souvenir. (D’autres techniques de démonstration deviendront apparentes tout au long de ce chapitre et du reste du texte.)
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Un théorème ne peut pas être démontré par un exemple ; cependant, la méthode habituelle pour montrer qu’un énoncé n’est pas un théorème est de fournir un contre-exemple.
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Les quantificateurs sont importants. Des mots et expressions tels que seulement, pour tout, pour chaque, et pour un certain ont des significations différentes.
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Ne jamais supposer une hypothèse qui n’est pas explicitement énoncée dans le théorème. On ne peut pas tenir les choses pour acquises.
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Supposons que vous souhaitiez montrer qu’un objet existe et est unique. Montrez d’abord qu’un tel objet existe effectivement. Pour montrer qu’il est unique, supposez qu’il existe deux tels objets, disons \(r\) et \(s\text{,}\) puis montrez que \(r = s\text{.}\)
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Il est parfois plus facile de démontrer la contraposée d’un énoncé. Démontrer l’énoncé « Si \(p\text{,}\) alors \(q\) » est exactement la même chose que démontrer l’énoncé « Si non \(q\text{,}\) alors non \(p\text{.}\) »
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Bien qu’il soit généralement préférable de trouver une démonstration directe d’un théorème, cette tâche peut parfois être difficile. Il peut être plus facile de supposer que le théorème que vous essayez de démontrer est faux, et d’espérer que dans le cours de votre raisonnement vous soyez contraint d’énoncer quelque chose qui ne peut en aucun cas être vrai.
Rappelons que l’un des objectifs principaux des mathématiques supérieures est la démonstration de théorèmes. Les théorèmes sont des outils qui rendent possibles des applications nouvelles et productives des mathématiques. Nous utilisons des exemples pour donner un aperçu des théorèmes existants et pour favoriser l’intuition quant aux nouveaux théorèmes qui pourraient être vrais. Les applications, les exemples, et les démonstrations sont étroitement interconnectés—bien plus qu’ils ne peuvent sembler l’être à première vue.
