Exercices 17.5 Exercices
2.
Calculez chacun des éléments suivants.
3.
Utilisez l’algorithme de division pour trouver \(q(x)\) et \(r(x)\) tels que \(a(x) = q(x) b(x) + r(x)\) avec \(\deg r(x) \lt \deg b(x)\) pour chacune des paires de polynômes suivantes.
4.
Trouvez le plus grand commun diviseur de chacune des paires de polynômes \(p(x)\) et \(q(x)\) suivantes. Si \(d(x) = \gcd( p(x), q(x) )\text{,}\) trouvez deux polynômes \(a(x)\) et \(b(x)\) tels que \(a(x) p(x) + b(x) q(x) = d(x)\text{.}\)
-
\(p(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 15\) et \(q(x) = x^3 - 8x^2 + 21x - 18\text{,}\) où \(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)
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\(p(x) = x^3 + x^2 - x + 1\) et \(q(x) = x^3 + x - 1\text{,}\) où \(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_2[x]\)
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\(p(x) = x^3 + x^2 - 4x + 4\) et \(q(x) = x^3 + 3 x -2\text{,}\) où \(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_5[x]\)
5.
Trouvez tous les zéros de chacun des polynômes suivants.
6.
Trouvez toutes les unités dans \({\mathbb Z}[x]\text{.}\)
7.
8.
Lesquels des polynômes suivants sont irréductibles sur \({\mathbb Q}[x]\) ?
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\(\displaystyle x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x + 4\)
-
\(\displaystyle x^4 - 5x^3 + 3x - 2\)
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\(\displaystyle 3x^5 - 4x^3 - 6x^2 + 6\)
-
\(\displaystyle 5x^5 - 6x^4 - 3x^2 + 9 x - 15\)
9.
Trouvez tous les polynômes irréductibles de degrés \(2\) et \(3\) dans \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)
10.
11.
Prouvez ou réfutez : il existe un polynôme \(p(x)\) dans \({\mathbb Z}_6[x]\) de degré \(n\) ayant plus de \(n\) zéros distincts.
12.
13.
Montrez que l’algorithme de division ne s’applique pas à \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Pourquoi échoue-t-il ?
14.
Prouvez ou réfutez : \(x^p + a\) est irréductible pour tout \(a \in {\mathbb Z}_p\text{,}\) où \(p\) est premier.
15.
Soit \(f(x)\) irréductible dans \(F[x]\text{,}\) où \(F\) est un corps. Si \(f(x) \mid p(x)q(x)\text{,}\) prouvez que soit \(f(x) \mid p(x)\text{,}\) soit \(f(x) \mid q(x)\text{.}\)
16.
17.
Soit \(F\) un corps et \(a \in F\text{.}\) Si \(p(x) \in F[x]\text{,}\) montrez que \(p(a)\) est le reste obtenu lors de la division de \(p(x)\) par \(x - a\text{.}\)
18. Le théorème des racines rationnelles.
Soit
\begin{equation*}
p(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_0 \in \mathbb Z[x]\text{,}
\end{equation*}
où \(a_n \neq 0\text{.}\) Prouvez que si \(p(r/s) = 0\text{,}\) où \(\gcd(r, s) = 1\text{,}\) alors \(r \mid a_0\) et \(s \mid a_n\text{.}\)
19.
Soit \({\mathbb Q}^*\) le groupe multiplicatif des rationnels positifs. Prouvez que \({\mathbb Q}^*\) est isomorphe à \(( {\mathbb Z}[x], +)\text{.}\)
20. Polynômes cyclotomiques.
Le polynôme
\begin{equation*}
\Phi_p(x) = \frac{x^p - 1}{x - 1} = x^{p - 1} + x^{p - 2} + \cdots + x + 1
\end{equation*}
pour \(p\) premier est appelé le polynôme cyclotomique. Montrez que \(\Phi_p(x)\) est irréductible sur \({\mathbb Q}\) pour tout nombre premier \(p\text{.}\)
21.
Si \(F\) est un corps, montrez qu’il existe une infinité de polynômes irréductibles dans \(F[x]\text{.}\)
22.
Soit \(R\) un anneau commutatif avec identité. Prouvez que la multiplication est commutative dans \(R[x]\text{.}\)
23.
Soit \(R\) un anneau commutatif avec identité. Prouvez que la multiplication est distributive dans \(R[x]\text{.}\)
24.
Montrez que \(x^p - x\) a \(p\) zéros distincts dans \({\mathbb Z}_p\text{,}\) pour tout nombre premier \(p\text{.}\) Concluez que
\begin{equation*}
x^p - x = x(x - 1)(x - 2) \cdots (x - (p - 1))\text{.}
\end{equation*}
25.
Soit \(F\) un corps et \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) dans \(F[x]\text{.}\) Définissez \(f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}\) comme étant la dérivée de \(f(x)\text{.}\)
-
Prouvez que\begin{equation*} (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\text{.} \end{equation*}Concluez que l’on peut définir un homomorphisme de groupes abéliens \(D : F[x] \rightarrow F[x]\) par \(D(f(x)) = f'(x)\text{.}\)
-
Supposons que l’on puisse factoriser un polynôme \(f(x) \in F[x]\) en facteurs linéaires, disons\begin{equation*} f(x) = a(x - a_1) (x - a_2) \cdots ( x - a_n)\text{.} \end{equation*}Prouvez que \(f(x)\) n’a aucun facteur répété si et seulement si \(f(x)\) et \(f'(x)\) sont premiers entre eux.
26.
27.
28.
Soit \(R\) un anneau commutatif avec identité. Montrez que \(R[x]\) possède un sous-anneau \(R'\) isomorphe à \(R\text{.}\)
29.
Soient \(p(x)\) et \(q(x)\) des polynômes dans \(R[x]\text{,}\) où \(R\) est un anneau commutatif avec identité. Prouvez que \(\deg( p(x) + q(x) ) \leq \max( \deg p(x), \deg q(x) )\text{.}\)
