Un espace vectoriel \(V\) sur un corps \(F\) est un groupe abélien muni d’un produit scalaire \(\alpha \cdot v\) ou \(\alpha v\) défini pour tout \(\alpha \in F\) et tout \(v \in V\) satisfaisant les axiomes suivants.
Les éléments de \(V\) sont appelés vecteurs ; les éléments de \(F\) sont appelés scalaires. Il est important de remarquer que dans la plupart des cas, deux vecteurs ne peuvent pas être multipliés entre eux. En général, il est seulement possible de multiplier un vecteur par un scalaire. Pour distinguer le zéro scalaire du vecteur zéro, nous les noterons respectivement \(0\) et \({\mathbf 0}\text{.}\)
Les \(n\)-uplets de nombres réels, notés \({\mathbb R}^n\text{,}\) forment un espace vectoriel sur \({\mathbb R}\text{.}\) Étant donnés des vecteurs \(u = (u_1, \ldots,
u_n)\) et \(v = (v_1, \ldots,
v_n)\) dans \({\mathbb R}^n\) et \(\alpha\) dans \({\mathbb R}\text{,}\) on peut définir l’addition vectorielle par
Si \(F\) est un corps, alors \(F[x]\) est un espace vectoriel sur \(F\text{.}\) Les vecteurs dans \(F[x]\) sont simplement des polynômes, et l’addition vectorielle est simplement l’addition de polynômes. Si \(\alpha \in F\) et \(p(x) \in F[x]\text{,}\) alors la multiplication scalaire est définie par \(\alpha p(x)\text{.}\)
L’ensemble de toutes les fonctions continues à valeurs réelles sur un intervalle fermé \([a,b]\) est un espace vectoriel sur \({\mathbb R}\text{.}\) Si \(f(x)\) et \(g(x)\) sont continues sur \([a, b]\text{,}\) alors \((f+g)(x)\) est définie par \(f(x) + g(x)\text{.}\) La multiplication scalaire est définie par \((\alpha f)(x) = \alpha f(x)\) pour \(\alpha \in {\mathbb R}\text{.}\) Par exemple, si \(f(x) = \sin x\) et \(g(x)= x^2\text{,}\) alors \((2f + 5g)(x) =2 \sin x + 5 x^2\text{.}\)
Soit \(V = {\mathbb Q}(\sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q } \}\text{.}\) Alors \(V\) est un espace vectoriel sur \({\mathbb Q}\text{.}\) Si \(u = a + b \sqrt{2}\) et \(v = c + d \sqrt{2}\text{,}\) alors \(u + v = (a + c) + (b + d ) \sqrt{2}\) est encore dans \(V\text{.}\) De plus, pour \(\alpha \in {\mathbb Q}\text{,}\)\(\alpha v\) est dans \(V\text{.}\) Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que tous les axiomes d’espace vectoriel sont satisfaits pour \(V\text{.}\)
La démonstration de (2) est presque identique à celle de (1). Pour (3), si \(\alpha = 0\) nous avons terminé. Supposons que \(\alpha \neq 0\text{.}\) En multipliant les deux membres de \(\alpha v = {\mathbf 0}\) par \(1/ \alpha\text{,}\) on obtient \(v = {\mathbf 0}\text{.}\)
