AATA L’équation aux classes

Section 14.2 L’équation aux classes

Soit \(X\) un \(G\)-ensemble fini et \(X_G\) l’ensemble des points fixes dans \(X\) ; c’est-à-dire,

\begin{equation*} X_G = \{ x \in X : gx = x \text{ pour tout } g \in G \}\text{.} \end{equation*}

Puisque les orbites de l’action partitionnent \(X\text{,}\)

\begin{equation*} |X| = |X_G| + \sum_{i = k}^n |{\mathcal O}_{x_i}|\text{,} \end{equation*}

où \(x_k, \ldots, x_n\) sont des représentants des orbites non triviales distinctes de \(X\text{.}\)

Considérons maintenant le cas particulier où \(G\) agit sur lui-même par conjugaison, \((g,x) \mapsto gxg^{-1}\text{.}\) Le centre de \(G\text{,}\)

\begin{equation*} Z(G) = \{x : xg = gx \text{ pour tout } g \in G \}\text{,} \end{equation*}

est l’ensemble des points qui sont fixes par la conjugaison. Les orbites non triviales de l’action sont appelées les classes de conjugaison de \(G\text{.}\) Si \(x_1, \ldots, x_k\) sont des représentants de chacune des classes de conjugaison non triviales de \(G\) et \(|{\mathcal O}_{x_1}| = n_1, \ldots, |{\mathcal O}_{x_k}| = n_k\text{,}\) alors

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k\text{.} \end{equation*}

Les sous-groupes stabilisateurs de chacun des \(x_i\text{,}\) \(C(x_i) = \{ g \in G: g x_i = x_i g \}\text{,}\) sont appelés les sous-groupes centralisateurs des \(x_i\text{.}\) D’après Théorème 14.1.11, nous obtenons l’ équation aux classes :

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{.} \end{equation*}

L’une des conséquences de l’équation aux classes est que l’ordre de chaque classe de conjugaison doit diviser l’ordre de \(G\text{.}\)

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Exemple 14.2.1.

Il est facile de vérifier que les classes de conjugaison dans \(S_3\) sont les suivantes :

\begin{equation*} \{ (1) \}, \quad \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}, \quad \{(1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\text{.} \end{equation*}

L’équation aux classes est \(6 = 1+2+3\text{.}\)

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Exemple 14.2.2.

Le centre de \(D_4\) est \(\{ (1), (1 \, 3)(2 \, 4) \}\text{,}\) et les classes de conjugaison sont

\begin{equation*} \{ (1 \, 3), (2 \, 4) \}, \quad \{ (1 \, 4 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 3 \, 4) \}, \quad \{ (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \}\text{.} \end{equation*}

Ainsi, l’équation aux classes pour \(D_4\) est \(8 = 2 + 2 + 2 + 2\text{.}\)

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Exemple 14.2.3.

Pour \(S_n\text{,}\) trouver les classes de conjugaison demande un peu de travail. Nous commençons par les cycles. Supposons que \(\sigma = ( a_1, \ldots, a_k)\) est un cycle et soit \(\tau \in S_n\text{.}\) D’après Théorème 6.2.8,

\begin{equation*} \tau \sigma \tau^{-1} = ( \tau( a_1), \ldots, \tau(a_k))\text{.} \end{equation*}

Par conséquent, deux cycles quelconques de même longueur sont conjugués. Soit maintenant \(\sigma = \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_r\) une décomposition en cycles, où la longueur de chaque cycle \(\sigma_i\) est \(r_i\text{.}\) Alors \(\sigma\) est conjugué à tout autre \(\tau \in S_n\) dont la décomposition en cycles a les mêmes longueurs.

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Le nombre de classes de conjugaison dans \(S_n\) est le nombre de façons dont \(n\) peut être partitionné en sommes d’entiers positifs. Dans le cas de \(S_3\) par exemple, nous pouvons partitionner l’entier \(3\) de la manière suivante en trois sommes :

\begin{align*} 3 & = 1 + 1 + 1\\ 3 & = 1 + 2\\ 3 & = 3 ; \end{align*}

il y a donc trois classes de conjugaison. Il existe des variantes du problème consistant à trouver le nombre de telles partitions pour tout entier positif \(n\) qui sont ce que les informaticiens appellent NP-complet. Cela signifie en pratique que le problème ne peut pas être résolu pour un grand \(n\) car les calculs seraient trop longs même pour les ordinateurs les plus puissants.

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Théorème 14.2.4.

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(p^n\) où \(p\) est premier. Alors \(G\) a un centre non trivial.

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Démonstration.

Nous appliquons l’équation aux classes

\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k\text{.} \end{equation*}

Puisque chaque \(n_i \gt 1\) et \(n_i \mid |G|\text{,}\) il s’ensuit que \(p\) doit diviser chaque \(n_i\text{.}\) De plus, \(p \mid |G|\) ; donc \(p\) doit diviser \(|Z(G)|\text{.}\) Puisque l’élément neutre est toujours dans le centre de \(G\text{,}\) \(|Z(G)| \geq 1\text{.}\) Par conséquent, \(|Z(G)| \geq p\text{,}\) et il existe un \(g \in Z(G)\) tel que \(g \neq 1\text{.}\)

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Corollaire 14.2.5.

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(p^2\) où \(p\) est premier. Alors \(G\) est abélien.

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Démonstration.

D’après Théorème 14.2.4, \(|Z(G)| = p\) ou \(p^2\text{.}\) Supposons que \(|Z(G)| = p\text{.}\) Alors \(Z(G)\) et \(G / Z(G)\) sont tous deux d’ordre \(p\) et doivent être des groupes cycliques. En choisissant un générateur \(aZ(G)\) pour \(G / Z(G)\text{,}\) nous pouvons écrire tout élément \(gZ(G)\) du groupe quotient sous la forme \(a^m Z(G)\) pour un certain entier \(m\) ; donc \(g = a^m x\) pour un certain \(x\) dans le centre de \(G\text{.}\) De même, si \(hZ(G) \in G / Z(G)\text{,}\) il existe un \(y\) dans \(Z(G)\) tel que \(h = a^n y\) pour un certain entier \(n\text{.}\) Puisque \(x\) et \(y\) sont dans le centre de \(G\text{,}\) ils commutent avec tous les autres éléments de \(G\) ; par conséquent,

\begin{equation*} gh = a^m x a^n y = a^{m+n} x y = a^n y a^m x = hg\text{,} \end{equation*}

et \(G\) doit être abélien. Donc \(|Z(G)| = p^2\text{.}\)

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