1.
Trouver tous les groupes simples \(G\) (\(|G| \leq 60\)). Ne pas utiliser le Théorème de l’ordre impair sauf si vous êtes prêt à le démontrer.
Exercices 15.5 Un projet
L’objectif principal de la théorie des groupes finis est de classifier tous les groupes finis possibles à isomorphisme près. Ce problème est très difficile même si nous essayons de classifier les groupes d’ordre inférieur ou égal à \(60\text{.}\) Cependant, nous pouvons décomposer le problème en plusieurs problèmes intermédiaires. Il s’agit d’un projet ambitieux qui nécessite une bonne connaissance de la théorie des groupes que vous avez apprise jusqu’à ce stade. Même si vous ne le complétez pas, il vous apprendra beaucoup sur les groupes finis. Vous pouvez utiliser Table 15.5.1 comme guide.
| Ordre | Nombre | Ordre | Nombre | Ordre | Nombre | Ordre | Nombre |
| \(1\) | ? | \(16\) | \(14\) | \(31\) | \(1\) | \(46\) | \(2\) |
| \(2\) | ? | \(17\) | \(1\) | \(32\) | \(51\) | \(47\) | \(1\) |
| \(3\) | ? | \(18\) | ? | \(33\) | \(1\) | \(48\) | \(52\) |
| \(4\) | ? | \(19\) | ? | \(34\) | ? | \(49\) | ? |
| \(5\) | ? | \(20\) | \(5\) | \(35\) | \(1\) | \(50\) | \(5\) |
| \(6\) | ? | \(21\) | ? | \(36\) | \(14\) | \(51\) | ? |
| \(7\) | ? | \(22\) | \(2\) | \(37\) | \(1\) | \(52\) | ? |
| \(8\) | ? | \(23\) | \(1\) | \(38\) | ? | \(53\) | ? |
| \(9\) | ? | \(24\) | ? | \(39\) | \(2\) | \(54\) | \(15\) |
| \(10\) | ? | \(25\) | \(2\) | \(40\) | \(14\) | \(55\) | \(2\) |
| \(11\) | ? | \(26\) | \(2\) | \(41\) | \(1\) | \(56\) | ? |
| \(12\) | \(5\) | \(27\) | \(5\) | \(42\) | ? | \(57\) | \(2\) |
| \(13\) | ? | \(28\) | ? | \(43\) | \(1\) | \(58\) | ? |
| \(14\) | ? | \(29\) | \(1\) | \(44\) | \(4\) | \(59\) | \(1 \) |
| \(15\) | \(1\) | \(30\) | \(4\) | \(45\) | ? | \(60\) | \(13\) |
2.
Trouver le nombre de groupes distincts \(G\text{,}\) où l’ordre de \(G\) est \(n\) pour \(n = 1, \ldots, 60\text{.}\)
3.
Trouver les groupes effectifs (à isomorphisme près) pour chaque \(n\text{.}\)
