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Algèbre abstraite Théorie et applications

Thomas W. Judson

Section 17.1 Anneaux de polynômes

Tout au long de ce chapitre, nous supposerons que \(R\) est un anneau commutatif avec identité. Toute expression de la forme
\begin{equation*} f(x) = \sum^{n}_{i=0} a_i x^i = a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n\text{,} \end{equation*}
où \(a_i \in R\) et \(a_n \neq 0\text{,}\) est appelée un polynôme sur \(R\) d’indéterminée \(x\text{.}\) Les éléments \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) sont appelés les coefficients de \(f\text{.}\) Le coefficient \(a_n\) est appelé le coefficient dominant. Un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est 1. Si \(n\) est le plus grand entier non négatif pour lequel \(a_n \neq 0\text{,}\) on dit que le degré de \(f\) est \(n\) et on écrit \(\deg f(x) = n\text{.}\) Si un tel \(n\) n’existe pas—c’est-à-dire, si \(f=0\) est le polynôme nul—alors le degré de \(f\) est défini comme \(-\infty\text{.}\) On désignera l’ensemble de tous les polynômes à coefficients dans un anneau \(R\) par \(R[x]\text{.}\) Deux polynômes sont égaux exactement lorsque leurs coefficients correspondants sont égaux ; c’est-à-dire, si l’on pose
\begin{align*} p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\ q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m\text{,} \end{align*}
alors \(p(x) = q(x)\) si et seulement si \(a_i = b_i\) pour tout \(i \geq 0\text{.}\)
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Pour montrer que l’ensemble de tous les polynômes forme un anneau, nous devons d’abord définir l’addition et la multiplication. Nous définissons la somme de deux polynômes comme suit. Posons
\begin{align*} p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\ q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m\text{.} \end{align*}
Alors la somme de \(p(x)\) et \(q(x)\) est
\begin{equation*} p(x) + q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_k x^k\text{,} \end{equation*}
où \(c_i = a_i + b_i\) pour chaque \(i\text{.}\) On définit le produit de \(p(x)\) et \(q(x)\) comme étant
\begin{equation*} p(x) q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{m + n} x^{m + n}\text{,} \end{equation*}
où
\begin{equation*} c_i = \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} = a_0 b_i + a_1 b_{i -1} + \cdots + a_{i -1} b _1 + a_i b_0 \end{equation*}
pour chaque \(i\text{.}\) Remarquons que dans chaque cas, certains des coefficients peuvent être nuls.
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Exemple 17.1.1.

Supposons que
\begin{equation*} p(x) = 3 + 0 x + 0 x^2 + 2 x^3 + 0 x^4 \end{equation*}
et
\begin{equation*} q(x) = 2 + 0 x - x^2 + 0 x^3 + 4 x^4 \end{equation*}
sont des polynômes dans \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Si le coefficient d’un terme d’un polynôme est nul, on omet généralement ce terme. Dans ce cas, on écrirait \(p(x) = 3 + 2 x^3\) et \(q(x) = 2 - x^2 + 4 x^4\text{.}\) La somme de ces deux polynômes est
\begin{equation*} p(x) + q(x)= 5 - x^2 + 2 x^3 + 4 x^4\text{.} \end{equation*}
Le produit,
\begin{equation*} p(x) q(x) = (3 + 2 x^3)( 2 - x^2 + 4 x^4 ) = 6 - 3x^2 + 4 x^3 + 12 x^4 - 2 x^5 + 8 x^7\text{,} \end{equation*}
peut être calculé soit en déterminant les \(c_i\) dans la définition, soit simplement en multipliant les polynômes comme on l’a toujours fait.
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Exemple 17.1.2.

Soient
\begin{equation*} p(x) = 3 + 3 x^3 \qquad \text{et} \qquad q(x) = 4 + 4 x^2 + 4 x^4 \end{equation*}
des polynômes dans \({\mathbb Z}_{12}[x]\text{.}\) La somme de \(p(x)\) et \(q(x)\) est \(7 + 4 x^2 + 3 x^3 + 4 x^4\text{.}\) Le produit des deux polynômes est le polynôme nul. Cet exemple nous indique qu’on ne peut pas s’attendre à ce que \(R[x]\) soit un anneau intègre si \(R\) n’est pas un anneau intègre.
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Démonstration.

Notre première tâche est de montrer que \(R[x]\) est un groupe abélien pour l’addition des polynômes. Le polynôme nul, \(f(x) = 0\text{,}\) est l’élément neutre additif. Étant donné un polynôme \(p(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{,}\) on vérifie facilement que l’inverse de \(p(x)\) est \(-p(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-a_i) x^i = -\sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{.}\) La commutativité et l’associativité découlent immédiatement de la définition de l’addition des polynômes et du fait que l’addition dans \(R\) est à la fois commutative et associative.
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Pour montrer que la multiplication des polynômes est associative, posons
\begin{align*} p(x) & = \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i,\\ q(x) & = \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i,\\ r(x) & = \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i\text{.} \end{align*}
Alors
\begin{align*} [p(x) q(x)] r(x) & = \left[ \left( \sum_{i=0}^{m} a_i x^i \right) \left( \sum_{i=0}^{n} b_i x^i \right) \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\ & = \left[ \sum_{i = 0}^{m+n} \left( \sum_{j = 0}^{i} a_j b_{i - j} \right) x^i \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} \left( \sum_{k=0}^j a_k b_{j-k} \right) c_{i-j} \right] x^i\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left(\sum_{j + k + l = i} a_j b_k c_l \right) x^i\\ & = \sum_{i = 0}^{m+n+p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} a_j \left( \sum_{k = 0}^{i - j} b_k c_{i - j - k} \right) \right] x^i\\ & = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \sum_{i = 0}^{n + p} \left( \sum_{j = 0}^{i} b_j c_{i - j} \right) x^i \right]\\ & = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \left( \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i \right) \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right) \right]\\ & = p(x) [ q(x) r(x) ] \end{align*}
Les propriétés de commutativité et de distributivité de la multiplication des polynômes se démontrent de façon similaire. Nous laisserons les démonstrations de ces propriétés en exercice.
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Démonstration.

Supposons que nous ayons deux polynômes non nuls
\begin{equation*} p(x) = a_m x^m + \cdots + a_1 x + a_0 \end{equation*}
et
\begin{equation*} q(x) = b_n x^n + \cdots + b_1 x + b_0 \end{equation*}
avec \(a_m \neq 0\) et \(b_n \neq 0\text{.}\) Les degrés de \(p(x)\) et \(q(x)\) sont respectivement \(m\) et \(n\text{.}\) Le terme dominant de \(p(x) q(x)\) est \(a_m b_n x^{m + n}\text{,}\) qui ne peut pas être nul puisque \(R\) est un anneau intègre ; ainsi, le degré de \(p(x) q(x)\) est \(m + n\text{,}\) et \(p(x)q(x) \neq 0\text{.}\) Puisque \(p(x) \neq 0\) et \(q(x) \neq 0\) impliquent que \(p(x)q(x) \neq 0\text{,}\) nous savons que \(R[x]\) doit également être un anneau intègre.
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Nous voulons aussi considérer des polynômes en deux variables ou plus, tels que \(x^2 - 3 x y + 2 y^3\text{.}\) Soit \(R\) un anneau et supposons que l’on se donne deux indéterminées \(x\) et \(y\text{.}\) On peut bien sûr former l’anneau \((R[x])[y]\text{.}\) Il est direct, mais peut-être fastidieux, de montrer que \((R[x])[y] \cong R([y])[x]\text{.}\) Nous identifierons ces deux anneaux par cet isomorphisme et écrirons simplement \(R[x,y]\text{.}\) L’anneau \(R[x, y]\) est appelé l’ anneau des polynômes en deux indéterminées \(x\) et \(y\) à coefficients dans \(R\text{.}\) On peut définir de façon similaire l’anneau des polynômes en \(n\) indéterminées à coefficients dans \(R\text{.}\) Nous désignerons cet anneau par \(R[x_1, x_2, \ldots, x_n]\text{.}\)
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Démonstration.

Soient \(p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i x^i\) et \(q(x) = \sum_{i = 0}^m b_i x^i\text{.}\) Il est facile de montrer que \(\phi_{\alpha}(p(x) + q(x)) = \phi_{\alpha}(p(x)) + \phi_{\alpha}(q(x))\text{.}\) Pour montrer que la multiplication est préservée par l’application \(\phi_{\alpha}\text{,}\) observons que
\begin{align*} \phi_{\alpha} (p(x) ) \phi_{\alpha} (q(x)) & = p( \alpha ) q(\alpha)\\ & = \left( \sum_{i = 0}^n a_i \alpha^i \right) \left( \sum_{i = 0}^m b_i \alpha^i \right)\\ & = \sum_{i = 0}^{m + n} \left( \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} \right) \alpha^i\\ & = \phi_{\alpha} (p(x) q(x))\text{.} \end{align*}
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L’application \(\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R\) est appelée l’ homomorphisme d’évaluation en \(\alpha\text{.}\)
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