Nous savons déjà que la réciproque du Théorème de Lagrange est fausse. Si \(G\) est un groupe d’ordre \(m\) et que \(n\) divise \(m\text{,}\) alors \(G\) ne possède pas nécessairement un sous-groupe d’ordre \(n\text{.}\) Par exemple, \(A_4\) est d’ordre \(12\) mais ne possède pas de sous-groupe d’ordre \(6\text{.}\) Cependant, les théorèmes de Sylow fournissent une réciproque partielle du Théorème de Lagrange—dans certains cas, ils nous garantissent l’existence de sous-groupes d’ordres spécifiques. Ces théorèmes constituent un ensemble d’outils puissants pour la classification de tous les groupes finis non abéliens.
