Nous allons démontrer le théorème binomial par récurrence ; c’est-à-dire,
\begin{equation*}
(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n - k}\text{,}
\end{equation*}
où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels, \(n \in \mathbb{N}\text{,}\) et
\begin{equation*}
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}
\end{equation*}
est le coefficient binomial. Montrons d’abord que
\begin{equation*}
\binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k - 1}\text{.}
\end{equation*}
Ce résultat découle de
\begin{align*}
\binom{n}{k} + \binom{n}{k - 1} & = \frac{n!}{k!(n - k)!} +\frac{n!}{(k-1)!(n - k + 1)!}\\
& = \frac{(n + 1)!}{k!(n + 1 - k)!}\\
& =\binom{n + 1}{k}\text{.}
\end{align*}
Si \(n = 1\text{,}\) le théorème binomial est facile à vérifier. Supposons maintenant que le résultat est vrai pour \(n\) supérieur ou égal à \(1\text{.}\) Alors
\begin{align*}
(a + b)^{n + 1} & = (a + b)(a + b)^n\\
& = (a + b) \left( \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n - k}\right)\\
& = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n + 1 - k}\\
& = a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} \binom{n}{k - 1} a^{k} b^{n + 1 - k} + \sum_{k = 1}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n + 1 - k} + b^{n + 1}\\
& = a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} \left[ \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k} \right]a^k b^{n + 1 - k} + b^{n + 1}\\
& = \sum_{k = 0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} a^k b^{n + 1- k}\text{.}
\end{align*}
