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\)
Exercices 11.5 Exercices supplémentaires : Automorphismes
1. Soit
\(\aut(G)\) l’ensemble de tous les automorphismes de
\(G\) ; c’est-à-dire les isomorphismes de
\(G\) sur lui-même. Montrez que cet ensemble forme un groupe et est un sous-groupe du groupe des permutations de
\(G\) ; c’est-à-dire
\(\aut(G) \leq S_G\text{.}\)
2.
Un automorphisme intérieur de \(G\text{,}\)
\begin{equation*}
i_g : G \rightarrow G\text{,}
\end{equation*}
est défini par l’application
\begin{equation*}
i_g(x) = g x g^{-1}\text{,}
\end{equation*}
pour \(g \in G\text{.}\) Montrez que \(i_g \in \aut(G)\text{.}\)
3. L’ensemble de tous les automorphismes intérieurs est noté
\(\inn(G)\text{.}\) Montrez que
\(\inn(G)\) est un sous-groupe de
\(\aut(G)\text{.}\)
4. Trouvez un automorphisme d’un groupe
\(G\) qui ne soit pas un automorphisme intérieur.
5.
Soit \(G\) un groupe et \(i_g\) un automorphisme intérieur de \(G\text{,}\) et définissons une application
\begin{equation*}
G \rightarrow \aut(G)
\end{equation*}
par
\begin{equation*}
g \mapsto i_g\text{.}
\end{equation*}
Montrez que cette application est un homomorphisme d’image \(\inn(G)\) et de noyau \(Z(G)\text{.}\) Utilisez ce résultat pour conclure que
\begin{equation*}
G/Z(G) \cong \inn(G)\text{.}
\end{equation*}
6. Calculez
\(\aut(S_3)\) et
\(\inn(S_3)\text{.}\) Faites de même pour
\(D_4\text{.}\)
7. Trouvez tous les homomorphismes
\(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\text{.}\) Quel est
\(\aut({\mathbb Z})\) ?
8. Trouvez tous les automorphismes de
\({\mathbb Z}_8\text{.}\) Montrez que
\(\aut({\mathbb Z}_8) \cong U(8)\text{.}\)
9. Pour
\(k \in {\mathbb Z}_n\text{,}\) définissons une application
\(\phi_k : {\mathbb Z}_n \rightarrow {\mathbb Z}_n\) par
\(a \mapsto ka\text{.}\) Montrez que
\(\phi_k\) est un homomorphisme.
10. Montrez que
\(\phi_k\) est un isomorphisme si et seulement si
\(k\) est un générateur de
\({\mathbb Z}_n\text{.}\)
11. Montrez que tout automorphisme de
\({\mathbb Z}_n\) est de la forme
\(\phi_k\text{,}\) où
\(k\) est un générateur de
\({\mathbb Z}_n\text{.}\)
12. Montrez que
\(\psi : U(n) \rightarrow \aut({\mathbb Z}_n)\) est un isomorphisme, où
\(\psi : k \mapsto \phi_k\text{.}\)
