Un ensemble est une collection bien définie d’objets ; c’est-à-dire qu’il est défini de telle sorte que nous pouvons déterminer pour tout objet donné \(x\) si \(x\) appartient ou non à l’ensemble. Les objets appartenant à un ensemble sont appelés ses éléments ou membres. Nous désignerons les ensembles par des lettres majuscules, telles que \(A\) ou \(X\) ; si \(a\) est un élément de l’ensemble \(A\text{,}\) nous écrivons \(a \in A\text{.}\)
Un ensemble est généralement spécifié soit en listant tous ses éléments entre accolades, soit en énonçant la propriété qui détermine si un objet \(x\) appartient ou non à l’ensemble. On peut écrire
\begin{equation*}
X = \{ x_1, x_2, \ldots, x_n \}
\end{equation*}
pour un ensemble contenant les éléments \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) ou
\begin{equation*}
X = \{ x :x \text{ satisfait }{\mathcal P}\}
\end{equation*}
si chaque \(x\) dans \(X\) satisfait une certaine propriété \({\mathcal P}\text{.}\) Par exemple, si \(E\) est l’ensemble des entiers positifs pairs, on peut décrire \(E\) en écrivant soit
\begin{equation*}
E = \{2, 4, 6, \ldots \} \quad \text{ou} \quad E = \{ x : x \text{ est un entier pair et } x \gt 0 \}\text{.}
\end{equation*}
On écrit \(2 \in E\) pour dire que 2 est dans l’ensemble \(E\text{,}\) et \(-3 \notin E\) pour dire que \(-3\) n’est pas dans l’ensemble \(E\text{.}\)
Parmi les ensembles les plus importants que nous considérerons, on trouve :
\begin{gather*}
{\mathbb N} = \{n: n \text{ est un entier naturel}\} = \{1, 2, 3, \ldots \};\\
{\mathbb Z} = \{n : n \text{ est un entier} \} = \{\ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots \};\\
{\mathbb Q} = \{r : r \text{ est un nombre rationnel}\} = \{p/q : p, q \in {\mathbb Z} \text{ où } q \neq 0\};\\
{\mathbb R} = \{ x : x \text{ est un nombre réel} \};\\
{\mathbb C} = \{z : z \text{ est un nombre complexe}\}\text{.}
\end{gather*}
On peut établir diverses relations entre ensembles et effectuer des opérations sur des ensembles. Un ensemble \(A\) est un sous-ensemble de \(B\text{,}\) noté \(A \subset B\) ou \(B \supset A\text{,}\) si tout élément de \(A\) est aussi un élément de \(B\text{.}\) Par exemple,
Trivialement, tout ensemble est un sous-ensemble de lui-même. Un ensemble \(B\) est un sous-ensemble propre d’un ensemble \(A\) si \(B \subset A\) mais \(B \neq A\text{.}\) Si \(A\) n’est pas un sous-ensemble de \(B\text{,}\) on écrit \(A \notsubset B\) ; par exemple, \(\{4, 7, 9\} \notsubset \{2, 4, 5, 8, 9 \}\text{.}\) Deux ensembles sont égaux, noté \(A = B\text{,}\) si l’on peut montrer que \(A \subset B\) et \(B \subset A\text{.}\)
Il est commode de disposer d’un ensemble sans éléments. Cet ensemble est appelé l’ensemble vide et est noté \(\emptyset\text{.}\) Remarquons que l’ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble.
Pour construire de nouveaux ensembles à partir d’ensembles existants, on peut effectuer certaines opérations : la réunion \(A \cup B\) de deux ensembles \(A\) et \(B\) est définie par
\begin{equation*}
A \cup B = \{x : x \in A \text{ ou } x \in B \};
\end{equation*}
l’intersection de \(A\) et \(B\) est définie par
\begin{equation*}
A \cap B = \{x : x \in A \text{ et } x \in B \}\text{.}
\end{equation*}
Si \(A = \{1, 3, 5\}\) et \(B = \{ 1, 2, 3, 9 \}\text{,}\) alors
\begin{equation*}
A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 9 \} \quad \text{et} \quad A \cap B = \{ 1, 3 \}\text{.}
\end{equation*}
On peut considérer la réunion et l’intersection de plus de deux ensembles. Dans ce cas, on écrit
Lorsque deux ensembles n’ont aucun élément en commun, on dit qu’ils sont disjoints ; par exemple, si \(E\) est l’ensemble des entiers pairs et \(O\) est l’ensemble des entiers impairs, alors \(E\) et \(O\) sont disjoints. Deux ensembles \(A\) et \(B\) sont disjoints si et seulement si \(A \cap B = \emptyset\text{.}\)
Parfois, nous travaillerons dans un ensemble fixé \(U\text{,}\) appelé l’ensemble universel. Pour tout ensemble \(A \subset U\text{,}\) nous définissons le complémentaire de \(A\text{,}\) noté \(A'\text{,}\) comme l’ensemble
\begin{equation*}
A' = \{ x : x \in U \text{ et } x \notin A \}\text{.}
\end{equation*}
Soit \({\mathbb R}\) l’ensemble universel et supposons que
\begin{equation*}
A = \{ x \in {\mathbb R} : 0 \lt x \leq 3 \} \quad \text{et} \quad B = \{ x \in {\mathbb R} : 2 \leq x \lt 4 \}\text{.}
\end{equation*}
Alors
\begin{align*}
A \cap B & = \{ x \in {\mathbb R} : 2 \leq x \leq 3 \}\\
A \cup B & = \{ x \in {\mathbb R} : 0 \lt x \lt 4 \}\\
A \setminus B & = \{ x \in {\mathbb R} : 0 \lt x \lt 2 \}\\
A' & = \{ x \in {\mathbb R} : x \leq 0 \text{ ou } x \gt 3 \}\text{.}
\end{align*}
(3) Pour des ensembles \(A\text{,}\)\(B\) et \(C\text{,}\)
\begin{align*}
A \cup (B \cup C) & = A \cup \{ x : x \in B \text{ ou } x \in C \}\\
& = \{ x : x \in A \text{ ou } x \in B, \text{ ou } x \in C \}\\
& = \{ x : x \in A \text{ ou } x \in B \} \cup C\\
& = (A \cup B) \cup C\text{.}
\end{align*}
Un argument similaire montre que \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\text{.}\)
(1) Si \(A \cup B = \emptyset\text{,}\) le théorème s’ensuit immédiatement puisque \(A\) et \(B\) sont tous deux l’ensemble vide. Sinon, nous devons montrer que \((A \cup B)' \subset A' \cap B'\) et \((A \cup B)' \supset A' \cap B'\text{.}\) Soit \(x \in (A \cup B)'\text{.}\) Alors \(x \notin A \cup B\text{.}\) Donc \(x\) n’appartient ni à \(A\) ni à \(B\text{,}\) par définition de la réunion d’ensembles. Par définition du complémentaire, \(x \in A'\) et \(x \in B'\text{.}\) Par conséquent, \(x \in A' \cap B'\) et nous avons \((A \cup B)' \subset A' \cap B'\text{.}\)
Pour montrer l’inclusion réciproque, supposons que \(x \in A' \cap B'\text{.}\) Alors \(x \in A'\) et \(x \in B'\text{,}\) et donc \(x \notin A\) et \(x \notin B\text{.}\) Ainsi \(x \notin A \cup B\) et donc \(x \in (A \cup B)'\text{.}\) Par conséquent, \((A \cup B)' \supset A' \cap B'\) et donc \((A \cup B)' = A' \cap B'\text{.}\)
D’autres relations entre ensembles sont souvent vraies. Par exemple,
\begin{equation*}
( A \setminus B) \cap (B \setminus A) = \emptyset\text{.}
\end{equation*}
Pour le voir, observons que
\begin{align*}
( A \setminus B) \cap (B \setminus A) & = ( A \cap B') \cap (B \cap A')\\
& = A \cap A' \cap B \cap B'\\
& = \emptyset\text{.}
\end{align*}
Sous-section1.2.2Produits cartésiens et applications
Étant donnés des ensembles \(A\) et \(B\text{,}\) on peut définir un nouvel ensemble \(A \times B\text{,}\) appelé le produit cartésien de \(A\) et \(B\text{,}\) comme un ensemble de couples ordonnés. C’est-à-dire,
\begin{equation*}
A \times B = \{ (a,b) : a \in A \text{ et } b \in B \}\text{.}
\end{equation*}
Nous définissons le produit cartésien de \(n\) ensembles par
\begin{equation*}
A_1 \times \cdots \times A_n = \{ (a_1, \ldots, a_n): a_i \in A_i \text{ pour } i = 1, \ldots, n \}\text{.}
\end{equation*}
Si \(A = A_1 = A_2 = \cdots = A_n\text{,}\) on écrit souvent \(A^n\) pour \(A \times \cdots \times A\) (où \(A\) serait écrit \(n\) fois). Par exemple, l’ensemble \({\mathbb R}^3\) est constitué de tous les triplets de nombres réels.
Les sous-ensembles de \(A \times B\) sont appelés des relations. Nous définirons une application ou fonction \(f \subset A \times B\) d’un ensemble \(A\) vers un ensemble \(B\) comme le type particulier de relation où chaque élément \(a \in A\) a un unique élément \(b \in B\) tel que \((a, b) \in f\text{.}\) Autrement dit, pour chaque élément de \(A\text{,}\)\(f\) associe un unique élément de \(B\text{.}\) On écrit habituellement \(f:A \rightarrow B\) ou \(A \stackrel{f}{\rightarrow} B\text{.}\) Au lieu d’écrire les couples ordonnés \((a,b) \in A \times B\text{,}\) on écrit \(f(a) = b\) ou \(f : a \mapsto b\text{.}\) L’ensemble \(A\) est appelé le domaine de \(f\) et
\begin{equation*}
f(A) = \{ f(a) : a \in A \} \subset B
\end{equation*}
est appelé l’image de \(f\text{.}\) On peut considérer les éléments du domaine de la fonction comme des valeurs d’entrée et les éléments de l’image de la fonction comme des valeurs de sortie.
Supposons que \(A = \{1, 2, 3 \}\) et \(B = \{a, b, c \}\text{.}\) Dans la Figure 1.2.7, nous définissons des relations \(f\) et \(g\) de \(A\) vers \(B\text{.}\) La relation \(f\) est une application, mais \(g\) ne l’est pas car \(1 \in A\) n’est pas associé à un unique élément de \(B\) ; c’est-à-dire que \(g(1) = a\) et \(g(1) = b\text{.}\)
Étant donnée une fonction \(f : A \rightarrow B\text{,}\) il est souvent possible d’écrire une liste décrivant ce que la fonction fait à chaque élément spécifique du domaine. Cependant, toutes les fonctions ne peuvent pas être décrites de cette manière. Par exemple, la fonction \(f: {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}\) qui envoie chaque nombre réel sur son cube est une application qui doit être décrite en écrivant \(f(x) = x^3\) ou \(f:x \mapsto x^3\text{.}\)
Considérons la relation \(f : {\mathbb Q} \rightarrow {\mathbb Z}\) définie par \(f(p/q) = p\text{.}\) Nous savons que \(1/2 = 2/4\text{,}\) mais est-ce que \(f(1/2) = 1\) ou \(2\) ? Cette relation ne peut pas être une application car elle n’est pas bien définie. Une relation est bien définie si chaque élément du domaine est associé à un élément unique dans l’image.
Si \(f:A \rightarrow B\) est une application et que l’image de \(f\) est \(B\text{,}\) c’est-à-dire \(f(A) = B\text{,}\) alors \(f\) est dite surjective. Autrement dit, s’il existe un \(a \in A\) pour chaque \(b \in B\) tel que \(f(a) = b\text{,}\) alors \(f\) est surjective. Une application est injective si \(a_1 \neq a_2\) implique \(f(a_1) \neq f(a_2)\text{.}\) De façon équivalente, une fonction est injective si \(f(a_1) = f(a_2)\) implique \(a_1 = a_2\text{.}\) Une application à la fois injective et surjective est appelée bijective.
Soit \(f:{\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Q}\) définie par \(f(n) = n/1\text{.}\) Alors \(f\) est injective mais pas surjective. Définissons \(g : {\mathbb Q} \rightarrow {\mathbb Z}\) par \(g(p/q) = p\) où \(p/q\) est un nombre rationnel exprimé sous forme irréductible avec un dénominateur positif. La fonction \(g\) est surjective mais pas injective.
Étant données deux fonctions, on peut construire une nouvelle fonction en utilisant l’image de la première fonction comme domaine de la deuxième. Soient \(f : A \rightarrow B\) et \(g : B \rightarrow C\) des applications. Définissons une nouvelle application, la composée de \(f\) et \(g\) de \(A\) vers \(C\text{,}\) par \((g \circ f)(x) = g(f(x))\text{.}\)
Considérons les fonctions \(f: A \rightarrow B\) et \(g: B \rightarrow C\) définies dans la Figure 1.2.9 (en haut). La composée de ces fonctions, \(g \circ f: A \rightarrow C\text{,}\) est définie dans la Figure 1.2.9 (en bas).
pour \((x,y)\) dans \({\mathbb R}^2\text{.}\) Il s’agit en réalité d’une multiplication matricielle ; c’est-à-dire,
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ax + by \\
cx +dy
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Les applications de \({\mathbb R}^n\) vers \({\mathbb R}^m\) données par des matrices sont appelées applications linéaires ou transformations linéaires.
(3) Supposons que \(f\) et \(g\) sont toutes deux des fonctions surjectives. Étant donné \(c \in C\text{,}\) nous devons montrer qu’il existe un \(a \in A\) tel que \((g \circ f)(a) = g(f(a)) = c\text{.}\) Or, puisque \(g\) est surjective, il existe un élément \(b \in B\) tel que \(g(b) = c\text{.}\) De même, il existe un \(a \in A\) tel que \(f(a) = b\text{.}\) Par conséquent,
Si \(S\) est un ensemble quelconque, nous utiliserons \(id_S\) ou \(id\) pour désigner l’ application identité de \(S\) vers lui-même. Définissons cette application par \(\identity(s) = s\) pour tout \(s \in S\text{.}\) Une application \(g: B \rightarrow A\) est une application inverse de \(f: A \rightarrow B\) si \(g \circ f = \identity_A\) et \(f \circ g = \identity_B\) ; autrement dit, la fonction inverse d’une fonction « défait » simplement la fonction. Une application est dite inversible si elle possède un inverse. On écrit habituellement \(f^{-1}\) pour l’inverse de \(f\text{.}\)
Le logarithme naturel et la fonction exponentielle, \(f(x) = \ln x\) et \(f^{-1}(x) = e^x\text{,}\) sont inverses l’un de l’autre à condition de choisir soigneusement les domaines. Observons que
\begin{equation*}
f(f^{-1}(x)) = f(e^x) = \ln e^x = x
\end{equation*}
On peut trouver une application inverse de \(T_A\) en inversant simplement la matrice \(A\) ; c’est-à-dire, \(T_A^{-1} = T_{A^{-1}}\text{.}\) Dans cet exemple,
Supposons d’abord que \(f:A \rightarrow B\) est inversible avec pour inverse \(g: B \rightarrow A\text{.}\) Alors \(g \circ f = id_A\) est l’application identité ; c’est-à-dire, \(g(f(a)) = a\text{.}\) Si \(a_1, a_2 \in A\) avec \(f(a_1) = f(a_2)\text{,}\) alors \(a_1 = g(f(a_1)) = g(f(a_2)) = a_2\text{.}\) Par conséquent, \(f\) est injective. Supposons maintenant que \(b \in B\text{.}\) Pour montrer que \(f\) est surjective, il faut trouver un \(a \in A\) tel que \(f(a) = b\text{,}\) mais \(f(g(b)) = b\) avec \(g(b) \in A\text{.}\) Posons \(a = g(b)\text{.}\)
Réciproquement, supposons que \(f\) est bijective et soit \(b \in B\text{.}\) Puisque \(f\) est surjective, il existe un \(a \in A\) tel que \(f(a) = b\text{.}\) Puisque \(f\) est injective, \(a\) est unique. Définissons \(g\) en posant \(g(b) = a\text{.}\) Nous avons ainsi construit l’inverse de \(f\text{.}\)
Sous-section1.2.3Relations d’équivalence et partitions
La notion d’égalité est fondamentale en mathématiques. On peut généraliser l’égalité avec les relations d’équivalence et les classes d’équivalence. Une relation d’équivalence sur un ensemble \(X\) est une relation \(R \subset X \times X\) telle que
\((x, x) \in R\) pour tout \(x \in X\) (propriété réflexive) ;
Étant donnée une relation d’équivalence \(R\) sur un ensemble \(X\text{,}\) on écrit habituellement \(x \sim y\) au lieu de \((x, y) \in R\text{.}\) Si la relation d’équivalence possède déjà une notation associée telle que \(=\text{,}\)\(\equiv\) ou \(\cong\text{,}\) nous utiliserons cette notation.
Soient \(p\text{,}\)\(q\text{,}\)\(r\) et \(s\) des entiers, où \(q\) et \(s\) sont non nuls. Définissons \(p/q \sim r/s\) si \(ps = qr\text{.}\) Il est clair que \(\sim\) est réflexive et symétrique. Pour montrer qu’elle est aussi transitive, supposons que \(p/q \sim r/s\) et \(r/s \sim t/u\text{,}\) avec \(q\text{,}\)\(s\) et \(u\) tous non nuls. Alors \(ps = qr\) et \(ru = st\text{.}\) Par conséquent,
Supposons que \(f\) et \(g\) sont des fonctions dérivables sur \({\mathbb R}\text{.}\) On peut définir une relation d’équivalence sur de telles fonctions en posant \(f(x) \sim g(x)\) si \(f'(x) = g'(x)\text{.}\) Il est clair que \(\sim\) est à la fois réflexive et symétrique. Pour démontrer la transitivité, supposons que \(f(x) \sim g(x)\) et \(g(x) \sim h(x)\text{.}\) D’après le calcul différentiel, nous savons que \(f(x) - g(x) = c_1\) et \(g(x)- h(x) = c_2\text{,}\) où \(c_1\) et \(c_2\) sont des constantes. Donc,
Pour \((x_1, y_1 )\) et \((x_2, y_2)\) dans \({\mathbb R}^2\text{,}\) définissons \((x_1, y_1 ) \sim (x_2, y_2)\) si \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\text{.}\) Alors \(\sim\) est une relation d’équivalence sur \({\mathbb R}^2\text{.}\)
Soient \(A\) et \(B\) des matrices \(2 \times 2\) à coefficients réels. On peut définir une relation d’équivalence sur l’ensemble des matrices \(2 \times 2\) en disant que \(A \sim B\) s’il existe une matrice inversible \(P\) telle que \(PAP^{-1} = B\text{.}\) Par exemple, si
Alors \(IAI^{-1} = IAI = A\) ; donc la relation est réflexive. Pour montrer la symétrie, supposons que \(A \sim B\text{.}\) Il existe alors une matrice inversible \(P\) telle que \(PAP^{-1} = B\text{.}\) Donc
\begin{equation*}
A = P^{-1} B P = P^{-1} B (P^{-1})^{-1}\text{.}
\end{equation*}
Enfin, supposons que \(A \sim B\) et \(B \sim C\text{.}\) Il existe alors des matrices inversibles \(P\) et \(Q\) telles que \(PAP^{-1} = B\) et \(QBQ^{-1} = C\text{.}\) Comme
\begin{equation*}
C = QBQ^{-1} = QPAP^{-1} Q^{-1} = (QP)A(QP)^{-1}\text{,}
\end{equation*}
la relation est transitive. Deux matrices équivalentes en ce sens sont dites semblables.
Une partition \({\mathcal P}\) d’un ensemble \(X\) est une collection d’ensembles non vides \(X_1, X_2, \ldots\) tels que \(X_i \cap X_j = \emptyset\) pour \(i \neq j\) et \(\bigcup_k X_k = X\text{.}\) Soit \(\sim\) une relation d’équivalence sur un ensemble \(X\) et soit \(x \in X\text{.}\) Alors \([x] = \{ y \in X : y \sim x \}\) est appelée la classe d’équivalence de \(x\text{.}\) Nous verrons qu’une relation d’équivalence engendre une partition via les classes d’équivalence. De même, chaque fois qu’une partition d’un ensemble existe, il existe une relation d’équivalence naturelle sous-jacente, comme le démontre le théorème suivant.
Étant donnée une relation d’équivalence \(\sim\) sur un ensemble \(X\text{,}\) les classes d’équivalence de \(X\) forment une partition de \(X\text{.}\) Réciproquement, si \({\mathcal P} = \{ X_i\}\) est une partition d’un ensemble \(X\text{,}\) il existe une relation d’équivalence sur \(X\) dont les classes d’équivalence sont les \(X_i\text{.}\)
Supposons qu’il existe une relation d’équivalence \(\sim\) sur l’ensemble \(X\text{.}\) Pour tout \(x \in X\text{,}\) la propriété réflexive montre que \(x \in [x]\) et donc \([x]\) est non vide. Il est clair que \(X = \bigcup_{x \in X} [x]\text{.}\) Soient maintenant \(x, y \in X\text{.}\) Nous devons montrer que \([x] = [y]\) ou \([x] \cap [y] = \emptyset\text{.}\) Supposons que l’intersection de \([x]\) et \([y]\) est non vide et que \(z \in [x] \cap [y]\text{.}\) Alors \(z \sim x\) et \(z \sim y\text{.}\) Par symétrie et transitivité \(x \sim y\) ; donc \([x] \subset [y]\text{.}\) De même, \([y] \subset [x]\) et donc \([x] = [y]\text{.}\) Ainsi, deux classes d’équivalence quelconques sont soit disjointes soit identiques.
Réciproquement, supposons que \({\mathcal P} = \{X_i\}\) est une partition d’un ensemble \(X\text{.}\) Déclarons deux éléments équivalents s’ils appartiennent à la même partie. La relation est clairement réflexive. Si \(x\) est dans la même partie que \(y\text{,}\) alors \(y\) est dans la même partie que \(x\text{,}\) donc \(x \sim y\) implique \(y \sim x\text{.}\) Enfin, si \(x\) est dans la même partie que \(y\) et \(y\) est dans la même partie que \(z\text{,}\) alors \(x\) est nécessairement dans la même partie que \(z\text{,}\) et la transitivité est vérifiée.
Dans la relation d’équivalence de l’Exemple 1.2.21, deux couples d’entiers, \((p,q)\) et \((r,s)\text{,}\) appartiennent à la même classe d’équivalence lorsqu’ils se réduisent à la même fraction irréductible.
Dans la relation d’équivalence de l’Exemple 1.2.22, deux fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\) appartiennent à la même partition lorsqu’elles diffèrent d’une constante.
Nous avons défini une classe d’équivalence sur \({\mathbb R}^2\) par \((x_1, y_1 ) \sim (x_2, y_2)\) si \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\text{.}\) Deux couples de nombres réels appartiennent à la même partition lorsqu’ils se trouvent sur le même cercle centré à l’origine.
Soient \(r\) et \(s\) deux entiers et supposons que \(n \in {\mathbb N}\text{.}\) On dit que \(r\) est congru à \(s\) modulo \(n\text{,}\) ou que \(r\) est congru à \(s\) mod \(n\text{,}\) si \(r - s\) est divisible par \(n\) ; c’est-à-dire, \(r - s = nk\) pour un certain \(k \in {\mathbb Z}\text{.}\) Dans ce cas, on écrit \(r \equiv s \pmod{n}\text{.}\) Par exemple, \(41 \equiv 17 \pmod{ 8}\) car \(41 - 17=24\) est divisible par \(8\text{.}\) Nous affirmons que la congruence modulo \(n\) est une relation d’équivalence sur \({\mathbb Z}\text{.}\) Certes, tout entier \(r\) est équivalent à lui-même car \(r - r = 0\) est divisible par \(n\text{.}\) Montrons maintenant que la relation est symétrique. Si \(r \equiv s \pmod{ n}\text{,}\) alors \(r - s = -(s -r)\) est divisible par \(n\text{.}\) Donc \(s - r\) est divisible par \(n\) et \(s \equiv r \pmod{ n}\text{.}\) Supposons maintenant que \(r \equiv s \pmod{ n}\) et \(s \equiv t \pmod{ n}\text{.}\) Il existe alors des entiers \(k\) et \(l\) tels que \(r -s = kn\) et \(s - t = ln\text{.}\) Pour montrer la transitivité, il faut prouver que \(r - t\) est divisible par \(n\text{.}\) Or,
\begin{equation*}
r - t = r - s + s - t = kn + ln = (k + l)n\text{,}
\end{equation*}
Remarquons que \([0] \cup [1] \cup [2] = {\mathbb Z}\) et aussi que les ensembles sont disjoints. Les ensembles \([0]\text{,}\)\([1]\) et \([2]\) forment une partition des entiers.
Les entiers modulo \(n\) constituent un exemple très important dans l’étude de l’algèbre abstraite et se révéleront fort utiles dans notre étude de diverses structures algébriques telles que les groupes et les anneaux. Dans notre discussion des entiers modulo \(n\text{,}\) nous avons en réalité supposé un résultat connu sous le nom d’algorithme de la division, qui sera énoncé et démontré dans le Chapitre 2.
