\begin{align*}
A & = \{ x : x \in \mathbb N \text{ et } x \text{ est pair} \},\\
B & = \{x : x \in \mathbb N \text{ et } x \text{ est premier}\},\\
C & = \{ x : x \in \mathbb N \text{ et } x \text{ est un multiple de } 5\}\text{.}
\end{align*}
Si \(A = \{ a, b, c \}\text{,}\)\(B = \{ 1, 2, 3 \}\text{,}\)\(C = \{ x \}\) et \(D = \emptyset\text{,}\) lister tous les éléments de chacun des ensembles suivants.
Observons que \(x \in A \cup B\) si et seulement si \(x \in A\) ou \(x \in B\text{.}\) De façon équivalente, \(x \in B\) ou \(x \in A\text{,}\) ce qui est la même chose que \(x \in B \cup A\text{.}\) Donc \(A \cup B = B \cup A\text{.}\)
\((A \cap B) \cup (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cap B) \cup (A \cap B') \cup (B \cap A') = [A \cap (B \cup B')] \cup (B \cap A') = A \cup (B \cap A') = (A \cup B) \cap (A \cup A') = A \cup B\text{.}\)
\(A \setminus (B \cup C) = A \cap (B \cup C)' = (A \cap A) \cap (B' \cap C') = (A \cap B') \cap (A \cap C') = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\text{.}\)
Lesquelles des relations suivantes \(f: {\mathbb Q} \rightarrow {\mathbb Q}\) définissent une application ? Dans chaque cas, donner une raison pour laquelle \(f\) est ou n’est pas une application.
(a) Ce n’est pas une application car \(f(2/3)\) n’est pas défini ; (b) c’est une application ; (c) ce n’est pas une application car \(f(1/2) = 3/4\) mais \(f(2/4)=3/8\) ; (d) c’est une application.
Déterminer lesquelles des fonctions suivantes sont injectives et lesquelles sont surjectives. Si la fonction n’est pas surjective, déterminer son image.
(a) \(f\) est injective mais pas surjective. \(f({\mathbb R} ) = \{ x \in {\mathbb R} : x \gt 0 \}\text{.}\) (c) \(f\) n’est ni injective ni surjective. \(f(\mathbb R) = \{ x : -1 \leq x \leq 1 \}\text{.}\)
Soient \(f :A \rightarrow B\) et \(g : B \rightarrow C\) des applications inversibles ; c’est-à-dire des applications telles que \(f^{-1}\) et \(g^{-1}\) existent. Montrer que \((g \circ f)^{-1} =f^{-1} \circ g^{-1}\text{.}\)
Démontrer que la relation définie sur \({\mathbb R}^2\) par \((x_1, y_1 ) \sim (x_2, y_2)\) si \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\) est une relation d’équivalence.
(a) Soient \(x, y \in A\text{.}\) Alors \(g(f(x)) = (g \circ f)(x) = (g \circ f)(y) = g(f(y))\text{.}\) Donc \(f(x) = f(y)\) et \(x = y\text{,}\) de sorte que \(g \circ f\) est injective. (b) Soit \(c \in C\text{,}\) alors \(c = (g \circ f)(x) = g(f(x))\) pour un certain \(x \in A\text{.}\) Comme \(f(x) \in B\text{,}\)\(g\) est surjective.
(a) Soit \(y \in f(A_1 \cup A_2)\text{.}\) Il existe alors un \(x \in A_1 \cup A_2\) tel que \(f(x) = y\text{.}\) Donc \(y \in f(A_1)\) ou \(y \in f(A_2)\text{.}\) Par conséquent, \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Ainsi, \(f(A_1 \cup A_2) \subset f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Réciproquement, si \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{,}\) alors \(y \in f(A_1)\) ou \(y \in f(A_2)\text{.}\) Il existe donc un \(x\) dans \(A_1\) ou \(A_2\) tel que \(f(x) = y\text{.}\) Ainsi, il existe un \(x \in A_1 \cup A_2\) tel que \(f(x) = y\text{.}\) Par conséquent, \(f(A_1) \cup f(A_2) \subset f(A_1 \cup A_2)\text{,}\) et \(f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\)
Déterminer si les relations suivantes sont ou non des relations d’équivalence sur l’ensemble donné. Si la relation est une relation d’équivalence, décrire la partition qu’elle définit. Si la relation n’est pas une relation d’équivalence, expliquer pourquoi elle ne l’est pas.
(a) La relation n’est pas symétrique. (b) La relation n’est pas réflexive, car \(0\) n’est pas équivalent à lui-même. (c) La relation n’est pas transitive.
Définir une relation \(\sim\) sur \({\mathbb R}^2\) en posant que \((a, b) \sim (c, d)\) si et seulement si \(a^2 + b^2 \leq c^2 + d^2\text{.}\) Montrer que \(\sim\) est réflexive et transitive mais pas symétrique.
Trouver l’erreur dans l’argument suivant en fournissant un contre-exemple. « La propriété réflexive est redondante dans les axiomes d’une relation d’équivalence. Si \(x \sim y\text{,}\) alors \(y \sim x\) par la propriété symétrique. En utilisant la propriété transitive, on peut déduire que \(x \sim x\text{.}\) »
Définir une relation sur \({\mathbb R}^2 \setminus \{ (0,0) \}\) en posant que \((x_1, y_1) \sim (x_2, y_2)\) s’il existe un nombre réel non nul \(\lambda\) tel que \((x_1, y_1) = ( \lambda x_2, \lambda y_2)\text{.}\) Démontrer que \(\sim\) définit une relation d’équivalence sur \({\mathbb R}^2 \setminus (0,0)\text{.}\) Quelles sont les classes d’équivalence correspondantes ? Cette relation d’équivalence définit la droite projective, notée \({\mathbb P}({\mathbb R}) \text{,}\) qui est très importante en géométrie.
