Théorème 6.3.1.
Soit \(U(n)\) le groupe des unités dans \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Alors \(|U(n)| = \phi(n)\text{.}\)
Section 6.3 Les théorèmes de Fermat et d’Euler
La fonction \(\phi\) d’Euler est l’application \(\phi : {\mathbb N } \rightarrow {\mathbb N}\) définie par \(\phi(n) = 1\) pour \(n=1\text{,}\) et, pour \(n \gt 1\text{,}\) \(\phi(n)\) est le nombre d’entiers positifs \(m\) vérifiant \(1 \leq m \lt n\) et \(\gcd(m,n) = 1\text{.}\)
D’après la Proposition 3.1.4, nous savons que l’ordre de \(U(n)\text{,}\) le groupe des unités dans \({\mathbb Z}_n\text{,}\) est \(\phi(n)\text{.}\) Par exemple, \(|U(12)| = \phi(12) = 4\) puisque les entiers premiers avec 12 sont 1, 5, 7 et 11. Pour tout nombre premier \(p\text{,}\) \(\phi(p) = p-1\text{.}\) Nous énonçons ces résultats dans le théorème suivant.
Le théorème suivant est un résultat important en théorie des nombres, dû à Leonhard Euler.
Théorème 6.3.2. Théorème d’Euler.
Soient \(a\) et \(n\) des entiers tels que \(n \gt 0\) et \(\gcd(a, n) = 1\text{.}\) Alors \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\)
Démonstration.
D’après le Théorème 6.3.1, l’ordre de \(U(n)\) est \(\phi(n)\text{.}\) Par conséquent, \(a^{\phi(n)} = 1\) pour tout \(a \in U(n)\) ; autrement dit, \(a^{\phi(n)} - 1\) est divisible par \(n\text{.}\) Donc \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\)
Si l’on considère le cas particulier du théorème d’Euler où \(n = p\) est premier et que l’on rappelle que \(\phi(p) = p - 1\text{,}\) on obtient le résultat suivant, dû à Pierre de Fermat.
Théorème 6.3.3. Petit théorème de Fermat.
Soit \(p\) un nombre premier quelconque et supposons que \(p \notdivide a\) (\(p\) ne divise pas \(a\)). Alors
\begin{equation*}
a^{p-1} \equiv 1 \pmod{ p }\text{.}
\end{equation*}
De plus, pour tout entier \(b\text{,}\) \(b^p \equiv b \pmod{ p}\text{.}\)
Sous-section 6.3.1 Note historique
Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), né à Turin, en Italie, était d’ascendance française et italienne. Son talent pour les mathématiques se manifesta dès son jeune âge. Leonhard Euler reconnut les capacités de Lagrange lorsque celui-ci, âgé de seulement 19 ans, lui communiqua des travaux qu’il avait réalisés en calcul des variations. Cette même année, il fut également nommé professeur à l’École royale d’artillerie de Turin. À l’âge de 23 ans, il rejoignit l’Académie de Berlin. Frédéric le Grand avait écrit à Lagrange en proclamant que le « plus grand roi d’Europe » devait avoir le « plus grand mathématicien d’Europe » à sa cour. Pendant 20 ans, Lagrange occupa le poste laissé vacant par son mentor, Euler. Ses travaux comprennent des contributions à la théorie des nombres, à la théorie des groupes, à la physique et à la mécanique, au calcul des variations, à la théorie des équations et aux équations différentielles. Avec Laplace et Lavoisier, Lagrange fut l’une des personnes responsables de la conception du système métrique. Au cours de sa vie, Lagrange influença profondément le développement des mathématiques, laissant beaucoup à la génération suivante de mathématiciens sous forme d’exemples et de nouveaux problèmes à résoudre.
