Chapitre 13 La structure des groupes
L’objectif ultime de la théorie des groupes est de classifier tous les groupes à isomorphisme près ; c’est-à-dire qu’étant donné un groupe particulier, nous devrions être en mesure de l’identifier à un groupe connu via un isomorphisme. Par exemple, nous avons déjà démontré que tout groupe cyclique fini d’ordre \(n\) est isomorphe à \({\mathbb Z}_n\) ; ainsi, nous « connaissons » tous les groupes cycliques finis. Il n’est probablement pas raisonnable de s’attendre à connaître un jour tous les groupes ; cependant, nous pouvons souvent classifier certains types de groupes ou distinguer des groupes dans des cas particuliers.
Dans ce chapitre, nous allons caractériser tous les groupes abéliens finis. Nous étudierons également les groupes possédant des suites de sous-groupes. Si un groupe possède une suite de sous-groupes, à savoir
\begin{equation*}
G = H_n \supset H_{n - 1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{,}
\end{equation*}
où chaque sous-groupe \(H_i\) est normal dans \(H_{i+1}\) et chacun des groupes quotients \(H_{i+1}/H_i\) est abélien, alors \(G\) est un groupe résoluble. En plus de nous permettre de distinguer certaines classes de groupes, les groupes résolubles s’avèrent être au cœur de l’étude des solutions aux équations polynomiales.
