Chapitre 17 Polynômes
La plupart des gens sont assez familiers avec les polynômes lorsqu’ils commencent à étudier l’algèbre abstraite. Lorsque nous examinons des expressions polynomiales telles que
\begin{align*}
p(x) & = x^3 -3x +2\\
q(x) & = 3x^2 -6x +5\text{,}
\end{align*}
nous avons une assez bonne idée de ce que signifient \(p(x) + q(x)\) et \(p(x) q(x)\text{.}\) On additionne et multiplie simplement les polynômes comme des fonctions ; c’est-à-dire,
\begin{align*}
(p +q)(x) & = p(x) + q(x)\\
& = ( x^3 - 3 x + 2 ) + ( 3 x^2 - 6 x + 5 )\\
& = x^3 + 3 x^2 - 9 x + 7
\end{align*}
et
\begin{align*}
(p q)(x) & = p(x) q(x)\\
& = ( x^3 - 3 x + 2 ) ( 3 x^2 - 6 x + 5 )\\
& = 3 x^5 - 6 x^4 - 4 x^3 + 24 x^2 - 27 x + 10\text{.}
\end{align*}
Il n’est probablement pas surprenant que les polynômes forment un anneau. Dans ce chapitre, nous mettrons l’accent sur la structure algébrique des polynômes en étudiant les anneaux de polynômes. Nous pouvons démontrer pour les anneaux de polynômes de nombreux résultats analogues aux théorèmes que nous avons prouvés pour les entiers. Des analogues des nombres premiers, de l’algorithme de division et de l’algorithme d’Euclide existent pour les polynômes.
