Section 18.1 Corps des fractions
Tout corps est aussi un domaine intègre ; cependant, il existe de nombreux domaines intègres qui ne sont pas des corps. Par exemple, les entiers \({\mathbb Z}\) forment un domaine intègre mais pas un corps. Une question qui se pose naturellement est de savoir comment associer un domaine intègre à un corps. Il existe une façon naturelle de construire les rationnels \({\mathbb Q}\) à partir des entiers : les rationnels peuvent être représentés comme des quotients formels de deux entiers. Les nombres rationnels constituent certes un corps. En fait, on peut montrer que les rationnels sont le plus petit corps qui contient les entiers. Étant donné un domaine intègre \(D\text{,}\) notre question est maintenant de savoir comment construire le plus petit corps \(F\) contenant \(D\text{.}\) Nous procéderons de la même façon que nous avons construit les rationnels à partir des entiers.
Un élément \(p/q \in {\mathbb Q}\) est le quotient de deux entiers \(p\) et \(q\) ; cependant, différentes paires d’entiers peuvent représenter le même nombre rationnel. Par exemple, \(1/2 = 2/4 = 3/6\text{.}\) Nous savons que
\begin{equation*}
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\end{equation*}
si et seulement si \(ad = bc\text{.}\) Une façon plus formelle d’aborder ce problème est d’examiner les fractions en termes de relations d’équivalence. On peut concevoir les éléments de \({\mathbb Q}\) comme des paires ordonnées dans \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\) Un quotient \(p/q\) peut s’écrire comme \((p, q)\text{.}\) Par exemple, \((3, 7)\) représenterait la fraction \(3/7\text{.}\) Cependant, il y a des problèmes si l’on considère toutes les paires possibles dans \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\) Il n’y a pas de fraction \(5/0\) correspondant à la paire \((5,0)\text{.}\) De même, les paires \((3,6)\) et \((2,4)\) représentent toutes deux la fraction \(1/2\text{.}\) Le premier problème se résout facilement en exigeant que la deuxième coordonnée soit non nulle. Le deuxième problème se résout en considérant deux paires \((a, b)\) et \((c, d)\) comme équivalentes si \(ad = bc\text{.}\)
Si nous utilisons l’approche des paires ordonnées plutôt que des fractions, alors nous pouvons étudier les domaines intègres en général. Soit \(D\) un domaine intègre quelconque et soit
\begin{equation*}
S = \{ (a, b) : a, b \in D \text{ et } b \neq 0 \}\text{.}
\end{equation*}
Définissons une relation sur \(S\) par \((a, b) \sim (c, d)\) si \(ad = bc\text{.}\)
Démonstration.
Puisque \(D\) est commutatif, \(ab = ba\) ; donc \(\sim\) est réflexive sur \(D\text{.}\) Supposons maintenant que \((a,b) \sim (c,d)\text{.}\) Alors \(ad=bc\text{,}\) soit \(cb = da\text{.}\) Donc \((c,d) \sim (a, b)\) et la relation est symétrique. Enfin, pour montrer que la relation est transitive, supposons \((a, b) \sim (c, d)\) et \((c, d) \sim (e,f)\text{.}\) Dans ce cas \(ad = bc\) et \(cf = de\text{.}\) En multipliant les deux membres de \(ad = bc\) par \(f\text{,}\) on obtient
\begin{equation*}
a f d = a d f = b c f = b d e = bed\text{.}
\end{equation*}
Puisque \(D\) est un domaine intègre, on peut en déduire que \(af = be\text{,}\) soit \((a,b ) \sim (e, f)\text{.}\)
Nous noterons l’ensemble des classes d’équivalence sur \(S\) par \(F_D\text{.}\) Nous devons maintenant définir les opérations d’addition et de multiplication sur \(F_D\text{.}\) Rappelons comment les fractions s’additionnent et se multiplient dans \({\mathbb Q}\) :
\begin{align*}
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} & = \frac{ad + b c}{b d};\\
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} & = \frac{ac}{b d}\text{.}
\end{align*}
Il semble raisonnable de définir les opérations d’addition et de multiplication sur \(F_D\) de manière analogue. Si nous notons la classe d’équivalence de \((a, b) \in S\) par \([a, b]\text{,}\) alors nous sommes amenés à définir les opérations d’addition et de multiplication sur \(F_D\) par
\begin{equation*}
[a, b] + [c, d] = [ad + b c,b d]
\end{equation*}
et
\begin{equation*}
[a, b] \cdot [c, d] = [ac, b d]\text{,}
\end{equation*}
respectivement. Le lemme suivant montre que ces opérations sont indépendantes du choix des représentants de chaque classe d’équivalence.
Lemme 18.1.2.
Les opérations d’addition et de multiplication sur \(F_D\) sont bien définies.
Démonstration.
Nous allons montrer que l’opération d’addition est bien définie. La preuve que la multiplication est bien définie est laissée en exercice. Soient \([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\) et \([c_1, d_1] =[ c_2, d_2]\text{.}\) Nous devons montrer que
\begin{equation*}
[a_1 d_1 + b_1 c_1,b_1 d_1] = [a_2 d_2 + b_2 c_2,b_2 d_2]
\end{equation*}
ou, de manière équivalente, que
\begin{equation*}
(a_1 d_1 + b_1 c_1)( b_2 d_2) = (b_1 d_1) (a_2 d_2 + b_2 c_2)\text{.}
\end{equation*}
Puisque \([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\) et \([c_1, d_1] =[ c_2, d_2]\text{,}\) nous savons que \(a_1 b_2 = b_1 a_2\) et \(c_1 d_2 = d_1 c_2\text{.}\) Donc,
\begin{align*}
(a_1 d_1 + b_1 c_1)( b_2 d_2) & = a_1 d_1 b_2 d_2 + b_1 c_1 b_2 d_2\\
& = a_1 b_2 d_1 d_2 + b_1 b_2 c_1 d_2\\
& = b_1 a_2 d_1 d_2 + b_1 b_2 d_1 c_2\\
& = (b_1 d_1) (a_2 d_2 + b_2 c_2)\text{.}
\end{align*}
Lemme 18.1.3.
L’ensemble des classes d’équivalence de \(S\text{,}\) \(F_D\text{,}\) sous la relation d’équivalence \(\sim\text{,}\) muni des opérations d’addition et de multiplication définies par
\begin{align*}
[a, b] + [c, d] & = [ad + b c, b d]\\
[ a, b] \cdot [c, d] & = [ac, b d]\text{,}
\end{align*}
est un corps.
Démonstration.
Les identités additive et multiplicative sont \([0,1]\) et \([1,1]\text{,}\) respectivement. Pour montrer que \([0,1]\) est l’identité additive, observons que
\begin{equation*}
[a, b] + [0, 1] = [ a 1 + b 0, b 1] = [a,b]\text{.}
\end{equation*}
Il est facile de vérifier que \([1, 1]\) est l’identité multiplicative. Soit \([a, b] \in F_D\) tel que \(a \neq 0\text{.}\) Alors \([b, a]\) est aussi dans \(F_D\) et \([a,b] \cdot [b, a] = [1,1]\) ; donc \([b, a]\) est l’inverse multiplicatif de \([a, b]\text{.}\) De même, \([-a,b]\) est l’inverse additif de \([a, b]\text{.}\) Nous laissons en exercice la vérification des propriétés associative et commutative de la multiplication dans \(F_D\text{.}\) Nous laissons également au lecteur le soin de montrer que \(F_D\) est un groupe abélien pour l’addition.
Il reste à montrer que la propriété distributive est vérifiée dans \(F_D\) ; cependant,
\begin{align*}
[a, b] [e, f] + [c, d][ e, f ] & = [a e, b f ] + [c e, d f]\\
& = [a e d f + b f c e, b d f^2 ]\\
& = [a e d + b c e, b d f ]\\
& = [a d e + b c e, b d f ]\\
& = ( [a, b] + [c, d] ) [ e, f ]
\end{align*}
et le lemme est démontré.
Le corps \(F_D\) du Lemme 18.1.3 est appelé le corps des fractions ou le corps des quotients du domaine intègre \(D\text{.}\)
Théorème 18.1.4.
Soit \(D\) un domaine intègre. Alors \(D\) peut être plongé dans un corps des fractions \(F_D\text{,}\) où tout élément de \(F_D\) peut s’exprimer comme le quotient de deux éléments de \(D\text{.}\) De plus, le corps des fractions \(F_D\) est unique en ce sens que si \(E\) est un corps quelconque contenant \(D\text{,}\) alors il existe une application \(\psi : F_D \rightarrow E\) donnant un isomorphisme avec un sous-corps de \(E\) tel que \(\psi(a) = a\) pour tout élément \(a \in D\text{,}\) où l’on identifie \(a\) avec son image dans \(F_D\text{.}\)
Démonstration.
Nous allons d’abord montrer que \(D\) peut être plongé dans le corps \(F_D\text{.}\) Définissons une application \(\phi : D \rightarrow F_D\) par \(\phi(a) = [a, 1]\text{.}\) Alors pour \(a\) et \(b\) dans \(D\text{,}\)
\begin{equation*}
\phi( a + b ) = [a+b, 1] = [a, 1] + [b, 1] = \phi(a ) + \phi(b)
\end{equation*}
et
\begin{equation*}
\phi( a b ) = [a b, 1] = [a, 1] [b, 1] = \phi(a ) \phi(b);
\end{equation*}
donc \(\phi\) est un homomorphisme. Pour montrer que \(\phi\) est injective, supposons que \(\phi(a) = \phi( b)\text{.}\) Alors \([a, 1] = [b, 1]\text{,}\) soit \(a = a \cdot 1 = 1 \cdot b = b\text{.}\) Enfin, tout élément de \(F_D\) peut s’exprimer comme le quotient de deux éléments de \(D\text{,}\) puisque
\begin{equation*}
\phi(a) [\phi(b)]^{-1} = [a, 1] [b, 1]^{-1} = [a, 1] \cdot [1, b] = [a, b]\text{.}
\end{equation*}
Soit maintenant \(E\) un corps contenant \(D\) et définissons une application \(\psi :F_D \rightarrow E\) par \(\psi([a, b]) = a b^{-1}\text{.}\) Pour montrer que \(\psi\) est bien définie, supposons \([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\text{.}\) Alors \(a_1 b_2 = b_1 a_2\text{.}\) Donc \(a_1 b_1^{-1} = a_2 b_2^{-1}\) et \(\psi( [a_1, b_1]) = \psi( [a_2, b_2])\text{.}\)
Si \([a, b ]\) et \([c, d]\) sont dans \(F_D\text{,}\) alors
\begin{align*}
\psi( [a, b] + [c, d] ) & = \psi( [ad + b c, b d ] )\\
& = (ad + b c)(b d)^{-1}\\
& = a b^{-1} + c d^{-1}\\
& = \psi( [a, b] ) + \psi( [c, d] )
\end{align*}
et
\begin{align*}
\psi( [a, b] \cdot [c, d] ) & = \psi( [ac, b d ] )\\
& = (ac)(b d)^{-1}\\
& = a b^{-1} c d^{-1}\\
& = \psi( [a, b] ) \psi( [c, d] )\text{.}
\end{align*}
Donc \(\psi\) est un homomorphisme.
Pour compléter la preuve du théorème, il nous faut montrer que \(\psi\) est injective. Supposons que \(\psi( [a, b] ) = ab^{-1} = 0\text{.}\) Alors \(a = 0b = 0\) et \([a, b] = [0, b]\text{.}\) Donc le noyau de \(\psi\) est l’élément nul \([ 0, b]\) dans \(F_D\text{,}\) et \(\psi\) est injective.
Exemple 18.1.5.
Puisque \({\mathbb Q}\) est un corps, \({\mathbb Q}[x]\) est un domaine intègre. Le corps des fractions de \({\mathbb Q}[x]\) est l’ensemble de toutes les expressions rationnelles \(p(x)/q(x)\text{,}\) où \(p(x)\) et \(q(x)\) sont des polynômes à coefficients rationnels et \(q(x)\) n’est pas le polynôme nul. Nous noterons ce corps \({\mathbb Q}(x)\text{.}\)
Nous laisserons en exercice les preuves des corollaires suivants du Théorème 18.1.4.
Corollaire 18.1.6.
Soit \(F\) un corps de caractéristique zéro. Alors \(F\) contient un sous-corps isomorphe à \({\mathbb Q}\text{.}\)
Corollaire 18.1.7.
Soit \(F\) un corps de caractéristique \(p\text{.}\) Alors \(F\) contient un sous-corps isomorphe à \({\mathbb Z}_p\text{.}\)
