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Algèbre abstraite Théorie et applications

Thomas W. Judson

Appendice C Conseils et réponses aux exercices choisis

1 Préliminaires
1.4 Exercices

1.4.1.

Indication.
(a) \(A \cap B = \{ 2 \}\) ; (b) \(B \cap C = \{ 5 \}\text{.}\)
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1.4.2.

Indication.
(a) \(A \times B = \{ (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3) \}\) ; (d) \(A \times D = \emptyset\text{.}\)
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1.4.6.

Indication.
Observons que \(x \in A \cup B\) si et seulement si \(x \in A\) ou \(x \in B\text{.}\) De façon équivalente, \(x \in B\) ou \(x \in A\text{,}\) ce qui est la même chose que \(x \in B \cup A\text{.}\) Donc \(A \cup B = B \cup A\text{.}\)
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1.4.10.

Indication.
\((A \cap B) \cup (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cap B) \cup (A \cap B') \cup (B \cap A') = [A \cap (B \cup B')] \cup (B \cap A') = A \cup (B \cap A') = (A \cup B) \cap (A \cup A') = A \cup B\text{.}\)
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1.4.14.

Indication.
\(A \setminus (B \cup C) = A \cap (B \cup C)' = (A \cap A) \cap (B' \cap C') = (A \cap B') \cap (A \cap C') = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\text{.}\)
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1.4.17.

Indication.
(a) Ce n’est pas une application car \(f(2/3)\) n’est pas défini ; (b) c’est une application ; (c) ce n’est pas une application car \(f(1/2) = 3/4\) mais \(f(2/4)=3/8\) ; (d) c’est une application.
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1.4.18.

Indication.
(a) \(f\) est injective mais pas surjective. \(f({\mathbb R} ) = \{ x \in {\mathbb R} : x \gt 0 \}\text{.}\) (c) \(f\) n’est ni injective ni surjective. \(f(\mathbb R) = \{ x : -1 \leq x \leq 1 \}\text{.}\)
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1.4.22.

Indication.
(a) Soient \(x, y \in A\text{.}\) Alors \(g(f(x)) = (g \circ f)(x) = (g \circ f)(y) = g(f(y))\text{.}\) Donc \(f(x) = f(y)\) et \(x = y\text{,}\) de sorte que \(g \circ f\) est injective. (b) Soit \(c \in C\text{,}\) alors \(c = (g \circ f)(x) = g(f(x))\) pour un certain \(x \in A\text{.}\) Comme \(f(x) \in B\text{,}\) \(g\) est surjective.
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1.4.24.

Indication.
(a) Soit \(y \in f(A_1 \cup A_2)\text{.}\) Il existe alors un \(x \in A_1 \cup A_2\) tel que \(f(x) = y\text{.}\) Donc \(y \in f(A_1)\) ou \(y \in f(A_2)\text{.}\) Par conséquent, \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Ainsi, \(f(A_1 \cup A_2) \subset f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Réciproquement, si \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{,}\) alors \(y \in f(A_1)\) ou \(y \in f(A_2)\text{.}\) Il existe donc un \(x\) dans \(A_1\) ou \(A_2\) tel que \(f(x) = y\text{.}\) Ainsi, il existe un \(x \in A_1 \cup A_2\) tel que \(f(x) = y\text{.}\) Par conséquent, \(f(A_1) \cup f(A_2) \subset f(A_1 \cup A_2)\text{,}\) et \(f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\)
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1.4.25.

Indication.
(a) La relation n’est pas symétrique. (b) La relation n’est pas réflexive, car \(0\) n’est pas équivalent à lui-même. (c) La relation n’est pas transitive.
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1.4.28.

Indication.
Poser \(X = {\mathbb N} \cup \{ \sqrt{2}\, \}\) et définir \(x \sim y\) si \(x + y \in {\mathbb N}\text{.}\)
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2 Les entiers
2.4 Exercices

2.4.1.

Indication.
Le cas de base, \(S(1): [1(1 + 1)(2(1) + 1)]/6 = 1 = 1^2\) est vrai. Supposons que \(S(k): 1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 = [k(k + 1)(2k + 1)]/6\) est vraie. Alors
\begin{align*} 1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 + (k + 1)^2 & = [k(k + 1)(2k + 1)]/6 + (k + 1)^2\\ & = [(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)]/6\text{,} \end{align*}
donc \(S(k + 1)\) est vraie. Ainsi, \(S(n)\) est vraie pour tout entier positif \(n\text{.}\)
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2.4.3.

Indication.
Le cas de base, \(S(4): 4! = 24 \gt 16 =2^4\) est vrai. Supposons que \(S(k): k! \gt 2^k\) est vraie. Alors \((k + 1)! = k! (k + 1) \gt 2^k \cdot 2 = 2^{k + 1}\text{,}\) donc \(S(k + 1)\) est vraie. Ainsi, \(S(n)\) est vraie pour tout entier positif \(n\text{.}\)
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2.4.11.

Indication.
Le cas de base, \(S(0): (1 + x)^0 - 1 = 0 \geq 0 = 0 \cdot x\) est vrai. Supposons que \(S(k): (1 + x)^k -1 \geq kx\) est vraie. Alors
\begin{align*} (1 + x)^{k + 1} - 1 & = (1 + x)(1 + x)^k -1\\ & = (1 + x)^k + x(1 + x)^k - 1\\ & \geq kx + x(1 + x)^k\\ & \geq kx + x\\ & = (k + 1)x\text{,} \end{align*}
donc \(S(k + 1)\) est vraie. Donc \(S(n)\) est vraie pour tout entier positif \(n\text{.}\)
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2.4.19.

Indication.
Utilisez le théorème fondamental de l’arithmétique.
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2.4.23.

Indication.
Utilisez le principe du bon ordre et l’algorithme de la division.
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2.4.27.

Indication.
Puisque \(\gcd(a,b) = 1\text{,}\) il existe des entiers \(r\) et \(s\) tels que \(ar + bs = 1\text{.}\) Donc \(acr + bcs = c\text{.}\)
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2.4.29.

Indication.
Tout nombre premier est de la forme \(2\text{,}\) \(3\text{,}\) \(6n + 1\text{,}\) ou \(6n + 5\text{.}\) Supposons qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers de la forme \(6k + 5\text{.}\)
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3 Groupes
3.5 Exercices

3.5.1.

Indication.
(a) \(3 + 7 \mathbb Z = \{ \ldots, -4, 3, 10, \ldots \}\) ; (c) \(18 + 26 \mathbb Z\) ; (e) \(5 + 6 \mathbb Z\text{.}\)
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3.5.6.

Indication.
\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} \cdot & 1 & 5 & 7 & 11 \\ \hline 1 & 1 & 5 & 7 & 11 \\ 5 & 5 & 1 & 11 & 7 \\ 7 & 7 & 11 & 1 & 5 \\ 11 & 11 & 7 & 5 & 1 \end{array} \end{equation*}
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3.5.8.

Indication.
Choisissez deux matrices. Presque toute paire convient.
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3.5.15.

Indication.
Il existe un groupe non abélien contenant six éléments.
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3.5.16.

Indication.
Regardez le groupe de symétrie d’un triangle équilatéral ou d’un carré.
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3.5.18.

Indication.
Soit
\begin{equation*} \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \end{equation*}
un élément de \(S_n\text{.}\) Tous les \(a_i\) doivent être distincts. Il y a \(n\) façons de choisir \(a_1\text{,}\) \(n - 1\) façons de choisir \(a_2, \ldots\text{,}\) 2 façons de choisir \(a_{n - 1}\text{,}\) et une seule façon de choisir \(a_n\text{.}\) Donc nous pouvons former \(\sigma\) de \(n(n - 1) \cdots 2 \cdot 1 = n!\) façons.
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3.5.25.

Indication.
\begin{align*} (aba^{-1})^n & = (aba^{-1})(aba^{-1}) \cdots (aba^{-1})\\ & = ab(aa^{-1})b(aa^{-1})b \cdots b(aa^{-1})ba^{-1}\\ & = ab^na^{-1}\text{.} \end{align*}
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3.5.31.

Indication.
Puisque \(abab = (ab)^2 = e = a^2 b^2 = aabb\text{,}\) nous savons que \(ba = ab\text{.}\)
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3.5.35.

Indication.
\(H_1 = \{ \identity \}\text{,}\) \(H_2 = \{ \identity, \rho_1, \rho_2 \}\text{,}\) \(H_3 = \{ \identity, \mu_1 \}\text{,}\) \(H_4 = \{ \identity, \mu_2 \}\text{,}\) \(H_5 = \{ \identity, \mu_3 \}\text{,}\) \(S_3\text{.}\)
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3.5.41.

Indication.
L’élément neutre de \(G\) est \(1 = 1 + 0 \sqrt{2}\text{.}\) Puisque \((a + b \sqrt{2}\, )(c + d \sqrt{2}\, ) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2}\text{,}\) \(G\) est stable par multiplication. Enfin, \((a + b \sqrt{2}\, )^{-1} = a/(a^2 - 2b^2) - b\sqrt{2}/(a^2 - 2 b^2)\text{.}\)
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4 Groupes cycliques
4.5 Exercices

4.5.2.

Indication.
(a) \(12\) ; (c) infini ; (e) \(10\text{.}\)
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4.5.3.

Indication.
(a) \(7 {\mathbb Z} = \{ \ldots, -7, 0, 7, 14, \ldots \}\) ; (b) \(\{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \}\) ; (c) \(\{ 0 \}\text{,}\) \(\{ 0, 6 \}\text{,}\) \(\{ 0, 4, 8 \}\text{,}\) \(\{ 0, 3, 6, 9 \}\text{,}\) \(\{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \}\) ; (g) \(\{ 1, 3, 7, 9 \}\) ; (j) \(\{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\)
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4.5.4.

Indication.
(a)
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
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(c)
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
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4.5.15.

Indication.
(a) \(-3 + 3i\) ; (c) \(43- 18i\) ; (e) \(i\)
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4.5.17.

Indication.
(a) \(\sqrt{2} \cis( 7 \pi /4)\) ; (c) \(2 \sqrt{2} \cis( \pi /4)\) ; (e) \(3 \cis(3 \pi/2)\text{.}\)
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4.5.18.

Indication.
(a) \((1 - i)/2\) ; (c) \(16(i - \sqrt{3}\, )\) ; (e) \(-1/4\text{.}\)
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4.5.27.

Indication.
\(|\langle g \rangle \cap \langle h \rangle| = 1\text{.}\)
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4.5.31.

Indication.
L’élément identité de tout groupe est d’ordre fini. Soient \(g, h \in G\) d’ordres respectifs \(m\) et \(n\text{.}\) Puisque \((g^{-1})^m = e\) et \((gh)^{mn} = e\text{,}\) les éléments d’ordre fini dans \(G\) forment un sous-groupe de \(G\text{.}\)
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4.5.37.

Indication.
Si \(g\) est un élément distinct de l’identité dans \(G\text{,}\) alors \(g\) doit engendrer \(G\) ; sinon, \(\langle g \rangle\) est un sous-groupe propre non trivial de \(G\text{.}\)
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5 Groupes de permutations
5.4 Exercices

5.4.1.

Indication.
(a) \((1 \, 2 \, 4 \, 5 \, 3)\) ; (c) \((1 \, 3)(2 \, 5)\text{.}\)
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5.4.2.

Indication.
(a) \((1 \, 3 \, 5)(2 \, 4)\) ; (c) \((1 \, 4)(2 \, 3)\) ; (e) \((1 \, 3 \, 2 \, 4)\) ; (g) \((1 \, 3 \, 4)(2 \, 5)\) ; (n) \((1 \, 7 \, 3 \, 5 \, 2)\text{.}\)
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5.4.3.

Indication.
(a) \((1 \, 6)(1 \, 5)(1 \, 3)(1 \, 4)\) ; (c) \((1 \, 6)(1 \, 4)(1 \, 2)\text{.}\)
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5.4.4.

Indication.
\((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1} = (a_1, a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_2)\)
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🔗

5.4.5.

Indication.
(a) \(\{ (1 \, 3), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 3 \, 2), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 3 \, 2 \, 4), (1 \, 3 \, 4 \, 2) \}\) n’est pas un sous-groupe.
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🔗

5.4.8.

Indication.
\((1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5)(6 \, 7 \, 8)\text{.}\)
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5.4.11.

Indication.
Les permutations de la forme
\begin{equation*} (1), (a_1, a_2)(a_3, a_4), (a_1, a_2, a_3), (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \end{equation*}
sont possibles pour \(A_5\text{.}\)
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5.4.17.

Indication.
Calculer \((1 \, 2 \, 3)(1 \, 2)\) et \((1 \, 2)(1 \, 2 \, 3)\text{.}\)
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5.4.25.

Indication.
Considérer les cas \((a,b)(b,c)\) et \((a,b)(c,d)\text{.}\)
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5.4.29.

Indication.
Montrer que le centre de \(D_n\) est constitué de l’identité si \(n\) est impair, et de l’identité et d’une rotation de \(180^\circ\) si \(n\) est pair.
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5.4.30.

Indication.
Pour (a), montrer que \(\sigma \tau \sigma^{-1 }(\sigma(a_i)) = \sigma(a_{i + 1})\text{.}\)
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6 Classes latérales et théorème de Lagrange
6.5 Exercices

6.5.1.

Indication.
L’ordre de \(g\) et l’ordre de \(h\) doivent tous deux diviser l’ordre de \(G\text{.}\)
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6.5.2.

Indication.
Les ordres possibles doivent diviser \(60\text{.}\)
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6.5.3.

Indication.
Ceci est vrai pour tout sous-groupe propre non trivial.
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6.5.5.

Indication.
(a) \(\langle 8 \rangle\text{,}\) \(1 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(2 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(3 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(4 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(5 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(6 + \langle 8 \rangle\text{,}\) et \(7 + \langle 8 \rangle\) ; (c) \(3 {\mathbb Z}\text{,}\) \(1 + 3 {\mathbb Z}\) et \(2 + 3 {\mathbb Z}\text{.}\)
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🔗

6.5.7.

Indication.
\(4^{\phi(15)} \equiv 4^8 \equiv 1 \pmod{15}\text{.}\)
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6.5.12.

Indication.
Soit \(g_1 \in gH\text{.}\) Montrer que \(g_1 \in Hg\) et donc que \(gH \subset Hg\text{.}\)
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6.5.19.

Indication.
Montrer que \(g(H \cap K) = gH \cap gK\text{.}\)
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7 Introduction à la cryptographie
7.4 Exercices

7.4.3.

Indication.
Indice : V = E, E = X (utilisé également pour les espaces et la ponctuation), K = R.
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7.4.7.

Indication.
(a) \(2791\) ; (c) \(112135 25032 442\text{.}\)
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7.4.10.

Indication.
(a) \(n = 11 \cdot 41\) ; (c) \(n = 8779 \cdot 4327\text{.}\)
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8 Théorie algébrique des codes
8.6 Exercices

8.6.2.

Indication.
Ceci ne peut pas être un code de groupe puisque \((0000) \notin C\text{.}\)
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8.6.6.

Indication.
(a) \(d_{\min} = 2\) ; (c) \(d_{\min} = 1\text{.}\)
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8.6.7.

Indication.
  1. \((00000), (00101), (10011), (10110)\)
    \begin{equation*} G = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
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    🔗
  2. \((000000), (010111), (101101), (111010)\)
    \begin{equation*} G = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
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8.6.9.

Indication.
Des erreurs multiples se produisent dans l’un des mots reçus.
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8.6.11.

Indication.
(a) Une matrice de contrôle de parité canonique avec la matrice génératrice standard
\begin{equation*} G = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
🔗
(c) Une matrice de contrôle de parité canonique avec la matrice génératrice standard
\begin{equation*} G = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
🔗
🔗

8.6.12.

Indication.
(a) Tous les syndromes possibles se produisent.
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8.6.15.

Indication.
(a) \(C\text{,}\) \((10000) + C\text{,}\) \((01000) + C\text{,}\) \((00100) + C\text{,}\) \((00010) + C\text{,}\) \((11000) + C\text{,}\) \((01100) + C\text{,}\) \((01010) + C\text{.}\) Une table de décodage n’existe pas pour \(C\) car il s’agit seulement d’un code de détection d’erreur simple.
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🔗

8.6.19.

Indication.
Soit \({\mathbf x} \in C\) de poids impair et définissons une application de l’ensemble des mots de code de poids impair vers l’ensemble des mots de code de poids pair par \({\mathbf y} \mapsto {\mathbf x} + {\mathbf y}\text{.}\) Montrez que cette application est une bijection.
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8.6.23.

Indication.
Pour \(20\) positions d’information, au moins 6 bits de contrôle sont nécessaires pour assurer un code correcteur d’erreurs.
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9 Isomorphismes
9.4 Exercices

9.4.2.

Indication.
Définir \(\phi: {\mathbb C}^* \rightarrow GL_2( {\mathbb R})\) par
\begin{equation*} \phi(a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
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🔗

9.4.6.

Indication.
Définir une application de \({\mathbb Z}_n\) dans les racines \(n\)-ièmes de l’unité par \(k \mapsto \cis(2k\pi / n)\text{.}\)
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9.4.8.

Indication.
Supposer que \({\mathbb Q}\) est cyclique et essayer de trouver un générateur.
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9.4.11.

Indication.
Il y a deux groupes non abéliens et trois groupes abéliens qui ne sont pas isomorphes.
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9.4.27.

Indication.
Soit \(a\) un générateur de \(G\text{.}\) Si \(\phi :G \rightarrow H\) est un isomorphisme, montrer que \(\phi(a)\) est un générateur de \(H\text{.}\)
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9.4.38.

Indication.
Tout automorphisme de \({\mathbb Z}_6\) doit envoyer 1 sur un autre générateur de \({\mathbb Z}_6\text{.}\)
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9.4.45.

Indication.
Pour montrer que \(\phi\) est injective, poser \(g_1 = h_1 k_1\) et \(g_2 = h_2 k_2\) et considérer \(\phi(g_1) = \phi(g_2)\text{.}\)
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10 Sous-groupes normaux et groupes quotients
10.4 Exercices

10.4.1.

Indication.
(a)
\begin{equation*} \begin{array}{c|cc} & A_4 & (1 \, 2)A_4 \\ \hline A_4 & A_4 & (1 \, 2) A_4 \\ (1 \, 2) A_4 & (1 \, 2) A_4 & A_4 \end{array} \end{equation*}
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(c) \(D_4\) n’est pas normal dans \(S_4\text{.}\)
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10.4.8.

Indication.
Si \(a \in G\) est un générateur de \(G\text{,}\) alors \(aH\) est un générateur de \(G/H\text{.}\)
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10.4.11.

Indication.
Pour tout \(g \in G\text{,}\) montrer que l’application \(i_g : G \to G\) définie par \(i_g : x \mapsto gxg^{-1}\) est un isomorphisme de \(G\) sur lui-même. Considérer ensuite \(i_g(H)\text{.}\)
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🔗

10.4.12.

Indication.
Supposons que \(\langle g \rangle\) est normal dans \(G\) et soit \(y\) un élément arbitraire de \(G\text{.}\) Si \(x \in C(g)\text{,}\) nous devons montrer que \(y x y^{-1}\) est également dans \(C(g)\text{.}\) Montrer que \((y x y^{-1}) g = g (y x y^{-1})\text{.}\)
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10.4.14.

Indication.
(a) Soit \(g \in G\) et \(h \in G'\text{.}\) Si \(h = aba^{-1}b^{-1}\text{,}\) alors
\begin{align*} ghg^{-1} & = gaba^{-1}b^{-1}g^{-1}\\ & = (gag^{-1})(gbg^{-1})(ga^{-1}g^{-1})(gb^{-1}g^{-1})\\ & = (gag^{-1})(gbg^{-1})(gag^{-1})^{-1}(gbg^{-1})^{-1}\text{.} \end{align*}
Nous devons également montrer que si \(h = h_1 \cdots h_n\) avec \(h_i = a_i b_i a_i^{-1} b_i^{-1}\text{,}\) alors \(ghg^{-1}\) est un produit d’éléments du même type. Or, \(ghg^{-1} = g h_1 \cdots h_n g^{-1} = (gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1}) \cdots (gh_ng^{-1})\text{.}\)
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11 Homomorphismes
11.4 Exercices

11.4.2.

Indication.
(a) est un homomorphisme de noyau \(\{ 1 \}\) ; (c) n’est pas un homomorphisme.
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11.4.4.

Indication.
Puisque \(\phi(m + n) = 7(m+n) = 7m + 7n = \phi(m) + \phi(n)\text{,}\) \(\phi\) est un homomorphisme.
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🔗

11.4.5.

Indication.
Pour tout homomorphisme \(\phi : {\mathbb Z}_{24} \rightarrow {\mathbb Z}_{18}\text{,}\) le noyau de \(\phi\) doit être un sous-groupe de \({\mathbb Z}_{24}\) et l’image de \(\phi\) doit être un sous-groupe de \({\mathbb Z}_{18}\text{.}\) Utilisez ensuite le fait qu’un générateur doit être envoyé sur un générateur.
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11.4.9.

Indication.
Soient \(a, b \in G\text{.}\) Alors \(\phi(a) \phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b)\phi(a)\text{.}\)
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12 Groupes de matrices et symétrie
12.4 Exercices

12.4.1.

Indication.
\begin{align*} \frac{1}{2} \left[ \|{\mathbf x} + {\mathbf y}\|^2 + \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right] & = \frac{1}{2} \left[ \langle x + y, x + y \rangle - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\\ & = \frac{1}{2} \left[ \| {\mathbf x}\|^2 + 2 \langle x, y \rangle + \| {\mathbf y}\|^2 - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\\ & = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.} \end{align*}
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12.4.3.

Indication.
(a) est dans \(SO(2)\) ; (c) n’est pas dans \(O(3)\text{.}\)
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12.4.5.

Indication.
(a) \(\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf y}, {\mathbf x} \rangle\text{.}\)
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12.4.7.

Indication.
Utiliser la matrice unimodulaire
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
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12.4.10.

Indication.
Montrer que le noyau de l’application \(\det : O(n) \rightarrow {\mathbb R}^*\) est \(SO(n)\text{.}\)
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13 La structure des groupes
13.4 Exercices

13.4.4.

Indication.
(a) \(\{ 0 \} \subset \langle 6 \rangle \subset \langle 3 \rangle \subset {\mathbb Z}_{12}\) ; (e) \(\{ (1) \} \times \{ 0 \} \subset \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \} \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \langle 2 \rangle\subset S_3 \times {\mathbb Z}_4\text{.}\)
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13.4.7.

Indication.
Utiliser le Théorème fondamental des groupes abéliens de type fini.
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13.4.12.

Indication.
Si \(N\) et \(G/N\) sont résolubles, alors ils ont des suites résolubles
\begin{gather*} N = N_n \supset N_{n - 1} \supset \cdots \supset N_1 \supset N_0 = \{ e \}\\ G/N = G_n/N \supset G_{n - 1}/N \supset \cdots G_1/N \supset G_0/N = \{ N \}\text{.} \end{gather*}
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13.4.16.

Indication.
Utiliser le fait que \(D_n\) possède un sous-groupe cyclique d’indice \(2\text{.}\)
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14 Actions de groupes
14.5 Exercices

14.5.2.

Indication.
(a) \(X_{(1)} = \{1, 2, 3 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 2)} = \{3 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 3)} = \{ 2 \}\text{,}\) \(X_{(2 \, 3)} = \{1 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 2 \, 3)} = X_{(1 \, 3 \, 2)} = \emptyset\text{.}\) \(G_1 = \{ (1), (2 \, 3) \}\text{,}\) \(G_2 = \{(1), (1 \, 3) \}\text{,}\) \(G_3 = \{ (1), (1 \, 2)\}\text{.}\)
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14.5.3.

Indication.
(a) \({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 = \{ 1, 2, 3\}\text{.}\)
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14.5.6.

Indication.
Les classes de conjugaison de \(S_4\) sont
\begin{gather*} {\mathcal O}_{(1)} = \{ (1) \},\\ {\mathcal O}_{(12)} = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (1 \, 4), (2 \, 3), (2 \, 4), (3 \, 4) \},\\ {\mathcal O}_{(1 \, 2)(3 \, 4)} = \{ (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \},\\ {\mathcal O}_{(123)} = \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 4), (1 \, 4 \, 2), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 4 \, 3), (2 \, 3 \, 4), (2 \, 4 \, 3) \},\\ {\mathcal O}_{(1234)} = \{ (1 \, 2 \, 3 \, 4), (1 \, 2 \, 4 \, 3), (1 \, 3 \, 2 \, 4), (1 \, 3 \, 4 \, 2), (1 \, 4 \, 2 \, 3), (1 \, 4 \, 3 \, 2) \}\text{.} \end{gather*}
L’équation aux classes est \(1 + 3 + 6 + 6 + 8 = 24\text{.}\)
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14.5.8.

Indication.
\((3^4 + 3^1 + 3^2 + 3^1 + 3^2 + 3^2 + 3^3 + 3^3)/8 = 21\text{.}\)
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14.5.11.

Indication.
Le groupe des mouvements rigides du cube peut être décrit par les permutations admissibles des six faces et est isomorphe à \(S_4\text{.}\) Il y a le cycle identité, 6 permutations de la forme \((abcd)\) correspondant aux quarts de tour, 3 permutations de la forme \((ab)(cd)\) correspondant aux demi-tours, 6 permutations de la forme \((ab)(cd)(ef)\) correspondant aux rotations du cube autour des centres d’arêtes opposées, et 8 permutations de la forme \((abc)(def)\) correspondant aux rotations du cube autour de sommets opposés.
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14.5.15.

Indication.
\((1 \cdot 2^6 + 3 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^1)/12 = 13\text{.}\)
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14.5.17.

Indication.
\((1 \cdot 2^8 + 3 \cdot 2^6 + 2 \cdot 2^4)/6 = 80\text{.}\)
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14.5.22.

Indication.
Utilisez le fait que \(x \in g C(a) g^{-1}\) si et seulement si \(g^{-1}x g \in C(a)\text{.}\)
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15 Les théorèmes de Sylow
15.4 Exercices

15.4.1.

Indication.
Si \(|G| = 18 = 2 \cdot 3^2\text{,}\) alors l’ordre d’un \(2\)-sous-groupe de Sylow est \(2\) et l’ordre d’un \(3\)-sous-groupe de Sylow est \(9\text{.}\)
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15.4.2.

Indication.
Les quatre \(3\)-sous-groupes de Sylow de \(S_4\) sont \(P_1 = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\text{,}\) \(P_2 = \{ (1), (1 \, 2 \, 4), (1 \, 4 \, 2) \}\text{,}\) \(P_3 = \{ (1), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 4 \, 3) \}\text{,}\) \(P_4 = \{ (1), (2 \, 3 \, 4), (2 \, 4 \, 3) \}\text{.}\)
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15.4.5.

Indication.
Comme \(|G| = 96 = 2^5 \cdot 3\text{,}\) \(G\) possède soit un soit trois \(2\)-sous-groupes de Sylow d’après le Troisième théorème de Sylow. S’il n’y a qu’un seul sous-groupe, nous avons terminé. S’il y a trois \(2\)-sous-groupes de Sylow, soient \(H\) et \(K\) deux d’entre eux. Par conséquent, \(|H \cap K| \geq 16\) ; sinon, \(HK\) aurait \((32 \cdot 32)/8 = 128\) éléments, ce qui est impossible. Ainsi, \(H \cap K\) est normal dans \(H\) et dans \(K\) car il est d’indice \(2\) dans les deux groupes.
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15.4.8.

Indication.
Montrer que \(G\) possède un \(p\)-sous-groupe de Sylow normal d’ordre \(p^2\) et un \(q\)-sous-groupe de Sylow normal d’ordre \(q^2\text{.}\)
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15.4.23.

Indication.
Définir une application entre les classes latérales droites de \(N(H)\) dans \(G\) et les conjugués de \(H\) dans \(G\) par \(N(H) g \mapsto g^{-1} H g\text{.}\) Démontrer que cette application est une bijection.
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15.4.26.

Indication.
Soient \(a G', b G' \in G/G'\text{.}\) Alors \((a G')( b G') = ab G' = ab(b^{-1}a^{-1}ba) G' = (abb^{-1}a^{-1})ba G' = ba G'\text{.}\)
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16 Anneaux
16.7 Exercices

16.7.1.

Indication.
(a) \(7 {\mathbb Z}\) est un anneau mais pas un corps ; (c) \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) est un corps ; (f) \(R\) n’est pas un anneau.
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16.7.3.

Indication.
(a) \(\{1, 3, 7, 9 \}\) ; (c) \(\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}\) ; (e)
\begin{equation*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \right\}\text{.} \end{equation*}
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16.7.4.

Indication.
(a) \(\{0 \}\text{,}\) \(\{0, 9 \}\text{,}\) \(\{0, 6, 12 \}\text{,}\) \(\{0, 3, 6, 9, 12, 15 \}\text{,}\) \(\{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 \}\) ; (c) il n’y a pas d’idéaux non triviaux.
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16.7.7.

Indication.
Supposez qu’il existe un isomorphisme \(\phi: {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb R}\) avec \(\phi(i) = a\text{.}\)
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16.7.8.

Indication.
Faux. Supposez qu’il existe un isomorphisme \(\phi: {\mathbb Q}(\sqrt{2}\, ) \rightarrow {\mathbb Q}(\sqrt{3}\, )\) tel que \(\phi(\sqrt{2}\, ) = a\text{.}\)
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16.7.13.

Indication.
(a) \(x \equiv 17 \pmod{55}\) ; (c) \(x \equiv 214 \pmod{2772}\text{.}\)
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16.7.16.

Indication.
Si \(I \neq \{ 0 \}\text{,}\) montrez que \(1 \in I\text{.}\)
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16.7.18.

Indication.
(a) \(\phi(a) \phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b) \phi(a)\text{.}\)
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16.7.26.

Indication.
Soit \(a \in R\) avec \(a \neq 0\text{.}\) Alors l’idéal principal engendré par \(a\) est \(R\text{.}\) Donc il existe \(b \in R\) tel que \(ab =1\text{.}\)
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16.7.33.

Indication.
Soient \(a/b, c/d \in {\mathbb Z}_{(p)}\text{.}\) Alors \(a/b + c/d = (ad + bc)/bd\) et \((a/b) \cdot (c/d) = (ac)/(bd)\) sont tous deux dans \({\mathbb Z}_{(p)}\text{,}\) puisque \(\gcd(bd,p) = 1\text{.}\)
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16.7.37.

Indication.
Supposons que \(x^2 = x\) et \(x \neq 0\text{.}\) Puisque \(R\) est un anneau intègre, \(x = 1\text{.}\) Pour trouver un idempotent non trivial, cherchez dans \({\mathbb M}_2({\mathbb R})\text{.}\)
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17 Polynômes
17.5 Exercices

17.5.2.

Indication.
(a) \(9x^2 + 2x + 5\) ; (b) \(8x^4 + 7x^3 + 2x^2 + 7x\text{.}\)
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17.5.3.

Indication.
(a) \(5 x^3 + 6 x^2 - 3 x + 4 = (5 x^2 + 2x + 1)(x -2) + 6\) ; (c) \(4x^5 - x^3 + x^2 + 4 = (4x^2 + 4)(x^3 + 3) + 4x^2 + 2\text{.}\)
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17.5.5.

Indication.
(a) Aucun zéro dans \({\mathbb Z}_{12}\) ; (c) \(3\text{,}\) \(4\text{.}\)
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17.5.10.

Indication.
Une factorisation est \(x^2 + x + 8 = (x + 2)(x + 9)\text{.}\)
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17.5.13.

Indication.
Les entiers \(\mathbb Z\) ne forment pas un corps.
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17.5.16.

Indication.
Soit \(\phi : R \rightarrow S\) un isomorphisme. Définissez \(\overline{\phi} : R[x] \rightarrow S[x]\) par \(\overline{\phi}(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n) = \phi(a_0) + \phi(a_1) x + \cdots + \phi(a_n) x^n\text{.}\)
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17.5.20. Polynômes cyclotomiques.

Indication.
Le polynôme
\begin{equation*} \Phi_n(x) = \frac{x^n - 1}{x - 1} = x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots + x + 1 \end{equation*}
est appelé le polynôme cyclotomique. Montrez que \(\Phi_p(x)\) est irréductible sur \({\mathbb Q}\) pour tout nombre premier \(p\text{.}\)
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17.5.26.

Indication.
Trouvez un idéal propre non trivial dans \(F[x]\text{.}\)
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18 Domaines intègres
18.4 Exercices

18.4.1.

Indication.
Remarquons que \(z^{-1} = 1/(a + b\sqrt{3}\, i) = (a -b \sqrt{3}\, i)/(a^2 + 3b^2)\) est dans \({\mathbb Z}[\sqrt{3}\, i]\) si et seulement si \(a^2 + 3 b^2 = 1\text{.}\) Les seules solutions entières de l’équation sont \(a = \pm 1, b = 0\text{.}\)
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18.4.2.

Indication.
(a) \(5 = -i(1 + 2i)(2 + i)\) ; (c) \(6 + 8i = -i(1 + i)^2(2 + i)^2\text{.}\)
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18.4.9.

Indication.
Soient \(z = a + bi\) et \(w = c + di \neq 0\) dans \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Montrez que \(z/w \in {\mathbb Q}(i)\text{.}\)
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18.4.15.

Indication.
Soit \(a = ub\) avec \(u\) un inversible. Alors \(\nu(b) \leq \nu(ub) \leq \nu(a)\text{.}\) De même, \(\nu(a) \leq \nu(b)\text{.}\)
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18.4.16.

Indication.
Montrez que 21 peut se factoriser de deux façons différentes.
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19 Treillis et algèbres de Boole
19.5 Exercices

19.5.6.

Indication.
(a) \((a \vee b \vee a') \wedge a\)
🔗
Un graphe de gauche à droite qui se divise en trois chemins, a, b et b’, puis se rejoint en un seul chemin qui passe par a.
(c) \(a \vee (a \wedge b)\)
🔗
Un graphe de gauche à droite qui se divise en deux chemins puis se rejoint. Le chemin du haut est a puis b. Le chemin du bas est a.
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19.5.10.

Indication.
(a) \(a' \wedge [(a \wedge b') \vee b] = a \wedge (a \vee b) \text{.}\)
🔗
🔗

19.5.14.

Indication.
Soient \(I, J\) des idéaux de \(R\text{.}\) Nous devons montrer que \(I + J = \{ r + s : r \in I \text{ et } s \in J \}\) est le plus petit idéal de \(R\) contenant à la fois \(I\) et \(J\text{.}\) Si \(r_1, r_2 \in I\) et \(s_1, s_2 \in J\text{,}\) alors \((r_1 + s_1) + (r_2 + s_2) = (r_1 + r_2) +(s_1 + s_2)\) est dans \(I + J\text{.}\) Pour \(a \in R\text{,}\) \(a(r_1 + s_1) = ar_1 + as_1 \in I + J\) ; donc \(I + J\) est un idéal de \(R\text{.}\)
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19.5.20.

Indication.
\(( \Rightarrow)\text{.}\) \(a = b \Rightarrow (a \wedge b') \vee (a' \wedge b) = (a \wedge a') \vee (a' \wedge a) = O \vee O = O\text{.}\) \(( \Leftarrow)\text{.}\) \(( a \wedge b') \vee (a' \wedge b) = O \Rightarrow a \vee b = (a \vee a) \vee b = a \vee (a \vee b) = a \vee [I \wedge (a \vee b)] = a \vee [(a \vee a') \wedge (a \vee b)] = [a \vee (a \wedge b')] \vee [a \vee (a' \wedge b)] = a \vee [(a \wedge b') \vee (a' \wedge b)] = a \vee 0 = a\text{.}\) Un argument symétrique montre que \(a \vee b = b\text{.}\)
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20 Espaces vectoriels
20.5 Exercices

20.5.3.

Indication.
\({\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) a pour base \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\) sur \({\mathbb Q}\text{.}\)
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20.5.5.

Indication.
L’ensemble \(\{ 1, x, x^2, \ldots, x^{n-1} \}\) est une base de \(P_n\text{.}\)
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20.5.7.

Indication.
(a) Sous-espace de dimension \(2\) avec base \(\{(1, 0, -3), (0, 1, 2) \}\) ; (d) pas un sous-espace.
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20.5.10.

Indication.
Puisque \(0 = \alpha 0 = \alpha(-v + v) = \alpha(-v) + \alpha v\text{,}\) il s’ensuit que \(- \alpha v = \alpha(-v)\text{.}\)
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20.5.12.

Indication.
Soient \(v_0 = 0, v_1, \ldots, v_n \in V\) et \(\alpha_0 \neq 0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\text{.}\) Alors \(\alpha_0 v_0 + \cdots + \alpha_n v_n = 0\text{.}\)
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20.5.15. Transformations linéaires.

Indication.
(a) Soient \(u, v \in \ker(T)\) et \(\alpha \in F\text{.}\) Alors
\begin{gather*} T(u +v) = T(u) + T(v) = 0\\ T(\alpha v) = \alpha T(v) = \alpha 0 = 0\text{.} \end{gather*}
Donc \(u + v, \alpha v \in \ker(T)\text{,}\) et \(\ker(T)\) est un sous-espace de \(V\text{.}\)
🔗
(c) L’affirmation que \(T(u) = T(v)\) est équivalente à \(T(u-v) = T(u) - T(v) = 0\text{,}\) ce qui est vrai si et seulement si \(u-v = 0\) ou \(u = v\text{.}\)
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20.5.17. Sommes directes.

Indication.
(a) Soient \(u, u' \in U\) et \(v, v' \in V\text{.}\) Alors
\begin{align*} (u + v) + (u' + v') & = (u + u') + (v + v') \in U + V\\ \alpha(u + v) & = \alpha u + \alpha v \in U + V\text{.} \end{align*}
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21 Corps
21.5 Exercices

21.5.1.

Indication.
(a) \(x^4 - (2/3) x^2 - 62/9\) ; (c) \(x^4 - 2 x^2 + 25\text{.}\)
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21.5.2.

Indication.
(a) \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\) ; (c) \(\{ 1, i, \sqrt{2}, \sqrt{2}\, i \}\) ; (e) \(\{1, 2^{1/6}, 2^{1/3}, 2^{1/2}, 2^{2/3}, 2^{5/6} \}\text{.}\)
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21.5.3.

Indication.
(a) \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\text{.}\)
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21.5.5.

Indication.
Utilisez le fait que les éléments de \({\mathbb Z}_2[x]/ \langle x^3 + x + 1 \rangle\) sont 0, 1, \(\alpha\text{,}\) \(1 + \alpha\text{,}\) \(\alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha^2\text{,}\) \(\alpha + \alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha + \alpha^2\) et le fait que \(\alpha^3 + \alpha + 1 = 0\text{.}\)
🔗
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21.5.14.

Indication.
Supposons que \(E\) est algébrique sur \(F\) et \(K\) est algébrique sur \(E\text{.}\) Soit \(\alpha \in K\text{.}\) Il suffit de montrer que \(\alpha\) est algébrique sur une extension finie de \(F\text{.}\) Puisque \(\alpha\) est algébrique sur \(E\text{,}\) il doit être le zéro d’un polynôme \(p(x) = \beta_0 + \beta_1 x + \cdots + \beta_n x^n\) dans \(E[x]\text{.}\) Donc \(\alpha\) est algébrique sur \(F(\beta_0, \ldots, \beta_n)\text{.}\)
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21.5.22.

Indication.
Puisque \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{7}, \sqrt{21}\, \}\) est une base de \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\) sur \({\mathbb Q}\text{,}\) \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) \supset {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\) Puisque \([{\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 4\text{,}\) \([{\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 2\) ou 4. Puisque le degré du polynôme minimal de \(\sqrt{3} +\sqrt{7}\) est 4, \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\)
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21.5.27.

Indication.
Soit \(\beta \in F(\alpha)\) non dans \(F\text{.}\) Alors \(\beta = p(\alpha)/q(\alpha)\text{,}\) où \(p\) et \(q\) sont des polynômes en \(\alpha\) avec \(q(\alpha) \neq 0\) et des coefficients dans \(F\text{.}\) Si \(\beta\) est algébrique sur \(F\text{,}\) alors il existe un polynôme \(f(x) \in F[x]\) tel que \(f(\beta) = 0\text{.}\) Soit \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\text{.}\) Alors
\begin{equation*} 0 = f(\beta) = f\left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right) = a_0 + a_1 \left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right) + \cdots + a_n \left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right)^n\text{.} \end{equation*}
Multipliez maintenant les deux membres par \(q(\alpha)^n\) pour montrer qu’il existe un polynôme dans \(F[x]\) qui a \(\alpha\) comme zéro.
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22 Corps finis
22.4 Exercices

22.4.1.

Indication.
Assurez-vous qu’il s’agit bien d’une extension de corps.
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22.4.4.

Indication.
Il y a huit éléments dans \({\mathbb Z}_2(\alpha)\text{.}\) Exhibez deux autres zéros de \(x^3 + x^2 + 1\) différents de \(\alpha\) parmi ces huit éléments.
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22.4.5.

Indication.
Trouvez un polynôme irréductible \(p(x)\) dans \({\mathbb Z}_3[x]\) de degré \(3\) et montrez que \({\mathbb Z}_3[x]/ \langle p(x) \rangle\) a \(27\) éléments.
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🔗

22.4.7.

Indication.
(a) \(x^5 -1 = (x+1)(x^4+x^3 + x^2 + x+ 1)\) ; (c) \(x^9 -1 = (x+1)( x^2 + x+ 1)(x^6+x^3+1)\text{.}\)
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22.4.11.

Indication.
(a) Utilisez le fait que \(x^7 - 1 = (x + 1)( x^3 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1)\text{.}\)
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22.4.17.

Indication.
Si \(p(x) \in F[x]\text{,}\) alors \(p(x) \in E[x]\text{.}\)
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22.4.18.

Indication.
Puisque \(\alpha\) est algébrique sur \(F\) de degré \(n\text{,}\) on peut écrire tout élément \(\beta \in F(\alpha)\) de façon unique comme \(\beta = a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n - 1} \alpha^{n - 1}\) avec \(a_i \in F\text{.}\) Il y a \(q^n\) \(n\)-uplets possibles \((a_0, a_1, \ldots, a_{n - 1})\text{.}\)
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23 Théorie de Galois
23.5 Exercices

23.5.1.

Indication.
(a) \({\mathbb Z}_2\) ; (c) \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)
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23.5.2.

Indication.
(a) Séparable sur \(\mathbb Q\) car \(x^3 + 2 x^2 - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x + 2)\) ; (c) non séparable sur \(\mathbb Z_3\) car \(x^4 + x^2 + 1 = (x + 1)^2 (x + 2)^2 \text{.}\)
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23.5.3.

Indication.
Si
\begin{equation*} [\gf(729): \gf(9)] = [\gf(729): \gf(3)] /[\gf(9): \gf(3)] = 6/2 = 3\text{,} \end{equation*}
alors \(G(\gf(729)/ \gf(9)) \cong {\mathbb Z}_3\text{.}\) Un générateur de \(G(\gf(729)/ \gf(9))\) est \(\sigma\text{,}\) où \(\sigma_{3^6}( \alpha) = \alpha^{3^6} = \alpha^{729}\) pour \(\alpha \in \gf(729)\text{.}\)
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23.5.7.

Indication.
Soit \(E\) le corps de décomposition d’un polynôme cubique dans \(F[x]\text{.}\) Montrez que \([E:F]\) est inférieur ou égal à \(6\) et est divisible par \(3\text{.}\) Puisque \(G(E/F)\) est un sous-groupe de \(S_3\) dont l’ordre est divisible par \(3\text{,}\) concluez que ce groupe doit être isomorphe à \({\mathbb Z}_3\) ou à \(S_3\text{.}\)
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23.5.20.

Indication.
  1. Clairement \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) sont distincts puisque \(\omega \neq 1\) ou 0. Pour montrer que \(\omega^i\) est un zéro de \(\Phi_p\text{,}\) calculez \(\Phi_p( \omega^i)\text{.}\)
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  2. Les conjugués de \(\omega\) sont \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\text{.}\) Définissez une application \(\phi_i: {\mathbb Q}(\omega) \rightarrow {\mathbb Q}(\omega^i)\) par
    \begin{equation*} \phi_i(a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p - 2} \omega^{p - 2}) = a_0 + a_1 \omega^i + \cdots + c_{p - 2} (\omega^i)^{p - 2}\text{,} \end{equation*}
    où \(a_i \in {\mathbb Q}\text{.}\) Montrez que \(\phi_i\) est un isomorphisme de corps. Montrez que \(\phi_2\) engendre \(G({\mathbb Q}(\omega)/{\mathbb Q})\text{.}\)
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  3. Montrez que \(\{ \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1} \}\) est une base de \({\mathbb Q}( \omega )\) sur \({\mathbb Q}\text{,}\) et examinez quelles combinaisons linéaires de \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) sont laissées fixes par tous les éléments de \(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q})\text{.}\)
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