Parfois, nous souhaitons étudier des groupes plus petits contenus dans un groupe plus grand. L’ensemble des entiers pairs \(2{\mathbb Z} = \{\ldots, -2, 0, 2, 4, \ldots \}\) est un groupe pour l’opération d’addition. Ce groupe plus petit se trouve naturellement à l’intérieur du groupe des entiers munis de l’addition. Nous définissons un sous-groupe \(H\) d’un groupe \(G\) comme un sous-ensemble \(H\) de \(G\) tel que, lorsqu’on restreint l’opération de groupe de \(G\) à \(H\text{,}\)\(H\) est un groupe en lui-même. Remarquez que tout groupe \(G\) ayant au moins deux éléments aura toujours au moins deux sous-groupes : le sous-groupe constitué du seul élément neutre et le groupe tout entier. Le sous-groupe \(H = \{ e \}\) d’un groupe \(G\) est appelé le sous-groupe trivial. Un sous-groupe qui est un sous-ensemble propre de \(G\) est appelé un sous-groupe propre. Dans beaucoup des exemples que nous avons examinés jusqu’ici, il existe d’autres sous-groupes en dehors des sous-groupes trivial et impropre.
Considérons l’ensemble des réels non nuls, \({\mathbb R}^*\text{,}\) muni de l’opération de multiplication. L’élément neutre de ce groupe est \(1\) et l’inverse de tout élément \(a \in {\mathbb R}^*\) est simplement \(1/a\text{.}\) Nous allons montrer que
\begin{equation*}
{\mathbb Q}^* = \{ p/q : p \, \text{et}\, q\, \text{sont des entiers non nuls} \}
\end{equation*}
est un sous-groupe de \({\mathbb R}^*\text{.}\) L’élément neutre de \({\mathbb R}^*\) est \(1\) ; or \(1 = 1/1\) est le quotient de deux entiers non nuls. Donc l’élément neutre de \({\mathbb R}^*\) est dans \({\mathbb Q}^*\text{.}\) Étant donné deux éléments de \({\mathbb Q}^*\text{,}\) disons \(p/q\) et \(r/s\text{,}\) leur produit \(pr/qs\) est aussi dans \({\mathbb Q}^*\text{.}\) L’inverse de tout élément \(p/q \in {\mathbb Q}^*\) est encore dans \({\mathbb Q}^*\) puisque \((p/q)^{-1} = q/p\text{.}\) Puisque la multiplication dans \({\mathbb R}^*\) est associative, la multiplication dans \({\mathbb Q}^*\) l’est aussi.
Rappelons que \({\mathbb C}^{\ast}\) est le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls. Soit \(H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\) Alors \(H\) est un sous-groupe de \({\mathbb C}^{\ast}\text{.}\) Il est très facile de vérifier que \(H\) est un groupe pour la multiplication et que \(H \subset {\mathbb C}^{\ast}\text{.}\)
Soit \(SL_2( {\mathbb R})\) le sous-ensemble de \(GL_2( {\mathbb R })\) constitué des matrices de déterminant un ; c’est-à-dire qu’une matrice
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\end{equation*}
est dans \(SL_2( {\mathbb R})\) si et seulement si \(ad - bc = 1\text{.}\) Pour montrer que \(SL_2( {\mathbb R})\) est un sous-groupe du groupe linéaire général, nous devons montrer que c’est un groupe pour la multiplication matricielle. La matrice identité \(2 \times 2\) est dans \(SL_2( {\mathbb R})\text{,}\) de même que l’inverse de la matrice \(A\) :
\begin{equation*}
A^{-1} =
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Il reste à montrer que la multiplication est stable ; c’est-à-dire que le produit de deux matrices de déterminant un a aussi pour déterminant un. Nous laisserons cette tâche en exercice. Le groupe \(SL_2({\mathbb R})\) est appelé le groupe spécial linéaire.
Il est important de réaliser qu’un sous-ensemble \(H\) d’un groupe \(G\) peut être un groupe sans être un sous-groupe de \(G\text{.}\) Pour que \(H\) soit un sous-groupe de \(G\text{,}\) il doit hériter de l’opération binaire de \(G\text{.}\) L’ensemble de toutes les matrices \(2 \times 2\text{,}\)\({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{,}\) forme un groupe pour l’opération d’addition. Le groupe linéaire général \(2 \times 2\) est un sous-ensemble de \({\mathbb M}_2(\mathbb R)\) et est un groupe pour la multiplication matricielle, mais ce n’est pas un sous-groupe de \({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{.}\) En effet, si l’on additionne deux matrices inversibles, on n’obtient pas nécessairement une autre matrice inversible. Observons que
Une façon de déterminer si deux groupes sont identiques est d’examiner leurs sous-groupes. En dehors du sous-groupe trivial et du groupe lui-même, le groupe \({\mathbb Z}_4\) n’a qu’un seul sous-groupe, constitué des éléments \(0\) et \(2\text{.}\) À partir du groupe \({\mathbb Z}_2\text{,}\) nous pouvons former un autre groupe de quatre éléments de la façon suivante. En tant qu’ensemble, ce groupe est \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Nous effectuons l’opération de groupe composante par composante ; c’est-à-dire \((a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)\text{.}\) La Figure 3.3.6 est une table d’addition pour \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Puisque \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) possède trois sous-groupes propres non triviaux, \(H_1 = \{ (0,0), (0,1) \}\text{,}\)\(H_2 = \{ (0,0), (1,0) \}\) et \(H_3 = \{ (0,0), (1,1) \}\text{,}\) les groupes \({\mathbb Z}_4\) et \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) sont nécessairement différents.
Supposons d’abord que \(H\) est un sous-groupe de \(G\text{.}\) Nous devons montrer que les trois conditions sont satisfaites. Puisque \(H\) est un groupe, il doit avoir un élément neutre \(e_H\text{.}\) Nous devons montrer que \(e_H = e\text{,}\) où \(e\) est l’élément neutre de \(G\text{.}\) Nous savons que \(e_H e_H = e_H\) et que \(ee_H = e_H e = e_H\) ; donc \(ee_H = e_H e_H\text{.}\) Par simplification à droite, \(e = e_H\text{.}\) La deuxième condition est satisfaite puisqu’un sous-groupe \(H\) est un groupe. Pour prouver la troisième condition, soit \(h \in H\text{.}\) Puisque \(H\) est un groupe, il existe un élément \(h' \in H\) tel que \(hh' = h'h = e\text{.}\) Par l’unicité de l’inverse dans \(G\text{,}\)\(h' = h^{-1}\text{.}\)
Réciproquement, si les trois conditions sont satisfaites, nous devons montrer que \(H\) est un groupe pour la même opération que \(G\) ; or ces conditions, ajoutées à l’associativité de l’opération binaire, sont exactement les axiomes énoncés dans la définition d’un groupe.
Soit \(H\) un sous-ensemble d’un groupe \(G\text{.}\) Alors \(H\) est un sous-groupe de \(G\) si et seulement si \(H \neq \emptyset\) et, pour tous \(g, h \in H\text{,}\)\(gh^{-1}\) est dans \(H\text{.}\)
Supposons d’abord que \(H\) est un sous-groupe de \(G\text{.}\) Nous voulons montrer que \(gh^{-1} \in H\) pour tous \(g\) et \(h\) dans \(H\text{.}\) Puisque \(h\) est dans \(H\text{,}\) son inverse \(h^{-1}\) doit aussi être dans \(H\text{.}\) Par la stabilité de l’opération de groupe, \(gh^{-1} \in H\text{.}\)
Réciproquement, supposons que \(H \subset G\) soit tel que \(H \neq \emptyset\) et \(g h^{-1} \in H\) pour tous \(g, h \in H\text{.}\) Si \(g \in H\text{,}\) alors \(gg^{-1} = e\) est dans \(H\text{.}\) Si \(g \in H\text{,}\) alors \(eg^{-1} = g^{-1}\) est aussi dans \(H\text{.}\) Maintenant soient \(h_1, h_2 \in H\text{.}\) Nous devons montrer que leur produit est aussi dans \(H\text{.}\) Or \(h_1(h_2^{-1})^{-1} = h_1 h_2 \in H\text{.}\) Donc \(H\) est un sous-groupe de \(G\text{.}\)
