1.
Pour chacun des groupes \(G\) suivants, déterminer si \(H\) est un sous-groupe normal de \(G\text{.}\) Si \(H\) est un sous-groupe normal, écrire la table de Cayley du groupe quotient \(G/H\text{.}\)
Exercices 10.4 Exercices
2.
Trouver tous les sous-groupes de \(D_4\text{.}\) Quels sous-groupes sont normaux ? Quels sont tous les groupes quotients de \(D_4\) à isomorphisme près ?
3.
Trouver tous les sous-groupes du groupe des quaternions, \(Q_8\text{.}\) Quels sous-groupes sont normaux ? Quels sont tous les groupes quotients de \(Q_8\) à isomorphisme près ?
4.
Soit \(T\) le groupe des matrices triangulaires supérieures non singulières \(2 \times 2\) à coefficients dans \({\mathbb R}\) ; c’est-à-dire les matrices de la forme
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & c
\end{pmatrix}\text{,}
\end{equation*}
où \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c \in {\mathbb R}\) et \(ac \neq 0\text{.}\) Soit \(U\) l’ensemble des matrices de la forme
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & x \\
0 & 1
\end{pmatrix}\text{,}
\end{equation*}
où \(x \in {\mathbb R}\text{.}\)
-
Montrer que \(U\) est abélien.
-
Montrer que \(T/U\) est abélien.
5.
Montrer que l’intersection de deux sous-groupes normaux est un sous-groupe normal.
6.
7.
Démontrer ou réfuter : Si \(H\) est un sous-groupe normal de \(G\) tel que \(H\) et \(G/H\) sont abéliens, alors \(G\) est abélien.
8.
9.
10.
Soit \(H\) un sous-groupe d’indice \(2\) d’un groupe \(G\text{.}\) Montrer que \(H\) est nécessairement un sous-groupe normal de \(G\text{.}\) En déduire que \(S_n\) n’est pas simple pour \(n \geq 3\text{.}\)
11.
Si un groupe \(G\) possède exactement un sous-groupe \(H\) d’ordre \(k\text{,}\) montrer que \(H\) est normal dans \(G\text{.}\)
12.
Définir le centralisateur d’un élément \(g\) dans un groupe \(G\) comme l’ensemble
\begin{equation*}
C(g) = \{ x \in G : xg = gx \}\text{.}
\end{equation*}
Montrer que \(C(g)\) est un sous-groupe de \(G\text{.}\) Si \(g\) engendre un sous-groupe normal de \(G\text{,}\) montrer que \(C(g)\) est normal dans \(G\text{.}\)
13.
Rappelons que le centre d’un groupe \(G\) est l’ensemble
\begin{equation*}
Z(G) = \{ x \in G : xg = gx \text{ pour tout } g \in G \}\text{.}
\end{equation*}
-
Calculer le centre de \(S_3\text{.}\)
-
Calculer le centre de \(GL_2 ( {\mathbb R} )\text{.}\)
14.
Soit \(G\) un groupe et \(G' = \langle aba^{- 1} b^{-1} \rangle\) ; c’est-à-dire que \(G'\) est le sous-groupe de tous les produits finis d’éléments de \(G\) de la forme \(aba^{-1}b^{-1}\text{.}\) Le sous-groupe \(G'\) est appelé le sous-groupe dérivé de \(G\text{.}\)
-
Soit \(N\) un sous-groupe normal de \(G\text{.}\) Montrer que \(G/N\) est abélien si et seulement si \(N\) contient le sous-groupe dérivé de \(G\text{.}\)
Indication.
(a) Soit \(g \in G\) et \(h \in G'\text{.}\) Si \(h = aba^{-1}b^{-1}\text{,}\) alors
\begin{align*}
ghg^{-1} & = gaba^{-1}b^{-1}g^{-1}\\
& = (gag^{-1})(gbg^{-1})(ga^{-1}g^{-1})(gb^{-1}g^{-1})\\
& = (gag^{-1})(gbg^{-1})(gag^{-1})^{-1}(gbg^{-1})^{-1}\text{.}
\end{align*}
Nous devons également montrer que si \(h = h_1 \cdots h_n\) avec \(h_i = a_i b_i a_i^{-1} b_i^{-1}\text{,}\) alors \(ghg^{-1}\) est un produit d’éléments du même type. Or, \(ghg^{-1} = g h_1 \cdots h_n g^{-1} = (gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1}) \cdots (gh_ng^{-1})\text{.}\)
