Théorème 16.4.1.
Soit \(R\) un anneau commutatif avec identité et \(M\) un idéal de \(R\text{.}\) Alors \(M\) est un idéal maximal de \(R\) si et seulement si \(R/M\) est un corps.
Section 16.4 Idéaux maximaux et idéaux premiers
Dans cette section particulière, nous nous intéressons plus particulièrement à certains idéaux des anneaux commutatifs. Ces idéaux nous donnent des types particuliers d’anneaux quotients. Plus précisément, nous souhaitons caractériser les idéaux \(I\) d’un anneau commutatif \(R\) tels que \(R/I\) soit un anneau intègre ou un corps.
Un idéal propre \(M\) d’un anneau \(R\) est un idéal maximal de \(R\) si l’idéal \(M\) n’est contenu strictement dans aucun idéal de \(R\) autre que \(R\) lui-même. Autrement dit, \(M\) est un idéal maximal si pour tout idéal \(I\) contenant strictement \(M\text{,}\) on a \(I = R\text{.}\) Le théorème suivant caractérise complètement les idéaux maximaux des anneaux commutatifs avec identité en termes de leurs anneaux quotients correspondants.
Démonstration.
Soit \(M\) un idéal maximal de \(R\text{.}\) Si \(R\) est un anneau commutatif, alors \(R/M\) est également un anneau commutatif. Clairement, \(1 + M\) joue le rôle d’identité pour \(R/M\text{.}\) Il faut aussi montrer que tout élément non nul de \(R/M\) a un inverse. Si \(a + M\) est un élément non nul de \(R/M\text{,}\) alors \(a \notin M\text{.}\) Définissons \(I\) comme l’ensemble \(\{ ra + m : r \in R \text{ et } m \in M \}\text{.}\) Nous allons montrer que \(I\) est un idéal de \(R\text{.}\) L’ensemble \(I\) est non vide car \(0a+0=0\) est dans \(I\text{.}\) Si \(r_1 a + m_1\) et \(r_2 a + m_2\) sont deux éléments de \(I\text{,}\) alors
\begin{equation*}
(r_1 a + m_1) - ( r_2 a + m_2) = (r_1 - r_2)a + (m_1 - m_2)
\end{equation*}
est dans \(I\text{.}\) De plus, pour tout \(r \in R\text{,}\) il est vrai que \(rI \subset I\) ; donc \(I\) est stable par multiplication et satisfait les conditions nécessaires pour être un idéal. Par conséquent, d’après la Proposition 16.1.10 et la définition d’un idéal, \(I\) est un idéal contenant strictement \(M\text{.}\) Puisque \(M\) est un idéal maximal, \(I=R\) ; par conséquent, par définition de \(I\text{,}\) il doit exister un \(m\) dans \(M\) et un élément \(b\) dans \(R\) tels que \(1=ab+m\text{.}\) Donc,
\begin{equation*}
1 + M = ab + M = ba + M = (a+M)(b+M)\text{.}
\end{equation*}
Réciproquement, supposons que \(M\) est un idéal et que \(R/M\) est un corps. Puisque \(R/M\) est un corps, il doit contenir au moins deux éléments : \(0 + M = M\) et \(1 + M\text{.}\) Donc \(M\) est un idéal propre de \(R\text{.}\) Soit \(I\) un idéal quelconque contenant strictement \(M\text{.}\) Il faut montrer que \(I = R\text{.}\) Choisissons \(a\) dans \(I\) mais pas dans \(M\text{.}\) Puisque \(a+ M\) est un élément non nul d’un corps, il existe un élément \(b +M\) dans \(R/M\) tel que \((a+M)(b+M) = ab + M = 1+M\text{.}\) Par conséquent, il existe un élément \(m \in M\) tel que \(ab + m = 1\) et \(1\) est dans \(I\text{.}\) Donc \(r1 =r \in I\) pour tout \(r \in R\text{.}\) Par conséquent, \(I = R\text{.}\)
Exemple 16.4.2.
Soit \(p{\mathbb Z}\) un idéal de \({\mathbb Z}\text{,}\) où \(p\) est premier. Alors \(p{\mathbb Z}\) est un idéal maximal car \({\mathbb Z}/ p {\mathbb Z} \cong {\mathbb Z}_p\) est un corps.
Un idéal propre \(P\) dans un anneau commutatif \(R\) est appelé un idéal premier si chaque fois que \(ab \in P\text{,}\) alors soit \(a \in P\text{,}\) soit \(b \in P\text{.}\)
1
Il est possible de définir des idéaux premiers dans un anneau non commutatif. Voir [1] ou [3].
Exemple 16.4.3.
On vérifie aisément que l’ensemble \(P = \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \}\) est un idéal de \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Cet idéal est premier. En fait, c’est un idéal maximal.
Proposition 16.4.4.
Soit \(R\) un anneau commutatif avec identité \(1\text{,}\) où \(1 \neq 0\text{.}\) Alors \(P\) est un idéal premier de \(R\) si et seulement si \(R/P\) est un anneau intègre.
Démonstration.
Supposons d’abord que \(P\) est un idéal de \(R\) et que \(R/P\) est un anneau intègre. Supposons que \(ab \in P\text{.}\) Si \(a + P\) et \(b + P\) sont deux éléments de \(R/P\) tels que \((a + P)(b + P) = 0 + P = P\text{,}\) alors soit \(a + P = P\text{,}\) soit \(b + P = P\text{.}\) Cela signifie que soit \(a\) est dans \(P\text{,}\) soit \(b\) est dans \(P\text{,}\) ce qui montre que \(P\) doit être premier.
Réciproquement, supposons que \(P\) est premier et que
\begin{equation*}
(a + P)(b + P) = ab + P = 0 + P = P\text{.}
\end{equation*}
Alors \(ab \in P\text{.}\) Si \(a \notin P\text{,}\) alors \(b\) doit être dans \(P\) par définition d’un idéal premier ; donc \(b + P = 0 + P\) et \(R/P\) est un anneau intègre.
Exemple 16.4.5.
Tout idéal de \({\mathbb Z}\) est de la forme \(n {\mathbb Z}\text{.}\) L’anneau quotient \({\mathbb Z} / n{\mathbb Z} \cong {\mathbb Z}_n\) est un anneau intègre uniquement lorsque \(n\) est premier. C’est en fait un corps. Donc les idéaux premiers non nuls de \({\mathbb Z}\) sont les idéaux \(p{\mathbb Z}\text{,}\) où \(p\) est premier. Cet exemple justifie véritablement l’utilisation du mot « premier » dans notre définition des idéaux premiers.
Puisque tout corps est un anneau intègre, nous avons le corollaire suivant.
Corollaire 16.4.6.
Tout idéal maximal d’un anneau commutatif avec identité est aussi un idéal premier.
Sous-section 16.4.1 Note historique
Amalie Emmy Noether, l’une des mathématiciennes les plus remarquables du vingtième siècle, naquit à Erlangen, en Allemagne, en 1882. Elle était la fille de Max Noether (1844–1921), éminent mathématicien à l’Université d’Erlangen. Avec Paul Gordon (1837–1912), le père d’Emmy Noether influença fortement son éducation scientifique précoce. Elle entra à l’Université d’Erlangen à l’âge de 18 ans. Bien que les femmes eussent été admises dans les universités d’Angleterre, de France et d’Italie depuis des décennies, leur présence dans les universités allemandes se heurtait à de vives résistances. Noether était l’une des deux seules femmes parmi les 986 étudiants de l’université. Après avoir obtenu son doctorat sous la direction de Gordon en 1907, elle continua ses recherches à Erlangen, donnant parfois des cours en remplacement de son père malade.
Noether se rendit à Göttingen pour y étudier en 1916. David Hilbert et Felix Klein tentèrent en vain de lui obtenir un poste à Göttingen. Certains membres du corps enseignant s’opposaient aux femmes chargées de cours, déclarant : « Que penseront nos soldats lorsqu’ils reviendront à l’université et devront apprendre aux pieds d’une femme ? » Hilbert, agacé par la question, répondit : « Meine Herren, je ne vois pas en quoi le sexe d’une candidate constitue un argument contre son admission en tant que Privatdozent. Après tout, le Sénat n’est pas un établissement de bains. » À la fin de la Première Guerre mondiale, les mentalités évoluèrent et la situation s’améliora considérablement pour les femmes. Après que Noether eut réussi son examen d’habilitation en 1919, elle reçut un titre et fut rémunérée modestement pour ses cours.
En 1922, Noether devint Privatdozent à Göttingen. Au cours des 11 années suivantes, elle utilisa des méthodes axiomatiques pour développer une théorie abstraite des anneaux et des idéaux. Bien qu’elle ne fût pas une brillante oratrice, Noether était une enseignante inspirante. Parmi ses nombreux étudiants figurait B. L. van der Waerden, auteur du premier ouvrage traitant l’algèbre abstraite d’un point de vue moderne. Parmi les autres mathématiciens qu’elle influença ou avec lesquels elle collabora étroitement, citons Alexandroff, Artin, Brauer, Courant, Hasse, Hopf, Pontryagin, von Neumann et Weyl. L’un des moments forts de sa carrière fut l’invitation à prendre la parole au Congrès international des mathématiciens à Zurich en 1932. Malgré toute la reconnaissance qu’elle reçut de ses collègues, les capacités de Noether ne furent jamais reconnues à leur juste valeur de son vivant. Elle ne fut jamais nommée professeure titulaire par la bureaucratie académique prussienne.
En 1933, Noether, qui était juive, se vit interdire toute activité académique en Allemagne. Elle émigra aux États-Unis, accepta un poste au Bryn Mawr College et devint membre de l’Institute for Advanced Study de Princeton. Noether mourut subitement le 14 avril 1935. Après sa mort, elle fut célébrée par des scientifiques aussi éminents qu’Albert Einstein.
