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Algèbre abstraite Théorie et applications

Thomas W. Judson

Section 20.3 Indépendance linéaire

Soit \(S = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\) un ensemble de vecteurs dans un espace vectoriel \(V\text{.}\) S’il existe des scalaires \(\alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \in F\) tels que les \(\alpha_i\) ne soient pas tous nuls et que
\begin{equation*} \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 }\text{,} \end{equation*}
alors \(S\) est dit linéairement dépendant. Si l’ensemble \(S\) n’est pas linéairement dépendant, alors il est dit linéairement indépendant. Plus précisément, \(S\) est un ensemble linéairement indépendant si
\begin{equation*} \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 } \end{equation*}
implique que
\begin{equation*} \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0 \end{equation*}
pour tout ensemble de scalaires \(\{ \alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \}\text{.}\)
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Démonstration.

Si
\begin{equation*} v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n\text{,} \end{equation*}
alors
\begin{equation*} (\alpha_1 - \beta_1) v_1 + (\alpha_2 - \beta_2) v_2 + \cdots + (\alpha_n - \beta_n) v_n = {\mathbf 0}\text{.} \end{equation*}
Puisque \(v_1, \ldots, v_n\) sont linéairement indépendants, \(\alpha_i - \beta_i = 0\) pour \(i = 1, \ldots, n\text{.}\)
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La définition de la dépendance linéaire prend davantage de sens si l’on considère la proposition suivante.
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Démonstration.

Supposons que \(\{ v_1, v_2, \dots, v_n \}\) est un ensemble de vecteurs linéairement dépendants. Alors il existe des scalaires \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) tels que
\begin{equation*} \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 }\text{,} \end{equation*}
avec au moins l’un des \(\alpha_i\) non nul. Supposons que \(\alpha_k \neq 0\text{.}\) Alors
\begin{equation*} v_k = - \frac{\alpha_1}{\alpha_k} v_1 - \cdots - \frac{\alpha_{k - 1}}{\alpha_k} v_{k-1} - \frac{\alpha_{k + 1}}{\alpha_k} v_{k + 1} - \cdots - \frac{\alpha_n}{\alpha_k} v_n\text{.} \end{equation*}
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Réciproquement, supposons que
\begin{equation*} v_k = \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_{k - 1} v_{k - 1} + \beta_{k + 1} v_{k + 1} + \cdots + \beta_n v_n\text{.} \end{equation*}
Alors
\begin{equation*} \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_{k - 1} v_{k - 1} - v_k + \beta_{k + 1} v_{k + 1} + \cdots + \beta_n v_n = {\mathbf 0}\text{.} \end{equation*}
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La proposition suivante est une conséquence du fait que tout système d’équations linéaires homogènes avec plus d’inconnues que d’équations admet une solution non triviale. Nous laissons les détails de la démonstration aux exercices de fin de chapitre.
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Un ensemble \(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) de vecteurs dans un espace vectoriel \(V\) est appelé une base de \(V\) si \(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) est un ensemble linéairement indépendant qui engendre \(V\text{.}\)
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Exemple 20.3.4.

Les vecteurs \(e_1 = (1, 0, 0)\text{,}\) \(e_2 = (0, 1, 0)\) et \(e_3 =(0, 0, 1)\) forment une base de \({\mathbb R}^3\text{.}\) Cet ensemble engendre certainement \({\mathbb R}^3\text{,}\) car tout vecteur arbitraire \((x_1, x_2, x_3)\) dans \({\mathbb R}^3\) peut s’écrire \(x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3\text{.}\) De plus, aucun des vecteurs \(e_1, e_2, e_3\) ne peut s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres ; ils sont donc linéairement indépendants. Les vecteurs \(e_1, e_2, e_3\) ne sont pas la seule base de \({\mathbb R}^3\) : l’ensemble \(\{ (3, 2, 1), (3, 2, 0), (1, 1, 1) \}\) est aussi une base de \({\mathbb R}^3\text{.}\)
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Exemple 20.3.5.

Soit \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}\) Les ensembles \(\{1, \sqrt{2}\, \}\) et \(\{1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}\, \}\) sont tous deux des bases de \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )\text{.}\)
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D’après les deux derniers exemples, il devrait être clair qu’un espace vectoriel donné possède plusieurs bases. En fait, il existe une infinité de bases pour chacun de ces exemples. En général, il n’existe pas de base unique pour un espace vectoriel. Cependant, toute base de \({\mathbb R}^3\) est constituée d’exactement trois vecteurs, et toute base de \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) est constituée d’exactement deux vecteurs. Ceci est une conséquence de la proposition suivante.
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Démonstration.

Puisque \(\{ e_1, e_2, \ldots, e_m \}\) est une base, c’est un ensemble linéairement indépendant. D’après la Proposition 20.3.3, \(n \leq m\text{.}\) De même, \(\{ f_1, f_2, \ldots, f_n \}\) est un ensemble linéairement indépendant, et la dernière proposition implique que \(m \leq n\text{.}\) Par conséquent, \(m = n\text{.}\)
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Si \(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) est une base d’un espace vectoriel \(V\text{,}\) alors on dit que la dimension de \(V\) est \(n\) et on écrit \(\dim V =n\text{.}\) Nous laissons la démonstration du théorème suivant comme exercice.
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