De même que les groupes ont des sous-groupes et les anneaux ont des sous-anneaux, les espaces vectoriels possèdent aussi des sous-structures. Soit
\(V\) un espace vectoriel sur un corps
\(F\text{,}\) et
\(W\) un sous-ensemble de
\(V\text{.}\) Alors
\(W\) est un
sous-espace de
\(V\) s’il est stable par addition vectorielle et par multiplication scalaire ; c’est-à-dire que si
\(u, v \in W\) et
\(\alpha \in F\text{,}\) alors
\(u + v\) et
\(\alpha v\) sont aussi dans
\(W\text{.}\)
Exemple 20.2.1.
Soit \(W\) le sous-espace de \({\mathbb R}^3\) défini par \(W = \{ (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2) : x_1, x_2 \in {\mathbb R} \}\text{.}\) Nous affirmons que \(W\) est un sous-espace de \({\mathbb R}^3\text{.}\) Puisque
\begin{align*}
\alpha (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2) & = (\alpha x_1, \alpha(2 x_1 + x_2), \alpha( x_1 - x_2))\\
& = (\alpha x_1, 2(\alpha x_1) + \alpha x_2, \alpha x_1 -\alpha x_2)\text{,}
\end{align*}
\(W\) est stable par multiplication scalaire. Pour montrer que \(W\) est stable par addition vectorielle, soient \(u = (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2)\) et \(v = (y_1, 2 y_1 + y_2, y_1 - y_2)\) des vecteurs dans \(W\text{.}\) Alors
\begin{equation*}
u + v = (x_1 + y_1, 2( x_1 + y_1) +( x_2 + y_2), (x_1 + y_1) - (x_2+ y_2))\text{.}
\end{equation*}
Exemple 20.2.2.
Soit
\(W\) le sous-ensemble des polynômes de
\(F[x]\) sans termes de puissance impaire. Si
\(p(x)\) et
\(q(x)\) n’ont pas de termes de puissance impaire, alors
\(p(x) + q(x)\) n’en aura pas non plus. De plus,
\(\alpha p(x) \in W\) pour
\(\alpha \in F\) et
\(p(x) \in W\text{.}\)
Soit \(V\) un espace vectoriel quelconque sur un corps \(F\) et supposons que \(v_1, v_2, \ldots,
v_n\) sont des vecteurs dans \(V\) et \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) sont des scalaires dans \(F\text{.}\) Tout vecteur \(w\) dans \(V\) de la forme
\begin{equation*}
w = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n
\end{equation*}
est appelé une combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\) La famille génératrice de vecteurs \(v_1, v_2, \ldots,
v_n\) est l’ensemble des vecteurs obtenus à partir de toutes les combinaisons linéaires possibles de \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\) Si \(W\) est la famille génératrice de \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{,}\) alors on dit que \(W\) est engendré par \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\)
Démonstration.
Soient \(u\) et \(v\) dans \(S\text{.}\) On peut écrire ces deux vecteurs comme des combinaisons linéaires des \(v_i\) :
\begin{align*}
u & = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n\\
v & = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n\text{.}
\end{align*}
Alors
\begin{equation*}
u + v =( \alpha_1 + \beta_1) v_1 + (\alpha_2+ \beta_2) v_2 + \cdots + (\alpha_n + \beta_n) v_n
\end{equation*}
est une combinaison linéaire des \(v_i\text{.}\) Pour \(\alpha \in F\text{,}\)
\begin{equation*}
\alpha u = (\alpha \alpha_1) v_1 + ( \alpha \alpha_2) v_2 + \cdots + (\alpha \alpha_n ) v_n
\end{equation*}
est dans l’enveloppe linéaire de \(S\text{.}\)
