1.
Montrez que \(\det( AB) = \det(A) \det(B)\) pour \(A, B \in GL_2( {\mathbb R} )\text{.}\) Cela montre que le déterminant est un homomorphisme de \(GL_2( {\mathbb R} )\) vers \({\mathbb R}^*\text{.}\)
Exercices 11.4 Exercices
2.
Lesquelles des applications suivantes sont des homomorphismes ? Si l’application est un homomorphisme, quel est son noyau ?
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\(\phi : {\mathbb R}^\ast \rightarrow GL_2 ( {\mathbb R})\) définie par\begin{equation*} \phi( a ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \end{equation*}
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\(\phi : {\mathbb R} \rightarrow GL_2 ( {\mathbb R})\) définie par\begin{equation*} \phi( a ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
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\(\phi : GL_2 ({\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}\) définie par\begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = a + d \end{equation*}
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\(\phi : GL_2 ( {\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\) définie par\begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = ad - bc \end{equation*}
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\(\phi : {\mathbb M}_2( {\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}\) définie par\begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = b\text{,} \end{equation*}où \({\mathbb M}_2( {\mathbb R})\) est le groupe additif des matrices \(2 \times 2\) à coefficients dans \({\mathbb R}\text{.}\)
3.
Soit \(A\) une matrice \(m \times n\text{.}\) Montrez que la multiplication matricielle, \(x \mapsto Ax\text{,}\) définit un homomorphisme \(\phi : {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}^m\text{.}\)
4.
Soit \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\) défini par \(\phi(n) = 7n\text{.}\) Montrez que \(\phi\) est un homomorphisme de groupes. Trouvez le noyau et l’image de \(\phi\text{.}\)
5.
Indication.
Pour tout homomorphisme \(\phi : {\mathbb Z}_{24} \rightarrow {\mathbb Z}_{18}\text{,}\) le noyau de \(\phi\) doit être un sous-groupe de \({\mathbb Z}_{24}\) et l’image de \(\phi\) doit être un sous-groupe de \({\mathbb Z}_{18}\text{.}\) Utilisez ensuite le fait qu’un générateur doit être envoyé sur un générateur.
6.
7.
Dans le groupe \({\mathbb Z}_{24}\text{,}\) soit \(H = \langle 4 \rangle\) et \(N = \langle 6 \rangle\text{.}\)
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Listez les éléments de \(HN\) (on écrit habituellement \(H + N\) pour ces groupes additifs) et de \(H \cap N\text{.}\)
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Listez les classes dans \(HN/N\text{,}\) en indiquant les éléments de chaque classe.
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Listez les classes dans \(H/(H \cap N)\text{,}\) en indiquant les éléments de chaque classe.
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Donnez la correspondance entre \(HN/N\) et \(H/(H \cap N)\) décrite dans la démonstration du deuxième théorème d’isomorphisme.
8.
Si \(G\) est un groupe abélien et \(n \in {\mathbb N}\text{,}\) montrez que \(\phi : G \rightarrow G\) défini par \(g \mapsto g^n\) est un homomorphisme de groupes.
9.
Si \(\phi : G \rightarrow H\) est un homomorphisme de groupes et \(G\) est abélien, montrez que \(\phi(G)\) est aussi abélien.
10.
Si \(\phi : G \rightarrow H\) est un homomorphisme de groupes et \(G\) est cyclique, montrez que \(\phi(G)\) est aussi cyclique.
11.
Montrez qu’un homomorphisme défini sur un groupe cyclique est entièrement déterminé par son action sur le générateur du groupe.
12.
Si un groupe \(G\) possède exactement un sous-groupe \(H\) d’ordre \(k\text{,}\) montrez que \(H\) est normal dans \(G\text{.}\)
13.
Prouvez ou réfutez : \({\mathbb Q} / {\mathbb Z} \cong {\mathbb Q}\text{.}\)
14.
Soit \(G\) un groupe fini et \(N\) un sous-groupe normal de \(G\text{.}\) Si \(H\) est un sous-groupe de \(G/N\text{,}\) montrez que \(\phi^{-1}(H)\) est un sous-groupe de \(G\) d’ordre \(|H| \cdot |N|\text{,}\) où \(\phi : G \rightarrow G/N\) est l’homomorphisme canonique.
15.
Soient \(G_1\) et \(G_2\) des groupes, et soient \(H_1\) et \(H_2\) des sous-groupes normaux de \(G_1\) et \(G_2\) respectivement. Soit \(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) un homomorphisme. Montrez que \(\phi\) induit un homomorphisme \(\overline{\phi} : (G_1/H_1) \rightarrow (G_2/H_2)\) si \(\phi(H_1) \subset H_2\text{.}\)
16.
Si \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes normaux de \(G\) et \(H \cap K = \{ e \}\text{,}\) montrez que \(G\) est isomorphe à un sous-groupe de \(G/H \times G/K\text{.}\)
17.
Soit \(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) un homomorphisme de groupes surjectif. Soit \(H_1\) un sous-groupe normal de \(G_1\) et supposons que \(\phi(H_1) = H_2\text{.}\) Prouvez ou réfutez que \(G_1/H_1 \cong G_2/H_2\text{.}\)
18.
Soit \(\phi : G \rightarrow H\) un homomorphisme de groupes. Montrez que \(\phi\) est injectif si et seulement si \(\phi^{-1}(e) = \{ e \}\text{.}\)
19.
Étant donné un homomorphisme \(\phi :G \rightarrow H\text{,}\) définissons une relation \(\sim\) sur \(G\) par \(a \sim b\) si \(\phi(a) = \phi(b)\) pour \(a, b \in G\text{.}\) Montrez que cette relation est une relation d’équivalence et décrivez les classes d’équivalence.
