AATA Exercices

Exercices 21.5 Exercices

1.

Montrez que chacun des nombres suivants est algébrique sur \({\mathbb Q}\) en trouvant le polynôme minimal du nombre sur \({\mathbb Q}\text{.}\)

\(\displaystyle \sqrt{ 1/3 + \sqrt{7} }\)
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\(\displaystyle \sqrt{ 3} + \sqrt[3]{5}\)
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\(\displaystyle \sqrt{3} + \sqrt{2}\, i\)
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\(\cos \theta + i \sin \theta\) pour \(\theta = 2 \pi /n\) avec \(n \in {\mathbb N}\)
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\(\displaystyle \sqrt{ \sqrt[3]{2} - i }\)
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Indication.

(a) \(x^4 - (2/3) x^2 - 62/9\) ; (c) \(x^4 - 2 x^2 + 25\text{.}\)

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2.

Trouvez une base pour chacune des extensions de corps suivantes. Quel est le degré de chaque extension ?

\({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{6}\, )\) sur \({\mathbb Q}\)
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\({\mathbb Q}( \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\, )\) sur \({\mathbb Q}\)
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\({\mathbb Q}( \sqrt{2}, i)\) sur \({\mathbb Q}\)
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\({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}\, )\) sur \({\mathbb Q}\)
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\({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \root 3 \of{2}\, )\) sur \({\mathbb Q}\)
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\({\mathbb Q}( \sqrt{8}\, )\) sur \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\)
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\({\mathbb Q}(i, \sqrt{2} +i, \sqrt{3} + i )\) sur \({\mathbb Q}\)
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\({\mathbb Q}( \sqrt{2} + \sqrt{5}\, )\) sur \({\mathbb Q} ( \sqrt{5}\, )\)
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\({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \sqrt{6} + \sqrt{10}\, )\) sur \({\mathbb Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )\)
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Indication.

(a) \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\) ; (c) \(\{ 1, i, \sqrt{2}, \sqrt{2}\, i \}\) ; (e) \(\{1, 2^{1/6}, 2^{1/3}, 2^{1/2}, 2^{2/3}, 2^{5/6} \}\text{.}\)

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3.

Trouvez le corps de décomposition de chacun des polynômes suivants.

\(x^4 - 10 x^2 + 21\) sur \({\mathbb Q}\)
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\(x^4 + 1\) sur \({\mathbb Q}\)
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\(x^3 + 2x + 2\) sur \({\mathbb Z}_3\)
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\(x^3 - 3\) sur \({\mathbb Q}\)
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Indication.

(a) \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\text{.}\)

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4.

Considérons l’extension de corps \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sur \(\mathbb Q\text{.}\)

Trouvez une base de l’extension de corps \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sur \(\mathbb Q\text{.}\) Concluez que \([{\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i ): \mathbb Q] = 8\text{.}\)
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Trouvez tous les sous-corps \(F\) de \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) tels que \([F:\mathbb Q] = 2\text{.}\)
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Trouvez tous les sous-corps \(F\) de \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) tels que \([F:\mathbb Q] = 4\text{.}\)
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5.

Montrez que \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\) est un corps à huit éléments. Construisez une table de multiplication pour le groupe multiplicatif du corps.

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Indication.

Utilisez le fait que les éléments de \({\mathbb Z}_2[x]/ \langle x^3 + x + 1 \rangle\) sont 0, 1, \(\alpha\text{,}\) \(1 + \alpha\text{,}\) \(\alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha^2\text{,}\) \(\alpha + \alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha + \alpha^2\) et le fait que \(\alpha^3 + \alpha + 1 = 0\text{.}\)

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6.

Montrez que l’ennéagone régulier à \(9\) côtés n’est pas constructible à la règle et au compas, mais que le polygone régulier à \(20\) côtés est constructible.

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7.

Montrez que le cosinus d’un degré (\(\cos 1^\circ\)) est algébrique sur \({\mathbb Q}\) mais non constructible.

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8.

Peut-on construire un cube de volume triple de celui d’un cube donné ?

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Indication.

Non.

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9.

Montrez que \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt[4]{3}, \sqrt[8]{3}, \ldots )\) est une extension algébrique de \({\mathbb Q}\) mais pas une extension finie.

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10.

Prouvez ou réfutez : \(\pi\) est algébrique sur \({\mathbb Q}(\pi^3)\text{.}\)

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11.

Soit \(p(x)\) un polynôme non constant de degré \(n\) dans \(F[x]\text{.}\) Montrez qu’il existe un corps de décomposition \(E\) de \(p(x)\) tel que \([E : F] \leq n!\text{.}\)

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12.

Prouvez ou réfutez : \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) \cong {\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\)

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13.

Montrez que les corps \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, )\) et \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, i)\) sont isomorphes mais non égaux.

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14.

Soit \(K\) une extension algébrique de \(E\text{,}\) et \(E\) une extension algébrique de \(F\text{.}\) Montrez que \(K\) est algébrique sur \(F\text{.}\) [Attention : Ne supposez pas que les extensions sont finies.]

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Indication.

Supposons que \(E\) est algébrique sur \(F\) et \(K\) est algébrique sur \(E\text{.}\) Soit \(\alpha \in K\text{.}\) Il suffit de montrer que \(\alpha\) est algébrique sur une extension finie de \(F\text{.}\) Puisque \(\alpha\) est algébrique sur \(E\text{,}\) il doit être le zéro d’un polynôme \(p(x) = \beta_0 + \beta_1 x + \cdots + \beta_n x^n\) dans \(E[x]\text{.}\) Donc \(\alpha\) est algébrique sur \(F(\beta_0, \ldots, \beta_n)\text{.}\)

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15.

Prouvez ou réfutez : \({\mathbb Z}[x] / \langle x^3 -2 \rangle\) est un corps.

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16.

Soit \(F\) un corps de caractéristique \(p\text{.}\) Montrez que \(p(x) = x^p - a\) est soit irréductible sur \(F\) soit se décompose dans \(F\text{.}\)

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17.

Soit \(E\) la clôture algébrique d’un corps \(F\text{.}\) Montrez que tout polynôme \(p(x)\) de \(F[x]\) se décompose dans \(E\text{.}\)

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18.

Si tout polynôme irréductible \(p(x)\) de \(F[x]\) est linéaire, montrez que \(F\) est un corps algébriquement clos.

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19.

Montrez que si \(\alpha\) et \(\beta\) sont des nombres constructibles avec \(\beta \neq 0\text{,}\) alors \(\alpha / \beta\) l’est aussi.

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20.

Montrez que l’ensemble de tous les éléments de \({\mathbb R}\) qui sont algébriques sur \({\mathbb Q}\) forme une extension de corps de \({\mathbb Q}\) qui n’est pas finie.

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21.

Soit \(E\) une extension algébrique d’un corps \(F\text{,}\) et soit \(\sigma\) un automorphisme de \(E\) laissant \(F\) fixe. Soit \(\alpha \in E\text{.}\) Montrez que \(\sigma\) induit une permutation de l’ensemble de tous les zéros du polynôme minimal de \(\alpha\) qui sont dans \(E\text{.}\)

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22.

Montrez que \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, )\text{.}\) Étendez votre preuve pour montrer que \({\mathbb Q}( \sqrt{a}, \sqrt{b}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{a} + \sqrt{b}\, )\text{,}\) où \(a \neq b\) et ni \(a\) ni \(b\) n’est un carré parfait.

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Indication.

Puisque \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{7}, \sqrt{21}\, \}\) est une base de \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\) sur \({\mathbb Q}\text{,}\) \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) \supset {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\) Puisque \([{\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 4\text{,}\) \([{\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 2\) ou 4. Puisque le degré du polynôme minimal de \(\sqrt{3} +\sqrt{7}\) est 4, \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\)

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23.

Soit \(E\) une extension finie d’un corps \(F\text{.}\) Si \([E:F] = 2\text{,}\) montrez que \(E\) est un corps de décomposition de \(F\) pour un certain polynôme \(f(x) \in F[x]\text{.}\)

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24.

Prouvez ou réfutez : Étant donné un polynôme \(p(x)\) dans \({\mathbb Z}_6[x]\text{,}\) il est possible de construire un anneau \(R\) tel que \(p(x)\) ait une racine dans \(R\text{.}\)

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25.

Soit \(E\) une extension de corps de \(F\) et \(\alpha \in E\text{.}\) Déterminez \([F(\alpha): F(\alpha^3)]\text{.}\)

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26.

Soient \(\alpha, \beta\) transcendants sur \({\mathbb Q}\text{.}\) Montrez que soit \(\alpha \beta\) soit \(\alpha + \beta\) est aussi transcendant.

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27.

Soit \(E\) un corps d’extension de \(F\) et \(\alpha \in E\) transcendant sur \(F\text{.}\) Montrez que tout élément de \(F(\alpha)\) qui n’est pas dans \(F\) est aussi transcendant sur \(F\text{.}\)

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Indication.

Soit \(\beta \in F(\alpha)\) non dans \(F\text{.}\) Alors \(\beta = p(\alpha)/q(\alpha)\text{,}\) où \(p\) et \(q\) sont des polynômes en \(\alpha\) avec \(q(\alpha) \neq 0\) et des coefficients dans \(F\text{.}\) Si \(\beta\) est algébrique sur \(F\text{,}\) alors il existe un polynôme \(f(x) \in F[x]\) tel que \(f(\beta) = 0\text{.}\) Soit \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\text{.}\) Alors

\begin{equation*} 0 = f(\beta) = f\left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right) = a_0 + a_1 \left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right) + \cdots + a_n \left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right)^n\text{.} \end{equation*}

Multipliez maintenant les deux membres par \(q(\alpha)^n\) pour montrer qu’il existe un polynôme dans \(F[x]\) qui a \(\alpha\) comme zéro.

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28.

Soit \(\alpha\) une racine d’un polynôme unitaire irréductible \(p(x) \in F[x]\text{,}\) avec \(\deg p = n\text{.}\) Montrez que \([F(\alpha) : F] = n\text{.}\)

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Indication.

Voir les commentaires suivant le Théorème 21.1.13.

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