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Algèbre abstraite Théorie et applications

Thomas W. Judson

Section 13.1 Groupes abéliens finis

Dans notre étude des groupes cycliques, nous avons découvert que tout groupe d’ordre premier est isomorphe à \({\mathbb Z}_p\text{,}\) où \(p\) est un nombre premier. Nous avons également établi que \({\mathbb Z}_{mn} \cong {\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\) lorsque \(\gcd(m, n) =1\text{.}\) En fait, il y a bien plus à dire. Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de groupes cycliques d’ordre une puissance d’un nombre premier ; c’est-à-dire que tout groupe abélien fini est isomorphe à un groupe de la forme
\begin{equation*} {\mathbb Z}_{p_1^{\alpha_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_n^{\alpha_n}}\text{,} \end{equation*}
où chaque \(p_k\) est premier (pas nécessairement distincts).
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Commençons par examiner une légère généralisation des groupes abéliens finis. Supposons que \(G\) est un groupe et soit \(\{ g_i\}\) un ensemble d’éléments de \(G\text{,}\) où \(i\) appartient à un ensemble d’indices \(I\) (pas nécessairement fini). Le plus petit sous-groupe de \(G\) contenant tous les \(g_i\) est le sous-groupe de \(G\) engendré par les \(g_i\text{.}\) Si ce sous-groupe de \(G\) est en fait \(G\) tout entier, alors \(G\) est engendré par l’ensemble \(\{g_i : i \in I \}\text{.}\) Dans ce cas, les \(g_i\) sont appelés les générateurs de \(G\text{.}\) S’il existe un ensemble fini \(\{ g_i : i \in I \}\) qui engendre \(G\text{,}\) alors \(G\) est de type fini.
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Exemple 13.1.1.

Il est évident que tous les groupes finis sont de type fini. Par exemple, le groupe \(S_3\) est engendré par les permutations \((1 \, 2)\) et \((1 \, 2 \,3)\text{.}\) Le groupe \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}_n\) est un groupe infini mais il est de type fini, engendré par \(\{ (1,0), (0,1) \}\text{.}\)
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Exemple 13.1.2.

Tous les groupes ne sont pas de type fini. Considérons les nombres rationnels \({\mathbb Q}\) munis de l’addition. Supposons que \({\mathbb Q}\) est de type fini avec des générateurs \(p_1/q_1, \ldots, p_n/q_n\text{,}\) où chaque \(p_i/q_i\) est une fraction exprimée sous forme irréductible. Soit \(p\) un nombre premier qui ne divise aucun des dénominateurs \(q_1, \ldots, q_n\text{.}\) Nous affirmons que \(1/p\) ne peut pas être dans le sous-groupe de \({\mathbb Q}\) engendré par \(p_1/q_1, \ldots, p_n/q_n\text{,}\) car \(p\) ne divise pas le dénominateur de tout élément de ce sous-groupe. Ce fait est facile à voir car la somme de deux générateurs quelconques est
\begin{equation*} p_i / q_i + p_j / q_j = (p_i q_j + p_j q_i)/(q_i q_j)\text{.} \end{equation*}
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Démonstration.

Soit \(K\) l’ensemble de tous les produits de la forme \(g_{i_1}^{\alpha_1} \cdots g_{i_n}^{\alpha_n}\text{,}\) où les \(g_{i_k}\) ne sont pas nécessairement distincts. Il est clair que \(K\) est un sous-ensemble de \(H\text{.}\) Il nous suffit de montrer que \(K\) est un sous-groupe de \(G\text{.}\) Si c’est le cas, alors \(K=H\text{,}\) car \(H\) est le plus petit sous-groupe contenant tous les \(g_i\text{.}\)
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Il est clair que l’ensemble \(K\) est stable pour la loi de groupe. Comme \(g_i^0 = 1\text{,}\) l’élément neutre est dans \(K\text{.}\) Il reste à montrer que l’inverse d’un élément \(g =g_{i_1}^{k_1} \cdots g_{i_n}^{k_n}\) dans \(K\) doit également être dans \(K\text{.}\) Or,
\begin{equation*} g^{-1} = (g_{i_1}^{k_{1}} \cdots g_{i_n}^{k_n})^{-1} = (g_{i_n}^{-k_n} \cdots g_{i_{1}}^{-k_{1}})\text{.} \end{equation*}
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La raison pour laquelle des puissances d’un \(g_i\) fixé peuvent apparaître plusieurs fois dans le produit est que le groupe peut être non abélien. Cependant, si le groupe est abélien, chaque \(g_i\) n’a besoin d’apparaître qu’une seule fois. Par exemple, un produit tel que \(a^{-3} b^5 a^7\) dans un groupe abélien peut toujours être simplifié (dans ce cas, en \(a^4 b^5\)).
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Restreignons maintenant notre attention aux groupes abéliens finis. Tout groupe abélien fini peut s’exprimer comme un produit direct fini de groupes cycliques. Plus précisément, en prenant \(p\) premier, nous définissons un groupe \(G\) comme étant un \(p\)-groupe si tout élément de \(G\) a pour ordre une puissance de \(p\text{.}\) Par exemple, \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) et \({\mathbb Z}_4\) sont tous deux des \(2\)-groupes, tandis que \({\mathbb Z}_{27}\) est un \(3\)-groupe. Nous allons démontrer le Théorème fondamental des groupes abéliens finis qui nous dit que tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de \(p\)-groupes cycliques.
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Exemple 13.1.5.

Supposons que nous souhaitons classifier tous les groupes abéliens d’ordre \(540=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5\text{.}\) Le Théorème fondamental des groupes abéliens finis nous indique que nous avons les six possibilités suivantes.
  • \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_5\) ;
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  • \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_9 \times {\mathbb Z}_5\) ;
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  • \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_{27} \times {\mathbb Z}_5\) ;
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  • \({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_5\) ;
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  • \({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_9 \times {\mathbb Z}_5\) ;
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  • \({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_{27} \times {\mathbb Z}_5\text{.}\)
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La démonstration du Théorème fondamental des groupes abéliens finis repose sur plusieurs lemmes.
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Démonstration.

Nous allons démontrer ce lemme par récurrence. Si \(n = 1\text{,}\) il n’y a rien à démontrer. Supposons maintenant que le lemme est vrai pour tous les groupes d’ordre \(k\text{,}\) où \(k \lt n\text{.}\) De plus, soit \(p\) un nombre premier qui divise \(n\text{.}\)
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Si \(G\) n’a pas de sous-groupe propre non trivial, alors \(G = \langle a \rangle\text{,}\) où \(a\) est un élément quelconque autre que l’élément neutre. D’après le Exercice 4.5.39, l’ordre de \(G\) doit être premier. Comme \(p\) divise \(n\text{,}\) nous savons que \(p = n\text{,}\) et \(G\) contient \(p - 1\) éléments d’ordre \(p\text{.}\)
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Supposons maintenant que \(G\) contient un sous-groupe propre non trivial \(H\text{.}\) Alors \(1 \lt |H| \lt n\text{.}\) Si \(p \mid |H|\text{,}\) alors \(H\) contient un élément d’ordre \(p\) par hypothèse de récurrence et le lemme est vrai. Supposons que \(p\) ne divise pas l’ordre de \(H\text{.}\) Comme \(G\) est abélien, \(H\) est nécessairement un sous-groupe normal de \(G\text{,}\) et \(|G| = |H| \cdot |G/H|\text{.}\) Par conséquent, \(p\) doit diviser \(|G/H|\text{.}\) Comme \(|G/H| \lt |G| = n\text{,}\) nous savons par l’hypothèse de récurrence que \(G/H\) contient un élément \(aH\) d’ordre \(p\text{.}\) Ainsi,
\begin{equation*} H = (aH)^p = a^pH\text{,} \end{equation*}
et \(a^p \in H\) mais \(a \notin H\text{.}\) Si \(|H| = r\text{,}\) alors \(p\) et \(r\) sont premiers entre eux, et il existe des entiers \(s\) et \(t\) tels que \(sp + tr = 1\text{.}\) De plus, l’ordre de \(a^p\) doit diviser \(r\text{,}\) et \((a^p)^r = (a^r)^p = 1\text{.}\)
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Nous affirmons que \(a^r\) est d’ordre \(p\text{.}\) Nous devons montrer que \(a^r \neq 1\text{.}\) Supposons que \(a^r = 1\text{.}\) Alors
\begin{align*} a & = a^{sp + tr}\\ & = a^{sp} a^{tr}\\ & = (a^p)^s (a^r)^t\\ & = (a^p)^s 1\\ & = (a^p)^s\text{.} \end{align*}
Comme \(a^p \in H\text{,}\) il s’ensuit que \(a= (a^p)^s \in H\text{,}\) ce qui est une contradiction. Par conséquent, \(a^r \neq 1\) est un élément d’ordre \(p\) dans \(G\text{.}\)
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Le Lemme 13.1.6 est un cas particulier du Théorème de Cauchy (Théorème 15.1.1), qui affirme que si \(G\) est un groupe fini et \(p\) un nombre premier tel que \(p\) divise l’ordre de \(G\text{,}\) alors \(G\) contient un sous-groupe d’ordre \(p\text{.}\) Nous démontrerons le Théorème de Cauchy dans le Chapitre 15.
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Démonstration.

Si \(|G| = p^n\text{,}\) alors d’après le théorème de Lagrange, l’ordre de tout \(g \in G\) doit diviser \(p^n\text{,}\) et est donc une puissance de \(p\text{.}\) Réciproquement, si \(|G|\) n’est pas une puissance de \(p\text{,}\) alors \(|G|\) a un autre diviseur premier \(q\text{,}\) donc d’après le Lemme 13.1.6, \(G\) a un élément d’ordre \(q\) et n’est donc pas un \(p\)-groupe.
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Démonstration.

Comme \(G\) est un groupe abélien, \(G_i\) est bien un sous-groupe de \(G\) pour \(i = 1, \ldots, k\text{.}\) Comme l’élément neutre a pour ordre \(p_i^0 = 1\text{,}\) nous savons que \(1 \in G_i\text{.}\) Si \(g \in G_i\) est d’ordre \(p_i^r\text{,}\) alors \(g^{-1}\) est également d’ordre \(p_i^r\text{.}\) Enfin, si \(h \in G_i\) est d’ordre \(p_i^s\text{,}\) alors
\begin{equation*} (gh)^{p_i^t} = g^{p_i^t} h^{p_i^t} = 1 \cdot 1 = 1\text{,} \end{equation*}
où \(t\) est le maximum de \(r\) et \(s\text{.}\)
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Nous devons montrer que
\begin{equation*} G = G_1 G_2 \cdots G_k \end{equation*}
et \(G_i \cap G_j = \{1 \}\) pour \(i \neq j\text{.}\) Supposons que \(g_1 \in G_1\) est dans le sous-groupe engendré par \(G_2, G_3, \ldots, G_k\text{.}\) Alors \(g_1 = g_2 g_3 \cdots g_k\) pour \(g_i \in G_i\text{.}\) Comme \(g_i\) est d’ordre \(p_i^{\alpha_i}\text{,}\) nous savons que \(g_i^{p^{\alpha_i}} = 1\) pour \(i = 2, 3, \ldots, k\text{,}\) et \(g_1^{p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}} = 1\text{.}\) Comme l’ordre de \(g_1\) est une puissance de \(p_1\) et \(\gcd(p_1, p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}) = 1\text{,}\) il s’ensuit que \(g_1 = 1\) et que l’intersection de \(G_1\) avec chacun des sous-groupes \(G_2, G_3, \ldots, G_k\) est l’élément neutre. Un argument similaire montre que \(G_i \cap G_j = \{1 \}\) pour \(i \neq j\text{.}\)
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Ensuite, nous devons montrer qu’il est possible d’écrire tout \(g \in G\) comme produit \(g_1 \cdots g_k\text{,}\) où \(g_i \in G_i\text{.}\) Comme l’ordre de \(g\) divise l’ordre de \(G\text{,}\) nous savons que
\begin{equation*} |g| = p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \cdots p_k^{\beta_k} \end{equation*}
pour certains entiers \(\beta_1, \ldots, \beta_k\text{.}\) En posant \(a_i = |g| / p_i^{\beta_i}\text{,}\) les \(a_i\) sont premiers entre eux deux à deux ; il existe donc des entiers \(b_1, \ldots, b_k\) tels que \(a_1 b_1 + \cdots + a_k b_k = 1\text{.}\) Par conséquent,
\begin{equation*} g = g^{a_1 b_1 + \cdots + a_k b_k} = g^{a_1 b_1} \cdots g^{a_k b_k}\text{.} \end{equation*}
Comme
\begin{equation*} g^{(a_i b_i ) p_i^{\beta_i}} = g^{b_i |g|} = e\text{,} \end{equation*}
il s’ensuit que \(g^{a_i b_i}\) doit être dans \(G_{i}\text{.}\) Posons \(g_i = g^{a_i b_i}\text{.}\) Alors \(g = g_1 \cdots g_k \in G_1 G_2 \cdots G_k\text{.}\) Donc \(G = G_1 G_2 \cdots G_k\) est un produit direct interne de sous-groupes.
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Il nous reste à déterminer la structure possible de chaque \(p_i\)-groupe \(G_i\) dans le Lemme 13.1.8.
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Démonstration.

D’après le Lemme 13.1.7, nous pouvons supposer que l’ordre de \(G\) est \(p^n\text{.}\) Nous allons raisonner par récurrence sur \(n\text{.}\) Si \(n= 1\text{,}\) alors \(G\) est cyclique d’ordre \(p\) et est nécessairement engendré par \(g\text{.}\) Supposons maintenant que l’énoncé du lemme est valide pour tout entier \(k\) avec \(1 \leq k \lt n\) et soit \(g\) un élément d’ordre maximal dans \(G\text{,}\) disons \(|g| = p^{m}\text{.}\) Alors \(a^{p^m} = e\) pour tout \(a \in G\text{.}\) Choisissons maintenant \(h\) dans \(G\) tel que \(h \notin \langle g \rangle\text{,}\) où \(h\) a l’ordre le plus petit possible. Un tel \(h\) existe certainement ; sinon, \(G = \langle g \rangle\) et nous avons terminé. Posons \(H = \langle h \rangle\text{.}\)
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Nous affirmons que \(\langle g \rangle \cap H = \{ e \}\text{.}\) Il suffit de montrer que \(|H|=p\text{.}\) Comme \(|h^p| = |h| / p\text{,}\) l’ordre de \(h^p\) est plus petit que l’ordre de \(h\) et doit être dans \(\langle g \rangle\) par la minimalité de \(h\) ; c’est-à-dire \(h^p = g^r\) pour un certain entier \(r\text{.}\) Donc,
\begin{equation*} (g^r)^{p^{m - 1}} = (h^p)^{p^{m - 1}} = h^{p^{m}} = e\text{,} \end{equation*}
et l’ordre de \(g^r\) doit être inférieur ou égal à \(p^{m-1}\text{.}\) Par conséquent, \(g^r\) ne peut pas engendrer \(\langle g \rangle\text{.}\) Remarquons que \(p\) doit apparaître comme facteur de \(r\text{,}\) disons \(r = ps\text{,}\) et \(h^p = g^r = g^{ps}\text{.}\) Définissons \(a\) comme étant \(g^{-s}h\text{.}\) Alors \(a\) ne peut pas être dans \(\langle g \rangle\) ; sinon, \(h\) devrait également être dans \(\langle g \rangle\text{.}\) De plus,
\begin{equation*} a^p = g^{-sp} h^p = g^{-r} h^p = h^{-p} h^p = e\text{.} \end{equation*}
Nous avons ainsi construit un élément \(a\) d’ordre \(p\) tel que \(a \notin \langle g \rangle\text{.}\) Comme \(h\) a été choisi avec l’ordre le plus petit parmi tous les éléments qui ne sont pas dans \(\langle g\rangle\text{,}\) \(|H| = p\text{.}\)
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Montrons maintenant que l’ordre de \(gH\) dans le groupe quotient \(G/H\) est le même que l’ordre de \(g\) dans \(G\text{.}\) Si \(|gH| \lt |g| = p^m\text{,}\) alors
\begin{equation*} H = (gH)^{p^{m-1}} = g^{p^{m-1}} H; \end{equation*}
donc \(g^{p^{m-1}}\) doit être dans \(\langle g \rangle \cap H = \{ e \}\text{,}\) ce qui contredit le fait que l’ordre de \(g\) est \(p^m\text{.}\) Par conséquent, \(gH\) doit être d’ordre maximal dans \(G/H\text{.}\) D’après le Théorème de correspondance et notre hypothèse de récurrence,
\begin{equation*} G/H \cong \langle gH \rangle \times K/H \end{equation*}
pour un certain sous-groupe \(K\) de \(G\) contenant \(H\text{.}\) Nous affirmons que \(\langle g \rangle \cap K = \{ e \}\text{.}\) Si \(b \in \langle g \rangle \cap K\text{,}\) alors \(bH \in \langle gH \rangle \cap K/H = \{ H \}\) et \(b \in \langle g \rangle \cap H = \{ e \}\text{.}\) Il s’ensuit que \(G = \langle g \rangle K\) implique que \(G \cong \langle g \rangle \times K\text{.}\)
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La démonstration du Théorème fondamental des groupes abéliens finis découle très rapidement du Lemme 13.1.8 et du Lemme 13.1.9. D’après le Lemme 13.1.8, \(G\) est un produit de \(p\)-groupes. Supposons que \(G\) est un \(p\)-groupe et soit \(g\) un élément d’ordre maximal dans \(G\text{.}\) Si \(\langle g \rangle = G\text{,}\) nous avons terminé ; sinon, \(G \cong {\mathbb Z}_{|g|} \times H\) pour un certain sous-groupe \(H\) de \(G\) d’après le Lemme 13.1.9. Comme \(|H| \lt |G|\text{,}\) nous pouvons appliquer la récurrence mathématique.
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Nous énonçons maintenant le théorème plus général pour tous les groupes abéliens de type fini. La démonstration de ce théorème peut être trouvée dans l’une ou l’autre des références à la fin de ce chapitre.
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